挖掘垂徑定理，探究解題應用

束長軍

[摘? 要] “垂徑定理”是基于圓的對稱性構建的特殊定理，其中涉及兩線關系、弦長、弧長等幾何內容，是求解圓類問題較為常用的定理. 垂徑定理可用于多種模型的構建，文章結合實例，對其加以探討，并提出相應的教學建議，與讀者交流.

[關鍵詞] 垂徑定理;直角三角形;線段長

“垂徑定理”是初中數學的核心定理，也是“圓”內容的重要考點. 該定理可以充分反映圓的重要性質. 教學中，我們除了需要使學生掌握定理及其推論外，還需要學習運用定理構建模型、解析問題的方法，下面對其深入探究.

關于垂徑定理的解題應用

垂徑定理及其推論反映了五大條件：①垂直于弦;②通過圓心;③平分弦;④平分弦所對的優弧;⑤平分弦所對的劣弧. 在明確其中任意兩個條件的情況下即可推理出其他的結論. 而在實際解題時，可根據定理構建相應的模型，求解相關的幾何問題. 常見的應用有構建幾何直角、構建等角模型、構建等長線段、構建特殊四邊形等.

1. 構建幾何直角，勾股定理化解

垂徑定理中存在關于“垂直”的內容，因此，解題時可以利用垂徑定理來構建直角三角形，用以求解相關線段長的問題. 具體思路是：關于圓內的半徑、圓心，結合垂徑定理構建直角三角形，然后根據勾股定理，利用半徑、弦心距和弦長來列方程求解.

例1如圖1，在⊙O中，CD是圓的直徑，且CD與弦AB相交于點E，AM⊥BC于點M，與CD交于點N，連接AD. 若AB=8，ON=1，AE=BE，試求⊙O的半徑.

分析本題的目的是求⊙O的半徑，由題干條件“CD是圓的直徑”“AE=BE”可知滿足垂徑定理，進而可得出AB⊥CD. 因此可以根據垂徑定理來構建直角三角形，且求出相關線段的長，然后利用勾股定理來建立求解半徑長的方程.

解答因為CD是⊙O的直徑，AE=BE，所以CD⊥AB. 所以∠C+∠B=90°. 于是可得∠CNM=∠B=∠AND. 又∠D=∠B，所以∠AND=∠D. 所以AN=AD. 根據條件可知AE=BE=4，連接OA，如圖2，則△AOE為直角三角形. 設OE=x，由條件可知DE=NE=x+1，OD=OE+ED=2x+1，OA=OD=2x+1. 在Rt△AOE中，由勾股定理可得OE2+AE2=OA2，即x2+42=（2x+1）2，又x>0，所以x=■. 所以OA=■，即⊙O的半徑為■.

評析 利用垂徑定理可以構建直角三角形，構建時需要關注其中的半徑或直徑、弦長的平分情形以及對應的平分弧，確保滿足垂徑定理使用的條件. 利用勾股定理建立方程時，要合理利用其中的弦長、弦心距等線段的長.

2. 構建相等圓周角，等角轉化求解

由垂徑定理的內容可知，垂直于弦的直徑平分弦以及平分該弦所對的兩條弧長，因此利用垂徑定理可以獲得等弧. 聯系等弧與對應的圓周角關系就可以建立等角關系，從而用于求解角度、探索相似三角形的條件.

例2 如圖3，△ABC的外接圓為⊙O，BC為⊙O的直徑，連接AO，過點B作AO的垂線，與AC交于點D，與⊙O交于點E，求證：AB·BC=BD·AC.

分析 AB·BC=BD·AC可變形為■=■，顯然是△BAD與△CAB的相似性質. 兩三角形存在公共角，于是只需要證明圓周角∠ABD與∠C相等即可，后者可結合圓內的垂徑定理來完成，即由定理獲得平分弦和弦所對的弧，然后由等弧來推導對應的圓周角相等.

證明 因為BE⊥AO，AO為⊙O的半徑，于是由垂徑定理可得AO平分弦BE，且■=■. 根據“在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓周角相等”，可得∠ABD=∠C. 又∠BAD=∠BAC，所以△BAD∽△CAB. 所以■=■，即AB·BC=BD·AC.

評析？搖 垂徑定理涉及平分弦和平分弧，因此可完成“弧相等”到“所對圓周角相等”的過渡. 上述求證線段比值關系，根據其形式可以聯想到相似三角形，后續引入垂徑定理來構建相等的圓周角，則變得水到渠成. 因此，求解圓內的角度問題時，可以充分提取垂徑定理成立的條件，完成角度轉化.

3. 構建等長線段，線段轉化求值

垂徑定理建立了角度、弦長、弧長等幾何量，根據定理同樣可以構建等長線段，為后續的幾何分析做基礎. 另外，還可以利用垂徑定理的線段轉化來分析對應的最值問題.

例3 如圖4，AB為⊙O的直徑，定長弦CD在⊙O上滑動（點C，D不與圓上的點A，B重合），點M為CD的中點，過點C作AB的垂線，垂足為P，連接PM. 已知CD=3，AB=8，設PM=a，試求a的最大值.

分析因為CD為動弦，所以點M為動點，這是造成線段PM長度變化的根源. 可以采用線段長度轉化的方式，通過分析直觀線段的長度變化來求PM的最大值. 已知CP⊥AB，則可以結合垂徑定理構建等長線段，即延長CP與⊙O相交于點E，由定理可知點P為CE的中點，結合點M是CD的中點可知“PM=■DE”始終成立，因此后續只需要分析DE的長度變化即可.

解答延長CP與⊙O相交于點E，連接DE. 根據垂徑定理可得CP=EP，即點P是線段CE的中點. 又點M為CD的中點，所以PM為△CDE的中位線. 所以PM=■DE. 因為DE是⊙O的動弦，因此當DE為圓的直徑時DE達到最長，此時PM的長也達到最大，且PM的最大值與⊙O的半徑長相等，即PM■=4. 所以a的最大值為4.

評析 上述問題是求線段的最值，解析時通過延長線段構建了滿足垂徑定理的條件，完成了線段轉化. 實際上，垂徑定理中的平分弦可以衍生出“中點”內容，聯系中位線即可構建線段關系或相似三角形.

4. 構建特殊四邊形，性質借用破題

垂徑定理是基于圓所構建的，但求解圓內問題時有時需要借用其他幾何圖形的性質特征，此時可以考慮利用垂徑定理的垂直弦來完成，如構建矩形.

例4如圖5，AB和AC是⊙O內兩條相互垂直的弦，已知AB=8，AC=6，試求⊙O半徑的長.

分析求⊙O半徑的長，實際上就是求線段AO的長. 已知AB⊥AC，可以進一步利用垂徑定理來構建矩形，則AO就是矩形的對角線，后續可利用矩形的性質求解.

解答分別取AB和AC的中點D， E，連接OE，OD，從而可得OE⊥AC，OD⊥AB，即四邊形ADOE為矩形，AO為矩形的對角線. 分析可知AD=4，OD=AE=3，則矩形的對角線AO=■=5，即⊙O的半徑為5.

評析根據垂徑定理可以構建直角關系，利用該關系就可以構建含有直角的幾何圖形，如直角三角形、矩形、正方形等，因此解決問題時利用特殊圖形的性質即可快捷解題，于是可以合理利用垂徑定理來完成圖形構建.

關于垂徑定理學習的思考

垂徑定理是中學數學重要的定理之一，利用該定理可以建立角度、弦長、弧長之間的關聯，因此可以作為綜合問題的突破工具. 上述是關于垂徑定理的四個應用點探討，其適用題型和構建思路具有一定的參考價值，下面對其做進一步思考.

1. 關注定理核心，理解定理本質

垂徑定理是基于圓特性所總結的綜合性定理，充分解析可知定理中還隱含著對稱內容，即等長弦、中點、等長弧，實際上是對圓對稱特性的一種體現. 同時，在教學論證時也常通過折紙、軸對稱分析來完成. 學習定理時需要關注定理的對稱核心，理解定理內容構建的基礎是圓的對稱性. 而在實際教學中，可以首先引導學生復習軸對稱圖形，然后通過求證圓的軸對稱性來逐步向定理過渡.

2. 深入拆分定理，逐步拓展推廣

通過對垂徑定理的剖析可知，其中涉及五大內容，包括垂直于弦、過圓心、平分弦、平分優弧和平分劣弧，學習時需要掌握定理的互推關系，并聯系關聯知識進行拓展推廣. 例如結合“同弧或等弧所對的圓周角相等”推廣到角度證明，利用其中的垂直關系來構建直角三角形、矩形等. 教學垂徑定理時，不能局限于定理本身，還應關注定理的拓展點，這是利用該定理破解綜合題的關鍵. 完成定理教學后，可以結合變式問題對定理進行深度挖掘，以逐步提升學生對定理的應用能力.

3. 總結反思定理，發展解題思維

垂徑定理作為圓內問題最為常用的定理之一，具有極高的應用性，上述展示了垂徑定理在線段、角度、最值等問題中的應用，其應用思路具有一定的參考價值. 應用垂徑定理時，首先需要明晰定理適用的條件，然后基于定理內容推導結論，可以采用數形結合、圖形拆分等模型構建的手段. 定理應用過程中可以鍛煉解題思維，教學時需要教師引導學生總結反思定理的內容，深度挖掘定理背后的思想內涵和方法價值，逐步形成自我解題策略，促進學生解題思維的發展.