透視分步突破，深度變式探究

王雷 葛艷

[摘? 要] 函數綜合題是中考數學的重點題型，其中不僅包含眾多的函數曲線，同時涉及一些關鍵的知識聯系點，因此可以充分考查學生的知識能力. 解析問題時，需充分挖掘問題本質，從知識聯系性出發選取合適的方法，文章以一道函數綜合題為例，進行分步突破，解后思考，并提出相應的教學建議.

[關鍵詞] 一次函數;反比例函數;線段;點坐標

考題呈現

試題（2019江蘇泰州中考）已知一次函數y1=kx+n（n<0）和反比例函數y2=■（m>0，x>0）.

（1）如圖1，若n=-2，且函數y1，y2的圖像都經過點A（3，4）.

①試求m和k的值;

②請直接寫出當y1>y2時x的取值范圍.

（2）如圖2，過點P（1，0）作y軸的平行線l與函數y2的圖像交于點B，與反比例函數y3=■（x>0）的圖像交于點C.

①若k=2，直線l與函數y1的圖像交于點D，當點B，C，D中的一點到另外兩點的距離相等時，試求m-n的值;

②過點B作x軸的平行線，與函數y1的圖像交于點E，當m-n的值為不大于1的任意實數時，點B，C之間的距離與點B，E之間的距離之和d始終是一個定值，求此時k的值及定值d.

分步突破

上述考題是中考常見的函數綜合題，以一次函數與反比例函數為命題背景，涉及求函數解析式、取值范圍和距離分析，以及定值求解等，由于考題有兩問，每一問又細分為兩小問，均含有各自的主干信息，所以下面對其分步突破.

1. 第一步：解構函數，巧定范圍

題干給出了一次函數y1和反比例函數y2的解析式，對于第（1）問，設定n的值為-2，并給出了兩函數的交點，所以第①問求函數解析式可以采用待定系數法，直接將點的坐標代入函數解析式即可. 將點A（3，4）代入一次函數解析式y1=kx-2中，可解得k=2. 將點A的坐標代入反比例函數解析式y2=■中，可解得m=12，所以m的值為12，k的值為2.

第②問分析y1>y2時x的取值范圍，屬于函數背景下的代數分析. 對于條件“y1>y2”，在函數圖像中的表現為一次函數位于反比例函數圖像的上方，因此問題轉化為分析一次函數位于反比例函數圖像上方時對應的x的取值范圍. 而點A是兩函數圖像的交點，是其分界線，顯然點A的右側部分滿足要求，又點A的橫坐標為3，因此當y1>y2時，x的取值范圍為x>3.

2. 第二步：分類討論，定值變形

第（2）問中添加了反比例函數y3，通過作y軸的平行線產生了交點B和C. 第①問中設定點D是直線l與函數y1的交點，于是可求得點D的坐標為（1，2+n）. 根據l與函數y2，y3之間的交點可求得B，C的坐標，即B（1，m），C（1，n）. 點B和點C位于x軸的兩側，根據題干要求，實際上就是分析其中的中點情形，顯然有三種情形：情形一是點D是BC的中點，情形二是點B是DC的中點，情形三是點C是BD的中點. 需要對其進行分類討論，且線段長就是兩點的縱坐標的差的絕對值.

情形一，當點D是BC的中點時，有BD=CD. 又BD=m-（2+n），CD=2，所以m-（2+n）=2，即m-n=4. 滿足限制條件，所以該情形存在，此時m-n=4.

情形二，當點B是DC的中點時，有DB=BC. 又DB=2+n-m，BC=m-n，所以2+n-m=m-n，解得m-n=1. 滿足限制條件，所以該情形存在，此時m-n=1.

情形三，當點C是BD的中點時，有BC=CD. 因為BC=m-n，CD=n-（2+n）=

-2<0，不可能，所以點C不可能是BD的中點.

綜上可知，對于第（2）①問，m-n的值為4或1.

第②小問設定點E是過點B的平行于x軸的直線與直線y1的交點，所以點E的坐標為■，m. 根據定值構建的思路可知，d=BC+BE，只需要將所涉及的點的坐標代入其中即可. 當點E在點B左側時，有d=m-n+1-■，分析該式為定值時d和k的值，只需對式子進行變形，將其中的參數以乘積形式表現即可，于是d=（m-n）1-■+1，所以當1-■=0時，顯然d的取值與m，n無關，此時k=1，d=1. 當點E在點B的右側時，有d=m-n+■-1，分析該式為定值時d和k的值，只需對式子進行變形，將其中的參數以乘積形式表現即可，于是d=（m-n）1+■-1，所以當1+■=0時，顯然d的取值與m，n無關，此時k=-1，d=-1，矛盾，說明此種情形不存在. 綜上可知，對于第（2）②問，k=1，d=1.

解后反思

上述是對考題的解析突破過程，考題考查了求函數解析式、取值確定和分析線段長，涉及一次函數、反比例函數的基礎知識，以及圖像中交點的求解方法，下面對突破過程進行深入反思.

1. 解析中的關鍵步驟

考題分為兩大問，無論是求取值，還是分析距離關系，均需要準確把握函數圖像的位置關系，明晰函數的交點. 而對于每一小問，還需要把握其中的關鍵步驟，如第（1）②問在分析y1>y2時x的取值時，需要理解不等式與函數圖像之間的聯系，即y1>y2不僅表示大小關系，在函數中還體現為圖像的上下關系，基于該內容就可以直接獲得突破方法. 又如第（2）①問分析三點之間的距離相等關系，其關鍵步驟是結合限制條件對三點之間的位置關系進行討論，并結合點坐標進行細化，這也是函數背景下線段長與點坐標關系構建的方法. 第（2）②問中的含參數的代數式的定值討論，解析的關鍵步驟是對代數式進行變形，即實現參數部分的因式分解，從而可通過設零將其消去.

2. 值得學習的內容

中考壓軸題的學習價值在于，可以從中提煉出問題突破的思路和方法，從而掌握同類題的突破方法. 以第（1）②問為例，求“y1>y2時x的取值范圍”，其解析本質就是數形結合，同時可以提煉出不等式問題的轉化方法——圖像分析法. 而對于第（2）問，實際上均可以歸結為函數背景下的線段長分析. 從解析過程可知，利用點坐標來描述線段長是問題突破的核心，這也是函數與幾何之間的知識聯系點. 因此，求解與幾何相聯系的函數綜合題時，要充分把握“點坐標”這一中間媒介，實現幾何問題的代數轉化.

3. 關于考題的變式

開展考題變式不僅可以深化問題認識，還可以拓展學生的解題思維，下面是以本考題所涉及的兩個核心價值內容展開的變式探究.

變式1 （基于不等式圖像解析方法進行變式）已知點A（3，b）是一次函數y1=kx+n與反比例函數y2=■（m>0，x>0）在第一象限的交點，若不等式kx+n>■的解為x>3，試分析k的正負.

思路點撥 由不等式的解可知，當03時，y1位于y2上方. 顯然可以繪制出相應的圖像，從而可確定一次函數單調遞增，即k>0.

變式2（基于函數與幾何的聯系點進行變式）已知反比例函數y2=■（x>0），一次函數y1=-2x-2，如圖3，過點P（1，0）作y軸的平行線l與函數y2的圖像交于點B，與反比例函數y3=-■（x>0）的圖像交于點C. 試分析在函數y1上是否存在一點D，使得∠BDC=90°. 若不存在，請說明理由;若存在，請求出點D的坐標.

思路點撥根據題干信息可求出B（1，12），C（1，-2），可將點D的坐標設為（a，-2a-2），在Rt△BCD中使用勾股定理可得BC2=BD2+CD2，然后利用點坐標可以分別求出線段長，基于線段長關系即可構建相應的代數方程，即可分析a是否有解.

■ 教學建議

1. 關注函數綜合，解構曲線圖像

函數綜合題是中考的核心考題，一般因綜合性強而解析難度大，實際上可以將函數綜合看作是多條曲線之間的綜合，因此解題時就可以通過分析曲線之間的聯系點來加以突破. 而在日常教學中，需要教師對初中階段所涉及的函數曲線進行系統歸納，包括一次函數、二次函數和反比例函數，讓學生對函數的曲線特征、性質結構有一個充分的了解，能夠根據函數解析式準確畫出相應的圖像，并能根據曲線之間的位置關系得出特征參數的值. 例如根據函數y1=kx+n（n<0）與反比例函數y2=■（m>0，x>0）相交可以得出k>0. 建立函數之間的圖像聯系是求解綜合題的關鍵，也是數形結合策略分析問題的基礎.

2. 重視突破方法，形成解題思路

綜合題的突破除了需要具備扎實的基礎知識外，還需要掌握相應的解析方法. 例如上述求解函數解析式所采用的待定系數法，分析距離問題時所采用的分類討論和線段坐標化方法，正是在這些方法的靈活使用下才促使問題得到了解決. 因此，教學中需要教師對考題的解析方法加以總結提煉，讓學生掌握根據考題特征選取合適方法的思路. 對于一些結構鮮明的考題，更應注重總結. 例如函數與幾何綜合題，應讓學生把握函數與幾何之間的聯系點——點坐標，形成“函數解析式？圳點坐標？圳幾何特征”的突破策略.

3. 注重考題變式，拓展數學思維

中考壓軸題的問題形式多樣，圖像變化也十分靈活，所以開展考題教學時不能拘泥于問題本身，而應引導學生對背后的實質內容進行挖掘，并結合相關知識對其中的核心內容開展變式探究. 例如上述基于聯系點對考題進行了不等式轉化變式和幾何特征變式，可使學生充分認識到函數圖像與不等式、幾何之間的關聯. 而在變式探究過程中，則需要掌握適度原則，不能因變式不足使得探究無意義，也不能因過度變式造成超綱超范圍的現象. 在變式探究的過程中，學生的數學思維可以得到鍛煉，能促進學生創新思維的形成.