立足學情 以點帶面

■蔣根林

圓的綜合應用在南京市中考數學中是每年必考題型，考查的方向主要為：切線的證明（或其他結論證明），求線段的長度（求值）等。試題分布在第24～26題，難度屬于中等及中等以上。下面以2019年南京市玄武區一?？荚囍袌A的綜合應用題為例與各位同行進行分享交流。

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交邊AC于點D（點D不與點A重合），交邊BC于點E，過點E作EF⊥AC，垂足為F。

（1）求證：EF是⊙O的切線。

（2）若AD=7，BE=2。

①求⊙O的半徑；

②連接OC交EF于點M，則OM=________。

【能力維度】掌握切線的證明，能根據已有的知識來解決圓中的某些計算問題。

【能力描述】了解直線與圓的位置關系，掌握切線的概念，能利用三角形的相似解決一些實際問題；在解決問題的過程中，進一步理解所學的有關知識，發展學生的邏輯推理能力和應用意識。

一、結果及診斷

試卷分析結果如下：本題總分9分，共3問，分值設定分別為4分、3分、2分。均分只有4.72，難度系數0.53，零分率10.2%，滿分率8.3%。說明絕大部分的學生只能解決圓的切線證明，而后面兩問涉及計算，存在一些問題。

教師根據學生的答題卡，訪談了部分學生。

學生A：當做到這題的時候，還剩40分鐘，時間還算充裕?？吹竭@題的問題我覺得能做，因為我們平時證明切線很常見。第一道題不是很難，但是做第二問時，我發現有點困難，不知道該怎么應用所給的條件來解決問題，第三問就更別提了。

學生B：做完第一問后，圖形被我畫得有點亂了，老師您平時講計算半徑（或弦的長度）時，通過相似或垂徑定理來解決問題，我考試的時候能找到相似，但是算不出來。

學生C：第一問我會做，第二問找不到圖形相似。這道題里面的三角形太多了，不知道要用哪對三角形相似來計算。

學生D：我的時間不夠用，找到關系后急急忙忙地算，算錯了。

通過對上述學生的訪談，筆者發現學生主要存在以下問題：1.部分學生很難識別復雜的圖形；2.部分學生完全沒有思路；3.不能準確地找到關系；4.重壓下計算出錯等。

根據以上信息，結合學生的學情，筆者對教學的起點、數學的邏輯起點、學生的思維起點進一步思考，開設了一節試卷講評課，僅供大家參考。

二、針對性設計

環節1：動手操作。

如圖，AB是圓O的直徑，點C為圓上異于A、B的一點，∠BAC的角平分線交圓O于點D，過點D作DE⊥AC，交AC的延長線于點E。

（1）判斷DE與圓O的位置關系，并說明理由。

師：你能和大家分享一下解題思路嗎？

生1：首先猜想：DE與圓O相切，

證明思路：連接OD，只要證明OD⊥DE即可。

根據AD平分∠BAC，可得：∠BAD=∠CAD，

根據DE⊥AE，可得：∠E=90°。

要證OD⊥DE，只要證∠ODE=90°，

此時∠E＋∠ODE=180°，所以OD∥AE。

如何證明OD∥AE是本題的關鍵。

因為OD=OA，所以∠OAD=∠ODA，

而根據∠CAD=∠ODA，可得：OD∥AE。

通過對學生的訪談過程，筆者發現，對于那些完全不會和思路不清晰的學生來說，讀圖理解題意和運用條件是他們的一個難點，特別是對于較復雜的圖形。本環節的設計意圖是讓學生通過讀題，自主畫圖，一方面經歷圖形的生成過程，讓他們明白復雜的圖形其實是通過簡單的圖形一步一步變化而來的；另一方面是對題干中的條件加深理解，在畫圖過程中可以快速地聯想到與條件有關的某些結論。很多教師可能會忽略學生自主畫圖的過程。

環節2：（2）連接BD并延長，交AC的延長線于點F，連接DC。

①你能得到哪些結論？

生2：BD=DF，DC=DF，AB=AF，CE=EF

生3：△CDF∽△BAF，△DEF∽△ADF，△ADF≌△ADB。

對圖形進行連線、加工，讓圖形在學生的手中慢慢生長，從最開始的簡單圖形，逐步演變成復雜圖形。這個過程能讓學生感受到命題人部分的思路，對試題有初步的認識，體現本節課的一條課堂主線：圖形從簡單到復雜的生長過程。

環節3：②若AC=7，BD=2，則圓O的半徑等于多少？

師：我們該如何來解決這個問題？

生4：根據上面的結論：BD=DF=DC=2，其他的不知道。

師：如果我們用設未知數x來表示所要求的半徑，你還能表示出哪些線段呢？

生5：AB=2x，CF=2x-7，EF=x-3.5。

師：那我們能否利用上述的相似來列出對應線段之間的關系呢？

對于計算的問題，學生可能都知道利用勾股定理或相似三角形，部分學生可能也能找到相似圖形，但是這些圖形對學生來說存在以下幾個問題：一是找到的對不對、合不合適、能不能計算；二是一題多解的方法很多，如何找最簡單的來計算；三是相似三角形中的對應線段和題目條件如何聯系，能否正確地表示這些線段的長度；四是根據找到的相似關系列出方程，能否正確地解決這個方程的計算問題。

環節4：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為

生8：老師，還有一種方法，不用相似，連接CB，利用兩次勾股定理也能列出方程，AB2-AC2=BF2-CF2，即（2x）2-72=42-（2x-7）2。

師：很好，請大家現在來解這些方程。直徑的⊙O交邊AC于點D（點D不與點A重合），交邊BC于點E，過點E作EF⊥AC，垂足為F。

（1）求證：EF是⊙O的切線；

（2）若AD=7，BE=2。

①求⊙O的半徑；

②連接OC交EF于點M，則OM=_____。

師：請大家獨立完成。

（2～3分鐘后）提問，你有什么發現？

生10：這道題和剛剛的那道題一模一樣。

師：真的是一模一樣嗎？

生10：圖是一樣的，條件不一樣，但是解題思路都相同。

師：很好！幾何題的條件敘述、條件順序可能不同，但是可能最終呈現的圖形是同一個圖形，這需要大家在以后的解題中看清圖形，厘清條件與思路，可能會有“驚喜的發現”哦。

環節4選取的是一模考試題。通過之前的教學，學生再來獨立思考這個問題，去發現這兩道題之間的關系。學生如果可以發現這兩道題其實就是一道題，本節課的目標便達成了。

學生對兩道題的題干條件、圖形進行比較后發現：圖形的呈現可以通過不同的敘述方式，但最終給出的圖形其實是一個圖形。這有利于學生在今后的復習中思維層次變得更高。

環節5：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作半圓O交BC于點D，過點D作DE⊥AC，垂足為E。

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若CE=1，BC=6，求半圓O的半徑的長。

此環節檢測學生對本節課內容的掌握程度，同時讓學生能認清這些題其實都是一道題，并且能夠正確地解決這個問題。

環節6：自己嘗試在原圖上編制試題來考一考老師（或身邊的同學）。

學生通過本環節能進一步對圖形的生長加深認識與理解，在圖形的簡單與復雜中體會圖形的“演變”，也能達到一題多變的目的。他們嘗試對圖形進行處理與改編，做一回命題人，能加深對數學學習與研究的興趣。

三、反思

1.精致化分析。

精致化分析的目的是“理解數學，理解教學，理解學生”。本節課是借助學生一?？荚嚨慕Y果做精細化分析，精確地尋找學生在解決問題中存在的問題，并借此設計本節課的教學結構，目的是為了遵循數學的發展規律、學生學習數學的認知規律，從而使學生實現對知識的理解與掌握。

2.針對性設計。

針對性設計就是要將精準化分析的結果轉化為具體的教學行為——根據學生存在的問題有針對性地設計教學。本節課的設計以學生的問題為基礎，以圖形的生長變化為載體，以波利亞的解題思路為主導，幫助學生解決復雜圖形問題。在中考的復習階段，很多學生會進行題海戰術，但往往最終的效果都不是很好。事實上，在學習數學的過程中解題是非常重要的環節，但是搞題海戰術不是我們所贊同的，真正有意義的數學學習其實是引發學生的主動思考，激發學生的數學思維。

總之，筆者希望學生能夠從更高的角度去看待數學問題，發現它們內在的聯系與區別，實現做一題精一題、做一題會一類題的目標，減輕在復習階段的作業負擔，從低效、重復的題海中解脫出來，提升數學核心素養。教師要根據學生的實際情況靈活地改變課堂的教學，與此同時還需要對試題加以深度研究，提升自己的專業素養。