虛功原理在結構桿件內力計算中的應用

周欣竹，林佳輝1，胡哲文1，鄭建軍

(1.浙江工業大學 建筑工程學院，浙江 杭州 310023；2.浙江省工程結構與防災減災技術研究重點實驗室，浙江 杭州 310023)

在實際工程中，結構形式復雜多樣，按照力學模型可分為排架結構[1]、框架結構[2]、拱結構[3]和組合結構[4]，結構內力分析和計算是結構設計的前提[5-6]。虛位移原理是結構靜力分析的關鍵，也是結構動力分析的基礎[7]。如果結構的約束較多，一般需先聯立求解方程組獲得約束反力，再計算結構內力，過程比較繁瑣，而虛位移原理提供了直接求解結構內力的簡捷手段[8]。目前，一些學者針對某些特殊類型的結構，提出了虛位移和結構內力計算的方法。對于四部分T形鉸接而成的靜定結構，鮑四元[9]先計算虛位移，再應用虛位移原理求解反力。對于已知一點虛位移在兩個已知方向投影的平面問題和在3 個已知方向投影的空間問題，薛艷霞等[10]給出了該平面問題虛位移在第3 個方向的投影公式和該空間問題虛位移在第4 個方向的投影公式。在前人工作的基礎上，筆者通過仔細分析發現，盡管實際結構形式復雜多樣，但對于多數靜定結構，當去掉一個合適的約束成為機構后，往往各剛體上某些點的虛位移大小或方向的信息容易確定[11-12]，這樣，可以求得該剛體的瞬態轉動中心和各點虛位移大小和方向，最后根據虛位移原理計算整個結構的內力。

1 各種情形下剛體平面運動的虛位移計算

下面討論7 種情形下的剛體虛位移計算，除對第1種情形下的結論給出證明外，為節省篇幅，省略了其余6 種情形下結論的證明，僅給出相關的計算公式。

情形1如圖1所示，如果作平面運動的剛體中A點的坐標為(xA,yA)、虛位移方向的單位向量為nA、大小為δA，B點的坐標為(xB,yB)、虛位移方向的單位向量為nB，則當nA×nB≠0時，剛體的瞬態轉動中心K就是兩條分別過A點和B點且與nA和nB垂直線的交點，K點的坐標(xK,yK)和剛體中任一點C的虛位移大小δC分別為

(1)

(2)

(3)

式中：i和j分別為坐標x和y方向的單位向量；(xC,yC)為C點坐標。

圖1 已知兩點虛位移方向和其中一點虛位移大小

因為KA和KB的向量分別為

nKA=(xA-xK)i+(yA-yK)j

(4)

nKB=(xB-xK)i+(yB-yK)j

(5)

由nKA⊥nA和nKB⊥nB可得

(nA·i)xK+(nA·j)yK=(nA·i)xA+(nA·j)yA

(6)

(nB·i)xK+(nB·j)yK=(nB·i)xB+(nB·j)yB

(7)

求解方程式(6，7)即可得到式(1，2)。由于K為剛體的瞬態轉動中心，剛體中任一點的虛位移大小與該點到K的距離成正比，式(3)明顯成立。

情形2如圖2所示，如果剛體中A點的虛位移大小為δA，B點的虛位移大小為δB、方向為nB，則角度β容易確定，瞬心K到A和B的距離分別為rKA和rKB，由正弦定理有

(8)

求解式(8)可得α，進而確定瞬心K的坐標(xK,yK)，那么剛體中任意一點C的虛位移由式(3)確定。

圖2 已知兩點虛位移大小和其中一點虛位移方向

情形3如圖3所示，如果剛體中兩點A和B的虛位移大小分別δA和δB，另一點C的虛位移方向為nC，瞬心K到C的距離為rKC，則CK與水平線的夾角θ容易確定，且有

(9)

求解式(9)可得rKC，進而結合θ確定瞬心K的坐標(xK,yK)，那么剛體中任意一點C的虛位移由式(3)確定。

圖3 已知兩點虛位移大小和另外一點虛位移方向

情形4如果剛體中兩點A和B的虛位移方向分別為nA和nB，另一點C的虛位移大小為δC，則瞬心K點的坐標(xK,yK)可由式(1，2)確定，剛體中任意一點D的虛位移大小為

(10)

式中(xD,yD)為D點的坐標。

情形5如果剛體瞬心K的坐標為(xK,yK)，A點的虛位移大小δA，則剛體中任一點C的虛位移大小由式(3)確定。

情形6如圖4所示，如果剛體瞬心K的坐標為(xK,yK)，A點的虛位移在n1方向的投影為δ1，以n1為水平軸建立坐標系，則剛體中任一點C的虛位移大小為

(11)

圖4 已知瞬心位置和一點虛位移投影

情形7如果剛體中一點的虛位移在兩個方向n1和n2的投影分別為δ1和δ2，則該點虛位移在n3方向的投影δ3為

(12)

式中：θ1和θ2分別為方向n1和n2與n3之間的夾角。

2 結構桿件內力計算實例

在計算結構中某一桿件的內力時，將該桿件切開，并用一對大小相等、方向相反的力代替，此時原靜定結構變成機構。在計算虛位移時，一般先找出與固支鉸點連接的剛體，則該固支鉸點就是剛體轉動的瞬心，假設該剛體中某點的虛位移大小和方向，利用式(3)求出剛體中各點的虛位移大小。再找出與該剛體相連接的剛體，判斷該剛體的平面運動屬于7 種情形中的哪一種，由此確定該剛體中各點的虛位移大小和方向，依次類推可以確定結構中各點的虛位移大小和方向。當各點的虛位移大小和方向確定后，再應用虛功原理計算所切開桿件的內力。下面給出3 個實例說明桿件內力計算的具體過程。

例1圖5為承受集中荷載FP作用的組合結構，求桿件DG的內力。

圖5 承受集中荷載作用的組合結構

圖6 組合結構虛位移和內力計算

例2圖7為承受集中荷載FP作用的平面桁架，求DF桿的內力。

圖7 承受集中荷載作用的平面桁架

圖8 平面桁架虛位移和內力計算

例3求圖9結構中AB桿的內力。

圖9 承受集中荷載作用的平面桁架

解：解除桿件AB的約束，以一對大小相等、方向相反的作用力F1和F2代替，如圖10所示。由于A點固定，C點的虛位移方向垂直于AC，O1點固定，B點虛位移方向垂直于O1B，而且AC與O1B平行，所以，B和C兩點的虛位移大小相等、方向相同，即δB=δC。由于O3固定，G點虛位移方向垂直于O3G，由C和G的虛位移方向可知：剛體CEDG的瞬心為O3，D點的虛位移方向垂直于DO3，又由于CO3=DO3，則δD=δC=δB。由虛功原理建立如下方程：δBFABcos60°+δEFcos90°=0，求解此方程可得FAB=0。利用結構力學求解器解得桿件AB內力也為0，表明結果正確。

圖10 平面桁架虛位移和內力計算

3 結 論

對于剛體的平面運動，給出了7 種情形下的虛位移計算公式，結合虛功原理提出了靜定結構桿件內力的計算方法。該方法的主要優點是不必事先求解約束反力，可以直接計算桿件內力。通過分析組合結構和平面桁架3 個算例，說明該方法的詳細實施過程和有效性。

本文得到了浙江工業大學研究生核心課程項目(GZ17571060001)和本科核心課程建設項目(PX-48181685)的資助。