彈簧連接體的六種情景

王春旺

彈簧和連接體都是高中物理中的重要模型，求解連接體問題一般需要采用隔離法和整體法分析受力情況，求彈簧的彈力需要運用胡克定律進行定量計算。根據對近幾年高考試題和各地模擬試題的研究發現，彈簧連接體問題主要可以分為以下六種情景。

一、水平面上彈簧連接體平衡情景

情景解讀：可能是粗糙水平面上通過輕彈簧相連接的兩個物體，輕彈簧可能伸長或壓縮;也可能是粗糙水平面上通過輕彈簧直線連接的三個及三個以上的物體，輕彈簧可能伸長或壓縮;也可能是粗糙水平面上通過輕彈簧相連接成菱形的四個物體，輕彈簧可能伸長或壓縮;還可能是粗糙水平面上通過輕彈簧相連接的兩個物體，其中一個物體上作用一個水平力等。

例1 如圖1所示，在粗糙水平面上放置A、B、C、D四個小物塊，各小物塊之間由四根完全相同的輕彈簧相互連接，正好組成一個菱形，∠BAD—120。，整個系統保持靜止狀態。已知物塊A受到的摩擦力大小為廠，則物塊D受到的摩擦力大小為（

）。

A√3/2f B.√3f

C.f

D.2f

解析

已知物塊A受到的摩擦力大小為f，設每根彈簧的彈力為F，則對物塊A由平衡條件得2Fcos 60°=f，解得F=f;設物塊D受到的摩擦力大小為f'，則對物塊D由平衡條件得2Fcos 30°=f'，解得f=√3F=√3f。

答案：B

點評

水平面上彈簧連接體平衡問題一般與靜摩擦力相聯系，解答時需要注意靜摩擦力的大小與壓力無關，與相對運動趨勢的方向相反。

二、豎直面上彈簧連接體平衡情景

情景解讀：可能是豎直面上一端用輕繩懸掛的通過輕彈簧連接的幾個物體;也可能是豎直面上兩端用輕繩懸掛的通過輕彈簧連接的幾個物體;也可能是豎直面上一端用輕繩懸掛的通過輕彈簧連接的幾個物體，另一端作用一個水平力;也可能是豎直面上用輕桿懸掛的通過輕彈簧連接的幾個物體;還可能是通過輕彈簧連接的兩個物體，其中一個物體在水平面，另一個物體在力的作用下懸空等。

例2 如圖2所示，兩個中間有孔的質量均為M的小球A、B用一輕彈簧相連，套在一水平光滑橫桿上。兩個小球下面分別連一輕彈簧。兩輕彈簧下端系在同一質量為m的小球C上。已知三根輕彈簧的勁度系數都為k，三根輕彈簧剛好構成一等邊三角形。則（

）。

A.水平橫桿對小球A、B的支持力均為Mg +mg

B.連接小球c的輕彈簧的彈力為mg/3

C.連接小球C的輕彈簧的伸長量為√3mg

D.套在水平光滑橫桿上的輕彈簧的形變量為√3mg/3k

解析

把三個小球和三根彈簧看成一個整體，進行受力分析，利用對稱性，由平衡條件可知，水平橫桿對小球A、B的支持力N=Mg +1/2g，選項A錯誤。對小球C進行受力分析，由平衡條件得2F1cos 30°mg，解得連接小球C的輕彈簧

點評

求解豎直面上彈簧連接體平衡問題時一般需要考慮物體的重力。解答時需要注意輕彈簧的形變可能是壓縮形變，也可能是伸長形變，且彈力方向沿彈簧恢復原狀的方向。

三、傾斜面上彈簧連接體平衡情景

情景解讀：可能是粗糙傾斜面上通過輕彈簧連接的兩個物體;也可能是光滑傾斜面上通過輕彈簧連接的兩個物體，一端受到擋板的作用力或一端受到拉力的作用;還可能是L型木板上通過輕彈簧連接的一個物體等。

例3 L型木板P（上表面光滑）放在固定斜面上，輕質彈簧一端固定在木板P上，另一端與置于木板P上表面的滑塊Q相連，如圖3所示。若木板P、滑塊Q-起沿斜面勻速下滑，不計空氣阻力，則木板P的受力個數為（ ）。

A.3

B.4

C.5

D.6

解析

隔離滑塊Q進行受力分析，受到豎直向下的重力，木板P對它的支持力，輕彈簧對它的沿斜面向上的彈力，共3個力。隔離木板P進行受力分析，受到豎直向下的重力，固定斜面對它的支持力和摩擦力，滑塊Q對它的壓力，輕彈簧對它的沿斜面向下的彈力，共5個力。

答案：C

點評

本題中因木板P、滑塊Q一起沿斜面勻速下滑，故斜面對木板P一定有摩擦力，輕彈簧中一定有彈力。若題述中給出斜面上表面光滑的條件，則斜面對木板P沒有摩擦力，輕彈簧中彈力為零。

四、水平面上彈簧連接體加速運動情景

情景解讀：可能是多個通過輕彈簧直線連接的物體受到水平拉力的作用，也可能是多個通過輕彈簧直線連接的物體受到水平推力的作用，也可能是三個通過輕彈簧相連接成三角形的物體受到水平拉力的作用，還可能是三個通過輕彈簧相連接成三角形的物體受到水平推力的作用等。

例4 如圖4所示，2 019個質量均為m的小球通過完全相同的輕質彈簧（在彈性限度內）相連，在水平拉力F的作用下，一起沿光滑水平面以加速度a向右做勻加速直線運動。設小球l和2之間彈簧的彈力為F1-2，小球2和3之間彈簧的彈力為F2-3，小球2 018和2 019之間彈簧的彈力為F2018-2019，則下列結論中正確的是（

）。

A. F1 2：F2-3：…：F2018- 2019 =1：2：3：…：2 018

B.從左到右每根彈簧的長度之比為1：2：3：…：2 018

C.如果突然撤去拉力F，那么在撤去拉力F瞬間，小球2019的加速度為F/m，其余小

球的加速度依然為a

D.如果小球1和2之間的彈簧從與小球1連接處脫落，那么脫落瞬間小球1的加速度為0，小球2的加速度為2a，其余小球的加速度依然為a

解析 隔離小球1，由牛頓第二定律得F1-2=ma;把小球1、2看成整體進行隔離，由牛頓第二定律得F2-3=2ma;把小球1、2、3看成整體進行隔離，由牛頓第二定律得F3-4=3ma;把小球1、2、3、4看成整體進行隔離，由牛頓第二定律得F4-5=4ma;……;把小球1到2018看成整體進行隔離，由牛頓第二定律得F2018-2019=2018ma。聯立以上各式解得F1-2：F2-3：F3-4：F4-5：…：F2018-2019=1：2：3：4：…：2018，選項A正確。因彈簧長度等于彈簧原長加上彈簧伸長量，彈簧伸長量與彈簧彈力成正比，故選項B錯誤。如果突然撤去拉力F，那么在撤去拉力F的瞬間，小球之間彈簧的彈力不變，小球2018和2019之間的彈簧彈力F2018-2019=2018ma，由牛頓第二定律得F=2019ma，F2018-2019=ma'，解

，

得小球2019的加速度a=2018F/2019，選項c錯誤。如果小球同1和2之間的彈簧從與小球1連接處脫落，那么脫落瞬間，小球1受力為零，加速度為零，小球2受到小球2和3之間彈簧的彈力，則F2-3=ma2，解得小球2的加速度a2=2a，其余小球的受力情況不變，加速度依然為a，選項D正確。

答案：AD

點評

求解連接體各物體之間的作用力，需要隔離與該力相關的物體列方程解答。

五、豎直面上彈簧連接體加速運動情景

情景解讀：可能是豎直方向上通過輕彈簧連接的兩個物體，兩端分別用輕繩連接，剪斷下面輕繩的瞬間;也可能是豎直方向上通過輕彈簧連接的兩個物體，上端用輕繩懸掛，下端用托板托住，撤去托板的瞬間;也可能是豎直方向上通過輕彈簧連接的兩個物體，上端用輕繩懸掛，下端用托板托住，剪斷上面輕繩的瞬間;還可能是豎直方向上通過輕彈簧連接的兩個物體，下端用托板托住，上端受到豎直向上的拉力作用等。

例5 如圖5所示，質量分別為m和2m的A、B兩物塊通過一輕彈簧相連，將物塊A用輕繩懸掛在天花板上，用一木板托住物塊B。調整木板的位置，當系統處于靜止狀態時，懸掛物塊A的輕繩恰好伸直且沒有拉力，此時輕彈簧的形變量為x。突然撤去木板，重力加速度為g，則下列說法中正確的是（

）。

A.撤去木板后，物塊B向下運動x時速度最大

B.撤去木板后，物塊B向下運動2x時的速度最大

C.撤去木板瞬間，物塊B的加速度大小為g

D.撤去木板瞬間，物塊B的加速度大小為1.5g

解析 當物塊B受到的合外力為O時，加速度為O，速度最大，此時T2=2mg=kx2，又有mg =kx，解得彈簧的伸長量x2=2x，即撤去木板后，物塊B向下運動3x時的速度最大，選項A、B錯誤。撤去木板瞬間，物塊B受到的合外力為3mg，由牛頓第二定律知其加速度大小為1. 5g，選項C錯誤，D正確。

答案：D

點評

解答彈簧連接體問題時需要注意在撤去木板（其他外力）瞬間，輕彈簧的彈力保持不變。

六、傾斜面上彈簧連接體加速運動情景

情景解讀：可能是光滑傾斜面上通過輕彈簧連接的兩個物體，兩端分別用輕繩連接，剪斷下面輕繩的瞬間;也可能是光滑傾斜面上通過輕彈簧連接的兩個物體，上端用輕繩懸掛，下端用托板托住，撤去托板的瞬間;也可能是光滑傾斜面上通過輕彈簧連接的兩個物體，上端用輕繩懸掛，下端用托板托住，剪斷上面輕繩的瞬間;還可能是光滑傾斜面上通過輕彈簧連接的兩個物體，下端用托板托住，上端受到沿斜面方向拉力的作用等。

例6 如圖6所示，在足夠長的傾角θ=30°的光滑斜面上，擋板C與斜面垂直。質量均為m的兩相同物塊A、B與勁度系數為k的輕彈簧兩端相連，在擋板C的作用下處于靜止狀態。現給物塊A施加沿斜面向上的恒力F，使A、B兩物塊先后開始運動。已知彈簧始終在彈性限度內，下列判斷正確的是（ ）。