改進的鍵基正交各向異性近場動力學模型

鄭國君 陳瑞 申國哲 夏陽

摘要：針對經典的鍵基近場動力學（bond?based peridynamic， BPD）模型受固定泊松比限制的問題，提出一種改進BPD模型。該模型可解除泊松比限制，并可用于分析正交各向異性單向板的變形和裂紋擴展問題。在改進BPD模型中，每根鍵受到軸向和橫向成對力的作用，額外增加的節點轉動可消除由橫向力引起的附加彎矩，從而確保該模型滿足角動量守恒條件。仿真結果驗證所提出的改進BPD模型的精度，并展示其預測碳纖維復合材料變形和裂紋擴展的能力。

關鍵詞：

近場動力學; 鍵基; 剪切影響系數; 泊松比; 顆粒旋轉; 角動量守恒; 正交各向異性; 碳纖維復合材料

中圖分類號：TB334;TP391.99

文獻標志碼：B

An improved bond?based peridynamic orthotropic model

ZHENG Guojun， CHEN Rui， SHEN Guozhe， XIA Yang

（School of Vehicle Engineering， Dalian University of Technology， Dalian 116024， Liaoning， China）

Abstract：

As to the problem that the classical bond?based peridynamic（BPD） model is limited by the fixed Poisson′s ratio， an improved BPD model is proposed， which removes the limitation of Poisson′s ratio and can be used to analyze the deformation and crack propagation of orthotropic anisotropic plates. In the improved BPD model， each bond is subjected to axial and transverse forces in pairs， and the additional rotation of particles can eliminate the additional bending momentum caused by transverse forces， so that the balance of angular momentum can be ensured. The simulation results can verify the accuracy of the improved BPD model， and show its ability to predict the deformation and crack propagation in carbon fiber composite material.

Key words：

peridynamic; bond?based; shear influence coefficient; Poisson′s ratio; particle rotation; angular momentum balance; orthotropic; carbon fiber composite material

引?言

復合材料是指由2種或者2種以上不同性質的材料通過物理或者化學的方法結合而成的具有新性能的材料。復合材料具有質量輕、強度高、抗疲勞性好等優點[1]，在航空航天、汽車、風力發電、醫療器械等領域的應用越來越廣泛，如空中客車A380、波音787等客機的主要結構（整體機身、機翼和艙門等）都采用復合材料[2]。隨著復合材料應用領域越來越廣泛，其載荷環境日益復雜，損傷失效問題日益突出，對其失效模式的分析也成為工程中的重點和難點。

傳統的連續介質理論具有微分形式的運動方程，在面對損傷破壞等不連續問題時，由于位移場的不連續性，在不連續的區域難以得到位移場的偏微分方程，因此傳統連續介質理論在求解不連續問題時會遇到困難[3?4]。目前，針對復合材料結構損傷等問題主要采用有限元法，但是有限元法也是以連續介質理論為基礎的，因此使用有限元法求解損傷失效問題也極具挑戰性，需要借助一些附加的失效準則重新劃分網格并進行求解[5?7]，而且損傷只能沿某些特定的方向傳播。為解決傳統有限元在求解損傷裂紋時的缺陷，有學者提出擴展有限元和非連續有限元等思想[8?14]，該思想主要使用獨立于網格劃分的思想解決裂紋擴展問題，不需要對結構內部存在的裂紋等缺陷進行網格劃分。擴展有限元法可提高模型描述復雜位移場的能力，避免網格的重新劃分，解決大量的斷裂問題。但是，在解決不連續問題時，擴展有限元法仍然需要額外的斷裂準則。COX等[15]提出分子動力學理論解決傳統有限元存在的缺陷，但卻增大計算的消耗。KRNER等[16]根據原子間的作用力，考慮長程力的影響，提出非局部連續理論，該理論可不區分不連續性，但由于裂紋的存在，其位移導數仍然是不存在的。

為解決傳統數值方法在求解不連續問題時存在的困難，SILLING[17]和SILLING等[18]提出近場動力學理論（peridynamic，PD），基于非局部思想，通過求解空間積分方程描述物質的力學行為。

鍵基近場動力學（bond?based PD，BPD）模型使用成對力函數描述節點間的相互作用，因此對于各向同性材料來說，鍵力僅與兩個節點間的相對伸長率有關，在平面應力狀態下泊松比被限制為1/3，在平面應變狀態下泊松比被限制為1/4[19]。GERSTLE等[20]通過引入桿單元提出微極模型，通過增加成對力矩模擬具有不同泊松比的線彈性材料，這樣可解除泊松比的限制，但是未考慮鍵的轉動，因此不滿足角動量守恒。REN等[21]提出考慮剪切變形的線彈性固體PD模型，從總變形中減去剛體的轉動部分，但是未具體處理泊松比的限制。GHAJARI等[22]引入勒讓德多項式，提出正交各向異性材料的連續微模量函數模型，能夠預測復雜的斷裂現象，但是其泊松比仍然是受限制的。ZHU等[23]考慮鍵轉動的影響，重構近場動力學鍵基模型，消除泊松比的限制。ZHOU等[24]提出共軛鍵線彈性模型，鍵能不僅與其法向的伸長有關，也與一對共軛鍵的旋轉角度有關，從而克服泊松比的限制。SILLING等[25]提出基于狀態的PD模型，通過引入節點的變形狀態，徹底解除泊松比的限制，但其計算過程比較復雜。

對于正交各向異性材料，雖然有些PD模型可解除泊松比情況限制，但未考慮鍵轉動的影響，不滿足角動量守恒，在剪切模擬時誤差較大?；跔顟B的PD模型雖然可有效解除泊松比的限制，但是基于狀態的PD模型計算過程比基于鍵的PD模型更復雜，應用更不便。

本文基于Timoshenko梁理論提出一種改進的鍵基梁模型，考慮節點的旋轉效應和剪切變形，不僅可以解除泊松比的限制，也可以使橫向剛度計算更加精確。

1?BPD基礎理論

在經典的BPD模型中，PD模型的參考構型和當前構型[17]見圖1。參考構型中某節點在位置xi的動力學方程可以寫為

式中：ρ為質量密度;u為位移矢量場;f為成對力函數，表示節點xj施加到節點xi上的每體積的力;V為節點xi所占據的體積;b為體力矢量場;Ηxi為節點xi的作用域。

為滿足線動量和角動量守恒，對參考構型中的任意相對位置矢量ξ和相對位移矢量η有

f（η，ξ）=-f（-η，-ξ），η，ξ

（η+ξ）×f（η，ξ）=0，η，ξ

（2）

其中：

ξ=xj-xi

η=u（xj，t）-u（xi，t）

（3）

根據式（2）和（3）可知，兩個節點彼此施加的力大小相等、方向相反，且與當前構型中的相對位置矢量平行。

在微彈性材料模型中，成對力函數可以由標量微勢能函數w（η，ξ）推導[17]，即

f（η，ξ，t）=w（η，ξ）η

（4）

單個鍵力與相對伸長率之間的線性關系可以根據線微彈性理論假設和微勢能函數推導，即

w（η，ξ）=c（η，ξ）s2ξ/2（5）

式中：c（η，ξ）為鍵剛度常數;s為鍵的伸長;ξ為ξ的模。s的定義為

s=（ξ+η-ξ）/ξ

（6）

對于微彈性材料來說，給定節點xi處的應變能密度可通過對作用域內的微勢能函數w（η，ξ）積分得到，即

WPD（xi）=12∫Ηxiw（η，ξ）dVxj

（7）

式中的1/2是因為每個節點的鍵能只有總鍵能的1/2。相同載荷作用下PD得到的應變能密度應等于經典彈性力學理論得到的應變能密度，即

WPD（xi）=WCL（xi）

（8）

從而可以得到鍵剛度系數與彈性模量之間的關系。

2?改進的BPD模型

2.1?求解鍵常數

對于改進的BPD模型，由節點xi和在其近場區域Ηxi內的相鄰點xj組成PD鍵，見圖2。

與經典的BPD模型相同，假設鍵的軸向力只與鍵的拉伸變形和軸向力密度有關，即

f^xij=-f^xji=cNs

（9）

式中：f^xij為在近場區域Ηxi內的節點xj施加在節點xi上的軸向力密度;f^xji為在近場區域Ηxj內的節點xi施加在節點xj上的軸向力密度;cN為要求解的PD參數。

考慮用鍵的橫向力消除泊松比的限制。鍵的橫向力附著在兩個節點上，會出現附加的彎矩，必須對其進行消除以滿足角動量守恒。類似于有限元模型中的梁單元，可通過增加兩個節點的旋轉自由度抵消由橫向力引起的彎矩。鍵的橫向位移、力和節點的旋轉角度及彎矩關系見圖2。與軸向力相同，在變形構型上建立橫向力和彎矩。假設PD鍵是具有長度ζ和高度Δ的梁模型，高度相對于長度的比值Δ/ζ沒有小到足以忽略剪切變形的影響。Timoshenko梁理論可描述剪切變形和轉動慣量對各種細長梁的影響。[26]剪切影響系數可解釋剪切應力的變化，適于描述短梁的剪切變形性能。[27]在局部坐標系中，基于Timoshenko梁理論的有限元方程為

p=Kd

（10）

式中：p為附著在材料節點xi和xj之間的鍵的橫向力和彎矩分量;d為鍵的位移分量;K為Timoshenko梁單元的局部剛度矩陣[28?29]。p、d和K分別定義為

p=[fixfiymizfjxfjymjz]T（11）

d=[uiviθiujvjθj]T

（12）

K=EAξ00-EAξ00012EI（1+b）ξ36EI（1+b）ξ20-12EI（1+b）ξ36EI（1+b）ξ206EI（1+b）ξ2（4+b）EI（1+b）ξ0-6EI（1+b）ξ2（2-b）EI（1+b）ξ-EAξ00EAξ000-12EI（1+b）ξ3-6EI（1+b）ξ2012EI（1+b）ξ3-6EI（1+b）ξ206EI（1+b）ξ2（2-b）EI（1+b）ξ0-6EI（1+b）ξ2（4+b）EI（1+b）ξ

（13）

式中：E為彈性模量;G為剪切模量;I為梁的轉動慣量;b為剪切影響系數。b可使梁的橫向剛度更加準確，其定義為

b=6EΔ2/5Gξ2（14）

引入節點的附加旋轉角度和彎矩以計算鍵的應變能，基于Timoshenko梁理論的PD模型見圖3。

由鍵連接的兩個節點之間的位移是相互獨立的，初始的相對位置矢量為ξ，相對位移矢量為η，x′軸與全局坐標系的x軸夾角為。

在單個鍵中，PD的軸向力密度、橫向力密度和彎矩密度可以表示為

f^y=12d（1+b）ξ2ξ-θ^1+θ^22

M^z=M^1z+M^2z2=6c（1+b）ξξ-θ^1+θ^22

（15）

式中：c和d為要求解的PD參數;和分別為軸向和橫向位移;θ^1和θ^2為局部坐標系中節點的旋轉角度;b為剪切影響系數。因此，

=2-1

=2-1

（16）

那么，存儲在由相鄰兩個節點xi和xj形成的PD鍵內的應變能密度為

w（η，ξ）=dTKd/2=

wf^x（η，ξ）+

wf^y（η，ξ）+wM^z（η，ξ）

（17）

式中：wf^x（η，ξ）為由軸向變形引起的應變能密度;wf^y（η，ξ）為由剪切變形引起的應變能密度;wM^z（η，ξ）為由節點旋轉力矩引起的應變能密度。

wf^x（η，ξ）=c2ξ2

wf^y（η，ξ）=12d2（1+b）ξ22ξ-（θ^1+θ^2）2

wM^z（η，ξ）=d2（1+b）ξ-6ξ（θ^1+θ^2）+

（4+b）（θ^21+θ^22）+（4-2b）θ^1θ^2

（18）

節點的旋轉角度與坐標系無關，因此定義

θ=（θ^1+θ^2）/2 （19）

那么應變能密度方程可以化簡為

w（η，ξ）=

12cξ2+12d（1+b）ξξ-θ2+dξ（θ^1-θ^2）2

（20）

在局部小變形過程中，可以假設兩個節點的旋轉角度是相等的，即

θ^1=θ^2（21）

因此，式（20）可化簡為

w（η，ξ）=12cξ2+12d（1+b）ξξ-θ2

（22）

在x′和y′方向上的應變分別為ε1和ε2，那么在局部坐標系下的應變定義為

ε1ε2γ12=cos2 sin2 sin cos sin2 cos2 -sin cos -2sin cos 2sin cos cos2 -sin2 εxεyγxy

（23）

由局部坐標系與全局坐標系關系可知

12=ξε1=ξ（εxcos2 θ+εysin2 θ+γxysin θcos θ）

12=ξ12γ12+θ=ξ-εxsin θcos θ+εysin θcos θ+γxy（cos2 θ-sin2 θ）2+θ

（24）

能量密度

WPD=12∫H12cξε21+12d（1+b）ξ12γ122tdH

（25）

正交各向異性單向板材料可以作為二維問題處理，其PD模型見圖4，厚度方向僅考慮單層物質點，面內分為纖維方向和基體方向，纖維鍵與基體鍵在拉伸方向的鍵剛度分別設為cf和cm，纖維鍵與基體鍵在剪切方向的鍵剛度分別設為df和dm，任意角度的鍵剛度滿足

c=cf+cm，θ=

c=cm，θ≠

d=df+dm，θ=

d=dm，θ≠

（26）

式中：θ為纖維方向與x軸的夾角。

因此，式（25）中的應變能密度可以近似表示為

WPD=12∑Qq=112cfξε21+12df（1+b2）ξ12γ122tVq+

12∫H12cmξε21+12dm（1+b1）ξ12γ122tdH

（27）

式中：b1和b2分別為基體方向和纖維方向的剪切影響因子。

在經典連續介質力學中，正交各向異性材料的平面應力狀態主方向的應力應變關系為

σ1σ2τ12=C11C120C21C22000C66ε1ε2γ12

（28）

式中：Cij為剛度矩陣。因此，經典連續介質理論的應變能密度為

WCL=12Cijεiεj=12C11ε21+C12ε1ε2+

12C22ε22+12C66γ212

（29）

式中：i和j均取1、2、6，ε6=γ12。

PD得到的應變能密度應等于經典連續介質理論的應變能密度，可求得cm、cf、dm和df分別為

cf=2（E1-E2）（1-ν12ν21）Qq=1ξVq

df=2G12（1-ν12ν21）-（1-ν12）E2Qq=15G12ξ25G12ξ2+6E1Δ2×3（1-ν12ν21）Qq=1Vqξ

cm=6（1+ν12）E2（1-ν12ν21）tπδ3

dm=λ（1-3ν12）E26πδt（1-ν12ν21）

（30）

式中：ν為泊松比;λ為調整系數，

λ=ΦΦ-arctan Φ，?Φ=δΔ5G126E2

（31）

2.2?失效準則

對于二維平面問題，破壞每單位斷裂面積的所有鍵所需要的功等于材料的臨界應變能釋放率，由此可以計算臨界拉伸。[30]對于正交各向異性單向板PD模型，鍵失效定義為纖維鍵和基體鍵失效。在纖維方向和基體方向的鍵的臨界伸長示意見圖5。對于纖維方向的鍵，如果鍵伸長超過臨界伸長sft，則纖維鍵發生斷裂;對于其他方向的所有鍵，如果鍵伸長超過臨界伸長smt，則基體鍵發生斷裂。令均勻介質中單位斷裂區域的所有鍵斷裂所需要的功等于應變能釋放率GI，Cr，1（即垂直于纖維方向的Ι型斷裂應變能釋放率[31]），可計算臨界伸長sft;等效相應的功和應變能釋放率GI，Cr，2（即沿著纖維方向的Ι型斷裂應變能釋放率[31]），可計算臨界伸長smt。臨界伸長sft和smt可以表示為

sft=4πGI，Cr，19E1δ，?smt=4πGI，Cr，29E2δ

（32）

節點xi與其近場區域內的任意點xj之間有鍵的相互作用，當鍵的伸長超過臨界伸長s0時，鍵會發生斷裂。定義標量函數μ描述鍵是否發生斷裂，見式（33）。當鍵伸長小于臨界伸長時μ=1，意味著鍵未發生斷裂，否則鍵斷裂并且相應的鍵力變為0。

μ（ξ，t）=1，s（ξ，t′）

（33）

將節點xi的損傷定義為函數φ，見式（34）。若在其近場區域內沒有鍵的斷裂，則損傷值為0;當與節點xi連接的所有鍵都斷開時，節點的損傷值為1;當損傷函數達到0.5時產生裂縫。

φ（x，t）=1-∫H μ（ξ，t）dV′∫HdV′

（34）

3?數值結果

3.1?碳纖維單向板拉伸

為驗證模型的有效性，對不同纖維方向的單向板進行數值模擬，分別考慮纖維方向θ為0°、15°、30°、45°和90°的單向板，板長為100 mm、寬為20 mm、厚為1 mm。初始坐標設置在薄板左邊的中心點，在左側建立寬度為3Δ的區域作為約束區域，右端施加靜力拉伸載荷，力的總和為F=42 000 N。纖維方向的彈性模量E1=41.0 GPa，基體方向的彈性模量E2=10.4 GPa，泊松比ν12=0.28，剪切模量G12=4.3 GPa，密度ρ=1 970 kg/m3。近場區域均勻離散為1 mm×1 mm正方形物質點的集合，近場區域設置為δ=3Δ。使用OpitiStruct進行數值仿真模擬，有限元計算同樣也采用1 mm×1 mm正方形網格，將均勻分布在矩形板上的7個作用點作為測量點，見圖6。

為驗證模型的有效性，繪制具有不同纖維方向的正交各向異性單向板沿x軸的位移云圖，與有限元分析進行對比，結果見圖7～11。

PD模型位移云圖與有限元模型位移云圖結果吻合較好，說明該模型準確。

3.2?碳纖維單向板裂紋擴展

基于本文提出的BPD模型，引入含有中心裂紋缺陷的碳纖維單向板，模擬含缺陷碳纖維單向板的漸進損傷，通過研究單向板的損傷擴展路徑和最終破壞模式，驗證該方法的可行性和有效性。

考慮長為70.0 mm、寬為40.0 mm、厚為0.6 mm的單向板，初始坐標設置在薄板的中心點，纖維方向的彈性模量E1=105 GPa，基體方向的彈性模量E2=8.4 GPa，泊松比ν12=0.32，剪切模量G12=4 GPa，密度ρ=1 800 kg/m3。近場區域設置為δ=3.015Δ，均勻離散為0.5 mm×0.5 mm正方形物質點的集合。缺陷在試件的幾何中心，裂紋長度2a=8.0 mm，在兩側施加2.0 mm的位移載荷。含線裂紋碳纖維單向板受拉伸載荷作用示意見圖12。纖維鍵的臨界伸長sft=0.03，基體鍵的臨界伸長smt=0.02。纖維角度為45°時，其漸進損傷結果對比見圖13。

當纖維方向為45°時，基體首先損傷且損傷開始于初始裂紋的兩端;隨著位移的增大，裂紋沿著纖維方向向兩端擴展，當其達到纖維的臨界伸長時，纖維發生斷裂。PD仿真結果與試驗結果[32]較吻合，可驗證該模型的有效性和可行性，同時也表明PD可以模擬碳纖維單向板裂紋損傷，凸顯PD理論在

模擬裂紋損傷方面的優越性。

4?結?論

提出一種改進的BPD模型用于克服泊松比受到限制的問題，假設節點受到軸向和橫向力的作用，考慮節點的旋轉以消除由橫向力引起的額外彎矩，從而確保該模型滿足角動量守恒條件。由于鍵的高度與長度的比值沒有小到足以忽略的程度，因此在該模型中考慮鍵的剪切影響系數，提高其精度。

通過模擬不同纖維方向的碳纖維單向板的單向拉伸，驗證改進的碳纖維單向板BPD模型的準確性和解除泊松比限制的特點。通過模擬不同纖維角度矩形板的裂紋傳播路經，驗證模型在裂紋損傷模擬中的可行性和準確性。對比結果表明，數值模擬結果和有限元仿真結果均與試驗結果一致，可得出以下結論：

（1）改進的鍵基PD模型通過在鍵的兩個節點上加入成對的橫向力，可消除泊松比的限制。這是因為有4個獨立的PD參數對應于復合材料4個宏觀材料常數，分別為彈性模量、泊松比、剪切模量和密度。

（2）通過考慮節點的旋轉，確保該模型滿足角動量守恒，是該模型能夠精確模擬變形的關鍵。

（3）鍵的剪切影響系數可以提高單軸拉伸下板件的橫向變形精度，對模擬裂紋損傷和擴展至關重要。

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（編輯?武曉英）