一種新型的用于深空高動態微弱信號載波跟蹤環

北京航空航天大學 電子信息工程學院, 北京 100191

由于深空通信的距離遠，通信目標運動速度快，接收信號具有極低的載噪比和較高的多普勒動態[1], 載波跟蹤是信號接收的重難點問題。傳統二階鎖頻環輔助三階鎖相環[2](FLL-PLL)環路帶寬固定，因此方法在深空通信環境中受到限制。為此現代學者提出兩種方法：

1)根據載波跟蹤結果實時控制環路濾波器參數，達到變帶寬目的[3]。其優點是易于實現，多應用于近距離衛星通信，導航接收機當中。但其本質仍是低信噪高動態的折中選擇，無法同時滿足二者需求。

2)使用現代濾波方法。區別于傳統濾波方法，現代濾波本質上使用數學統計規律對狀態量進行某種條件下的最優估計，例如傳統卡爾曼濾波(KF)[4]、擴展卡爾曼濾波(EKF)[5]，也有少量探討了無跡卡爾曼濾波(UKF)[6]、容積卡爾曼濾波(CKF)在跟蹤環路中的應用。但鮮有學者從眾多濾波方法的原理上進行對比分析。

本文從理論上分析了這些方法并在此基礎上提出了新型載波環路，通過計算判別結構控制環路輸出，同時完成了野值剔除功能。

1 載波跟蹤環路結構

設載波跟蹤環路中的輸入信號為BPSK調制信號：

s(n)=Ab(n)cos (ωinTs+θi)

(1)

式中：A為信號幅度；b(n)為信息比特；Ts為采樣間隔；ωi和θi分別為輸入信號的中頻頻率和初始相位。 輸入信號與本地數控振蕩器(NCO)復現頻率相乘后濾除高頻分量，經T=NTs時間的相干積分，可得兩路正交信號：

(2)

(3)

式中：Δω和Δθ分別為輸入信號與NCO的頻率、相位差；tk-1為前一積分時刻。

在載波跟蹤中使用鎖頻環是必要的，目的是更快地進行頻率牽引，為后續環路尤其是迭代濾波提供有效的狀態初值，常用自動頻率牽引(AFC)算法[7]。點積Pdot，叉積Pcross的定義如下：

Pdot=I(k-1)I(k)+Q(k-1)Q(k)

(4)

Pcross=I(k-1)Q(k)-Q(k-1)I(k)

(5)

利用四象限反正切函數可得鑒頻，鑒相誤差：

Δω=arctan 2(Pcross/Pdot)/T

(6)

Δθ=arctan [(Q(k)/I(k)]

(7)

本文提出的新型載波環路如圖1所示，在通常的低信噪比高動態環境下，使用強跟蹤KF算法進行跟蹤，KF算法解決了動態性和跟蹤精度的矛盾問題，強跟蹤算法在一定程度上修正了算法模型的不準確，增強算法的魯棒性。而在更低的信噪比下使用非線性濾波即強跟蹤UKF算法。FLL為環路提供初牽引。三者的切換由計算判別結構控制，該結構控制著環路輸出，使開關平滑，提高了精度，同時在不浪費計算力的情況下剔除野值，加快了環路收斂速度，增強了環路穩定性。

圖1 載波跟蹤環路結構Fig.1 Carrier tracking loop structure

2 濾波方法的分析與設計

2.1 濾波模型理論分析與選擇

載波跟蹤環路基本的非線性模型如下：

(8)

式中：xk和zk分別為第k時刻的狀態向量和觀測向量；h為量測方程；f為狀態轉移方程；W為高斯狀態轉移噪聲向量，其協方差矩陣為Q；V為高斯觀測噪聲向量，其協方差為R。

(1)狀態模型

顯而易見宇航器的完整的非線性運動方程f未知，其概率分布密度也不可預測。因此最大似然估計、EKF、UKF、CKF、粒子濾波(PF)等非線性濾波方法皆無法對未知的非線性狀態轉移方程使用，為此只能近似化狀態方程[8]。設在載波跟蹤中的n維載波狀態量為：

x=[Δθ,Δθ(1),Δθ(2),…,Δθ(n-1)]T

(9)

式中：Δθ為相位差；Δθ(1)為相位1階導，即頻率差Δω，相位n-1階導Δθ(n-1)即頻率Δω(速度信息)的n-2階導。在T時間內做泰勒展開并舍棄n-1以后的高階項有：

(10)

因為舍棄高階項，最高項Δθ(n-1)無法隨時間實時更新，默認Δθ(n-1)前后時刻不變，即：

(11)

式(10) (11)聯立，有：

(12)

觀察式(12)，狀態方程模型此時為線性，在兩方面引入了誤差：一是Δθ的等式舍棄了n-1階后的高階項，二是在n-1階處，k時刻與k-1時刻前后相等。這意味著在極端條件下，如火星的進入下降和著陸(EDL)過程，宇航器運動變化極其劇烈，Δθ不再準確，Δθ(n-1)不能及時更新，有可能使環路發散。這是以有窮列舉無窮所導致的必然?，F給出如下推論。

推論1：在高信噪比及系統模型、噪聲模型準確的情況下，狀態量維數n決定了在高動態條件下的載波跟蹤能力。圖6佐證了這一點?，F代濾波使用的一大掣肘即是量測方程固定，即式(12)框架上。

(2)量測模型

載波跟蹤中量測方程與環路結構有關，當環路中存在鑒相器時，觀測變量只有1維為鑒相結果θerr(T)，在T內的平均鑒相結果有：

(13)

觀察式(13)，此時量測方程為線性。當環路不存在鑒相器時，直接觀測I(k)，Q(k)。由于Δω近似為0，有：

(14)

為去除數據位b(k)取±1的影響，通常使用平方法或比特翻轉法[9]，可統一表達為 :

(15)

式中：K1，K2為消除b(k)后的常系數，由于對稱性一般二者相等；L1，L2為線性函數，考慮到式(14)的對稱性，一般二者相等。此時的量測方程h(x)為非線性。鑒相計算是一種非線性計算(如乘法，反正切法)，直接觀測避免了鑒相引入的非線性噪聲誤差，同時較完整地直接地描述了含噪聲的非線性量測方程，所以給出下面的推論。

推論2：非線性濾波的使用只針對量測方程的非線性，與狀態方程的非線性無關。在相同狀態模型、噪聲模型下，量測方程的選擇影響在低信噪比情況下的載波跟蹤能力。

2.2 算法選擇與具體設計

考慮到推論1，非線性濾波計算量大，KF方法在工程上已經得到較好的應用，本文在較高信噪比的情況下使用KF。在低信噪比時，考慮到UKF在計算量與準確性上較EKF優越，與UKF相比，CKF在低維時無明顯優勢，PF計算量巨大且存在粒子退化現象，本文在低信噪比的情況下使用UKF。

使用KF時代入方程(12)(13)，在T內有狀態轉移方程與觀測方程：

(16)

(17)

(18)

(19)

式中：n為矩陣維度，本文即4；α為比例縮放因子，決定了 sigma 點到均值的距離，取值范圍在(10-4,1)；k為第二比例系數，影響二階以后的高階矩帶來的偏差，本文取0；β與狀態先驗分布有關，影響協方差精度，在高斯分布下β=2最優。

(20)

(21)

(22)

為增強算法魯棒性，消除線性化狀態方程及噪聲模型不準確帶來的誤差，必須引入強跟蹤算法(STF)。強跟蹤算法的核心思想是利用KF的正交性原理[12]，即：

(23)

式中：ηk為新息序列，理想情況下卡爾曼濾波新息序列正交；λk為漸消因子，嵌入一步預測誤差協方差矩陣Pk/k-1，從而調整增益矩陣Kk，強迫新息正交[13]。

在KF中有：

(24)

Pk/k-1得到修正：

Pk/k-1=λkAPkAT+Qk-1

(25)

在UKF中有：

(26)

(27)

至此,卡爾曼濾波輔助的鎖相環(KAPLL)算法構建完畢。

3 環路的3種工作模式與切換條件

設定FLL工作時為狀態A，KF工作時為狀態B，UKF工作狀態為C。整個環路模式切換如2圖所示。

圖2 工作模式示意Fig.2 Working mode switching

本文提出的新型環路增加了一個計算判別模塊控制3種模式轉換，考慮到復雜度與環路鎖定速度，該模塊內的算法應盡量簡單，以求和運算、條件判斷為主，盡量避免出現乘法、指數運算及循環。計算判別模塊有3大功能：存儲，計算，判別。該模塊存儲FLL的鑒頻輸出與 KAPLL的鑒相輸出。求出FLL與 KAPLL最近L，M個輸出均值：

(28)

L是鑒頻誤差累加個數。

(29)

M是鑒相誤差累加個數。本文仿真中，L，M都取20。K小于L，M時，不進行計算與判別。

3.1 工作狀態切換

當

m(k)

(30)

且

abs{[a·n(k)-m(k)]/m(k)}

(31)

式中：P為閾值；a為NCO的相位-頻率轉換系數；p本文取20%。式(30) (31)目的是為了消除開關硬切換時的峰值，當m(k)與n(k)控制的NCO本地頻率相差較近A向B或C轉換。

當

n(k)>Q

(32)

說明鑒相誤差高于閾值Q，B或C向A切換。

UKF與KF迭代框架相同，都是以協方差矩陣調整增益矩陣的卡爾曼形式，因此B，C之間硬切換平滑，其切換門限由輸入信號的載噪比CNR決定。CNR信息是衛星通信中的重要輔助信息，其工程應用成熟，一般在相干積分過程中即可完成估計，常用的方法是方差和方法(VSM)與功率比方法(PRM)[14]。

3.2 野值剔除

為了不浪費式(27) (28)的計算結果，可通過添加簡單的判別，有效地剔除野值。若鑒頻誤差Δω(k)突然變得極大，是上一時刻FLL鑒頻誤差均值m(k-1)的q倍時，即可認定該值為野值，并修正為Δωnew(k),即

Δω(k)>q·m(k-1)

(33)

Δωnew(k)=m(k-1)

(34)

需要注意的是，當上一時刻為修正值Δωnew(k-1)時，當前時刻鑒頻誤差Δω(k)禁止修正，以防錯誤蔓延。

野值剔除通常應用于FLL與KF當中，因為UKF中野值與失鎖時的值較難區分。剔除野值的好處有兩點，一是加快環路鎖定速度，二是保證環路的穩定性。

綜合前文所討論計算判別器的功能，圖3給出了其主程序算法流程。

圖3 主程序算法流程Fig.3 Main program algorithm flow chart

4 仿真校驗

載波頻率為GPS的L1，f=1 575.42 MHz，中頻頻率不影響仿真，設信號中頻為1 MHz采樣頻率為8 MHz，積分時間T為1 ms。傳統3階鎖相環環路帶寬取47 Hz，信號載噪比很低時取25 dB·Hz，高時取50 dB·Hz。根據美國噴氣推進實驗室(JPL) 設計的高動態模型[15]，初始速度v=100 m/s，加速度為25gn，加加速度為100gn/s，可得多普勒頻率，多普勒加速度，多普勒加加速度為：

(35)

式中：gn=9.8 m/s2;c=299 792 458 m/s。

傳統的3階鎖相環無法跟蹤載噪比為25 dB·Hz的高動態模型。在500 ms處突然加入-25gn/s的加加速度。如圖4所示，在四維狀態模型下，加加速度無法實時精確跟蹤，明顯觀察到KF已然發散，強跟蹤UKF能最快回歸收斂。

圖4 低載噪比高動態信號載波跟蹤曲線Fig.4 Low CNR high dynamic signal carrier tracking

為對比在低信噪比時的性能，令輸入信號載噪比為25 dB·Hz，排除高動態的影響，跟蹤目標只存在恒定速度。其跟蹤頻率誤差如圖5所示，圖5(b)由圖5(a)去除最差方法后得到，更加直觀?？梢缘贸?，在低載噪比情況下，FLL-PLL明顯最差，誤差最高，KF次之，KAPLL與EKF明顯較好，且KAPLL稍優于EKF。

圖5 低載噪比信號載波跟蹤誤差Fig.5 Low CNR signal carrier tracking error

為對比算法在高動態時的跟蹤性能，排除低信噪比的影響，令輸入信號載噪比為50 dB·Hz，跟蹤目標有加速度與恒定加加速度。其跟蹤誤差頻率如圖6所示，圖6(b)由圖6(a)去除最差方法得到，更加直觀?？梢缘贸觯瑐鹘y方法與FLL-PLL算法的鑒頻誤差隨多普勒頻移的增大而明顯增大，其他3種算法在高載噪比時誤差幾乎相當，從側面印證了推論1。

圖6 高動態信號載波跟蹤誤差Fig.6 High dynamic signal carrier tracking error

圖7表明了傳統開關切換時的頻率階躍現象，以及本新型環路在模式切換上的改進。圖8表明了野值的危害以及計算判別結構能夠去除野值。

圖7 頻率階躍現象的改善Fig.7 Improvement of frequency step phenomenon

圖8 野值剔除前后對比Fig.8 Comparison before and after rejection of wild values

5 結束語

分析了濾波算法在跟蹤環路中的作用，提出了兩個推論，設計了新型載波跟蹤環。

1) 算法可實現低載噪比下，滿足JPL高動態模型(速度為100 m/s，加速度為25gn，加加速度為100gn/s)的載波跟蹤。

2) 無論是低載噪比還是高動態信號，本文提出的FLL-KAPLL算法都明顯優于傳統方法，與其他新型算法相比亦占有優勢。

3) 計算判別結構能夠有效地消除開關切換時的頻率階躍現象，同時也能有效的剔除野值。

4) 關于本文提出的兩個推論從濾波建模原理出發，對照了仿真結果定性得出的，并沒有進行嚴格的數學推導與數學推論，這是筆者接下來要繼續深化研究的方向。