具有五個相異素因子的某些奇正整數(shù)的刻畫

張四保

(喀什大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，新疆 喀什 844008)

設(shè)N是正整數(shù)，σ(N)表示N的所有正因子的和函數(shù)。對于一個完全數(shù)N有σ(N)=2N。到目前為止只找到51個梅森素數(shù)[1]，由梅森素數(shù)與偶完全數(shù)的特殊關(guān)系，從而也就確定了51個偶完全數(shù)，而尚未解決奇完全數(shù)存在性的問題。似乎由于在推翻奇完全數(shù)存在性這一問題上屢戰(zhàn)屢敗，眾多學(xué)者轉(zhuǎn)而定義了許多與之密切相關(guān)的概念，提出了大量的問題[2]。若σ(N)>2N，則N稱為盈數(shù)；若σ(N)<2N，則N稱為虧數(shù)；若σ(N)=2N+d，則N稱為盈度為d的盈完全數(shù)，當(dāng)d=1時，N稱為準(zhǔn)完全數(shù)；若σ(N)=2N-d，則N稱為虧度為d的虧完全數(shù)，當(dāng)d=1時，N稱為殆完全數(shù)，以上d都是N的一個正真因子。對于以上概念的相關(guān)研究，可參考文獻(xiàn)[3-8]。

對于奇虧完全數(shù)，在文獻(xiàn)[8]中刻畫了滿足ω(N)≤2的所有虧完全數(shù)N的結(jié)構(gòu)，其中ω(N)表示為N的相異素因子個數(shù)函數(shù)；在文獻(xiàn)[9-10]中給出了結(jié)論：不存在虧完全數(shù)N，其中N滿足ω(N)=3；在文獻(xiàn)[11-12]中給出了虧完全數(shù)N的一些性質(zhì)刻畫，其中N滿足ω(N)=4。本文將通過初等方法來討論具有五個相異素因子的虧完全數(shù)的存在性問題。

1 結(jié)論及其證明

(1)

證明若q3≥41，則

得出矛盾，則q5=43或者q5=47。

若d′≥9，則

得出矛盾。

(2)

令

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=

則由(1)式有

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=G1(β1,β2,β3,β4,β5)

(3)

當(dāng)q5=43，β1≥6時，有

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=

這與(3)式相矛盾。

當(dāng)q5=47，β1≥6時，有

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=

這與(3)式相矛盾。定理2證畢。

得出矛盾，則q5=41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97。

(4)

令

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=

則由(1)式有

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=G1(β1,β2,β3,β4,β5)

(5)

當(dāng)β1≥4，q5=41時，有

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=

這與(5)式相矛盾。

當(dāng)β1≥4，q5=43時，有

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=

這與(5)式相矛盾。

當(dāng)β1≥4，q5=47時，有

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=

這與(5)式相矛盾。

當(dāng)β1≥4，q5=53時，有

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=

這與(5)式相矛盾。

當(dāng)β1≥4，q5=59時，有

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=

這與(5)式相矛盾。

當(dāng)β1≥4，q5=61時，有

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=

這與(5)式相矛盾。

當(dāng)β1≥4，q5=67時，有

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=

這與(5)式相矛盾。

當(dāng)β1≥6，q5=71時，有

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=

這與(5)式相矛盾。

當(dāng)β1≥6，q5=73時，有

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=

這與(5)式相矛盾。

當(dāng)β1≥6，q5=79時，有

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=

這與(5)式相矛盾。

當(dāng)β1≥6，q5=83時，有

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=

這與(5)式相矛盾。

當(dāng)β1≥6，q5=89時，有

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=

這與(5)式相矛盾。

當(dāng)β1≥8，q5=97時，有

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=

這與(5)式相矛盾。定理3證畢。

得出矛盾，則q5=17或者q5=19或者q5=23。

(6)

令

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=

則由(1)式有

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=G1(β1,β2,β3,β4,β5)

(7)

這顯然是不成立的。

當(dāng)q5=17，β1≥4時，有

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=

這與(7)式相矛盾。

當(dāng)q5=19，β1≥4時，有

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=

這與(7)式相矛盾。

當(dāng)q5=23，β1≥4時，有

F1(β1,β2,β3,β4,β5)=

這與(7)式相矛盾。定理4證畢。

2 結(jié)語

對于定理2，定理3只是討論了定理1中q1=3時q2≤31中的兩個具體的情況，而定理4討論了定理1中的當(dāng)q1=5的全部可能。如若將定理1中q1=3時q2≤31中的其他情況通過本文的討論方式給出相應(yīng)的性質(zhì)或結(jié)論，這將有助于解決是否具有五個相異素因子的奇虧完全數(shù)的問題。