隨機終止時間下確定繳費型養老金的最優投資策略

王偉 黃鵬飛 黃嬋

摘 要：假定養老金管理者投資的終止時間是不確定的，研究風險資產價格滿足馬爾可夫調節的幾何布朗運動時確定繳費型養老金的最優投資問題。通過隨機動態規劃方法和HJB方程，得到最優投資策略。最后，通過數值例子分析市場的模型參數對最優投資策略的影響，

關鍵詞：繳費型養老金;最優投資;HJB方程;指數效用函數

中圖分類號：F830? ? ? ? 文獻標志碼：A? ? ? 文章編號：1673-291X（2020）04-0063-06

引言

確定繳費型養老金的投保人按照固定繳費率繳費，到退休時領取的養老金完全取決于其個人賬戶的繳費及其投資收益。由于確定繳費型養老金的特點是投保人退休后待遇不能確定，賬戶和基金的投資風險全部由投保人個人承擔，因此如何實現確定繳費型養老金的最優投資成為金融理論界非常關心的問題。近年來，國內外學者在這方面做了很多研究。Thomson建立了一個連續時間動態規劃模型，利用退休時刻財富的期望效用最大化準則，得到了確定繳費型養老金的最優投資策略[1]。Gao考慮了對數效用函數，通過Legendre轉換和對偶理論，獲得了確定繳費型養老金的最優資產配置的顯式解[2]。Battocchio和Menoncin進一步假定養老金繳存人員的工資是隨機的且市場中存在通貨膨脹風險，得到了該模型下確定繳費型養老金的最優投資策略[3]。谷愛玲等假定風險資產價格滿足Ornstein-Uhlenbeck模型，研究了冪效用函數下確定繳費型養老金的最優投資問題[4]。王偉和甘少波假定風險資產價格服從馬爾可夫調制的幾何布朗運動且市場中的貸款利率高于存款利率，采用隨機動態規劃原理得到了確定繳費型養老金的最優投資策略[5]。

以上的文獻都是假定投資終止時間是確定的。然而，在實際生活當中，投資的終止時間不一定是確定的，很多時候一些突發原因會造成投資者提前終止投資，例如：投資者死亡或發生破產等。郭文旌和胡奇英在投資終止時間不確定的條件下，研究了多階段最優投資組合問題[6]。Li和Xie同樣在投資終止時間不確定的條件下，研究了多階段均值—方差框架下的資產—債務管理問題[7]。Yi等考慮了一個連續時間均值方差模型，并且假定企業員工收入是隨機的，研究了該模型下不確定退出時間時的最優投資組合問題[8]。姚海祥等進一步考慮市場中存在通貨膨脹風險，利用隨機動態規劃方法和Lagrang對偶原理得到了最優投資策略和有效邊界[9]。與這些文獻不同的是，本文考慮了經濟狀態對投資策略的影響，利用一連續時間馬爾可夫鏈來描述經濟狀態，假定風險資產價格滿足馬爾可夫調節的幾何布朗運動模型，并研究了當投資時間為隨機終止情況時確定繳費型的最優投資問題。

本文結構如下：第二節介紹金融模型和一些基本假設，第三節考慮了一般效用函數下的確定繳費型養老金的最優投資問題，第四節給出了指數效用函數下的最優投資策略，第五節通過數值結果分析了模型參數對最優策略的影響，第六節給出了結論。

在下頁圖1中，我們考慮了市場經濟狀態處于“牛市”時絕對風險厭惡系數？酌對最優投資策略π*的影響。從圖1可以看出，隨著絕對風險厭惡系數？酌的增加，養老金投資者購買風險資產的比例越來越小，這是因為投資者對風險的厭惡程度越高，越不愿意投資風險資產，而寧愿選擇購買無風險資產。

在下頁圖2中，我們考慮了市場經濟狀態處于“熊市”時絕對風險厭惡系數？酌對最優投資策略π*的影響。與圖1的結果一樣，隨著絕對風險厭惡系數？酌的增加，養老金投資者購買風險資產的比例越來越小，造成這個結果的原因也是一樣的。然而，對比圖1和圖2我們可以發現，當市場處于“牛市”時，投資者購買風險資產的比例是高于市場處于“熊市”時購買風險資產的比例的。這是因為當市場處于“牛市”時，投資者從風險資產中獲得的回報是高于市場處于“熊市”時的回報。此外，我們不僅假定了市場處于“牛市”時風險資產的回報率高于市場處于“熊市”的時候，還假定了“牛市”時風險資產的波動率低于處于“熊市”的時候，而波動率越高，風險越大，投資者投資風險資產的興趣就會減少，這個現象在下頁圖5和圖6中可以發現。

在圖3和下頁圖4中，我們分別考慮了市場處于不同狀態時風險資產的回報率對最優投資策略的影響。從這兩個圖可以發現，無論市場處于“牛市”還是“熊市”，風險資產的回報率越高，投資者對該資產的投資比例也越高，這符合市場規律，投資者投資風險資產的目的就是追求高回報率。

在圖5和圖6中，我們分別考慮了市場處于不同狀態時風險資產的波動率對最優投資策略的影響。從這兩個圖可以看到，隨著波動率的增加，投資者投資風險資產的比例在減小，這是由于波動率越大，投資該風險資產的風險也越高，較高的風險會降低投資者的興趣，因此風險資產的波動率對投資比例是負的影響。

結語

本文采用隨機控制中的一些方法對不確定終止時間時確定繳費型養老金的最優投資問題進行了研究，并利用HJB方程和驗證定理得到了指數效用函數下最優投資策略的顯示解，最后給出了最優投資策略的數值結果，并分析了模型參數對最優投資策略的影響。通過數值結果我們得到以下結論：一是在不同市場經濟狀態下最優投資策略是有明顯差別的，說明市場經濟狀態對投資者的投資決策有很大的影響;二是絕對風險厭惡系數？酌和風險資產的波動率越大，投資者購買風險資產的比例越低，表明投資者對風險的厭惡程度和資產的價格波動風險對投資決策的影響也是不可忽視的;三是最優投資策略π*（t）關于？滋遞增，這意味著風險資產的回報率越高，投資者將增加購買風險資產的比例。

參考文獻：

[1]? Thomson R.J.The use of utility functions for investment channel choice in defined contribution retirement fund[J].British Acturial Journal，2003，（9）：653-709.

[2]? Gao J.Stochastic optimal control of DC pension funds[J].Insurance：Mathematics and Economics，2008，（42）：1159-1164.

[3]? Battocchio P.，Menoncin F.Optimal pension management strategies in the presence of a minimum guarantee[J].Insurance：Mathematics and Economics，2004，（34）：79-95.

[4]? 谷愛玲，李仲飛，曾燕.Ornstein-Uhlenbeck模型下DC養老金計劃的最優投資策略[J].應用數學學報，2013，（4）：715-726.

[5]? 王偉，甘少波.存貸利差下確定繳費型養老金的最優投資策略[J].統計與決策，2017，（8）：162-165.

[6]? 郭文旌，胡奇英.不確定終止時間的多階段最優投資組合[J].管理科學學報，2005，（2）：13-19.

[7]? Li Z.F.，Xie S.X.Mean-variance portfolio optimization under stochastic income and uncertain exit time[J].Dynamics of Continuous，Discrete and Impulsive SystemsB：Applications and Algorithms，2010，（17）：131-147.

[8]? Yi L.，Li Z.F.，Li D.Mutli-period portfolio selection for asset-liability management with uncertain investment horizon[J].Journal of Industrial and Management Optimization，2008，（3）：535-552.

[9]? 姚海祥，吳慧玲，曾燕.不確定終止時間和通貨膨脹影響下風險資產的最優投資策略[J].系統工程理論與實踐，2014，（5）：1089-1099.

[10]? Pliska S.R.，Ye J.Optimal life insurance purchase and consumption investment under uncertain lifetime[J].Journal of Banking and Finance，2007，（31）：1307-1319.

Optimal Investment Strategies for a Defined Contribution Plan Under a Stochastic Time Horizon

WANG Wei，HUANG Peng-fei，HUANG Chan

（School of Mathematics and Statistics，Ningbo University，Ningbo 315211，China）

Abstract：This paper supposes that the pension managers can invest risky assets and the termination time is uncertain，we study the problem of an optimal portfolio strategy for a defined contribution pension plan when the dynamics of a risky asset follows a Markov-modulated geometric Brownian motion.By applying stochastic dynamic programming approach and the HJB equation，we obtain the optimal investment strategies.Finally，some numerical examples are provided to analyze the effects of the model parameters on the optimal investment strategies.

Key words：contributory pension;optimal portfolio;HJB equation;exponential utility function