時間尺度上完整非保守力學系統的Noether定理

張 毅

（蘇州科技大學 土木工程學院，江蘇 蘇州215011）

時間尺度是實數集的任意非空閉子集。 時間尺度上微積分將微分方程和差分方程的研究統一并推廣到時間尺度動力學方程的框架下進行，不僅避免了對微分方程和差分方程的重復研究，而且可以更深刻地揭示連續系統、離散系統以及其他復雜系統動力學的本質差異。 自1988 年德國學者Hilger 在其博士論文基礎上建立時間尺度分析理論以來，已經在科學和工程的諸多領域得到了廣泛應用[1-3]。 2004 年，Bohner[4]、Hilscher和Zeidan[5]研究了時間尺度上變分問題。2008 年，Bartosiewicz 和Torres[6]首先建立了時間尺度上Noether 定理并利用時間重新參數化方法給出了定理的證明。 此后，Bartosiewicz 和Torres 等[7]導出了時間尺度上變分問題的第二Euler-Lagrange 方程，并基于該方程給出了Noether 定理的另一證明。時間尺度上動力學及其Noether定理是對經典連續版本和離散版本動力學及其Noether 定理的統一和推廣，近年來引起人們的廣泛關注[8-17]。文章將進一步研究時間尺度上完整非保守力學系統的Noether 對稱性與守恒量， 建立系統的Noether 定理，并給出定理的一個直接證明。

1 時間尺度預備知識

時間尺度是實數集R 的任意非空閉子集，通常用T 表示。例如，實數集R、整數集Z、自然數集N，或[1，2]{3，4，5}等都是時間尺度，而有理數集Q、復數集C，或者開區間（0，1）等都不是時間尺度。

研究時間尺度時，向后跳躍算子 ρ：T→T 和向前跳躍算子 σ：T→T 起著核心作用，其定義為 ρ（t）=sup{s∈T:s＜t}和 σ（t）=inf{s∈T:s＞t}。 如果 ρ（t）=t，ρ（t）＜t，σ（t）=t，以及 σ（t）＞t，則點 t∈T 分別稱為左稠密、左發散、右稠密和右發散的。 由 μ（t）=σ（t）-t 定義的函數 μ:T→R+稱為向前步差函數。

設函數 f:T→R，t∈Tk，其中 Tk=T（ρ（supT），supT]，則 f 在 t 的 Δ-導數 fΔ（t）定義為：給定任意 ε＞0，存在δ＞0，使得 t 在的鄰域 U=（t-δ，t+δ）∩T 上對所有 s∈U 成立|f（σ（t））-f（s）-fΔ（t）（σ（t）-s）|≤ε|σ（t）-s|。 如果對所有的 t∈Tk，fΔ（t）存在，則稱 f在 Tk上是 Δ-可微的。 fΔ（t）也可表示為（Δ/Δt）f（t）。

如果函數f:T→R 在時間尺度T 中的每個右稠密點連續，且在每個左稠密點具有左極限，則稱函數f 是rd 連續的。 用記號分別表示在T 上所有rd 連續的函數的集合以及在Tk上具有rd 連續的Δ-導數的Δ-可微函數的集合。

如果對所有的 t∈Tk，有 FΔ（t）=f（t），則函數 F:T→R 稱為函數 f:T→R 的一個原函數。 函數 f 的不定積分定義為定積分定義為其中 a，b∈T，C 是任意常數。

對于 Δ-可微函數 f（t）和 g（t），以下公式成立[1]

其中 fσ（t）=f（σ（t）），即 fσ=f ?σ。

時間尺度上 Dubois-Reymond 引理[1]：令則當且僅當 g（t）≡C 時，其中 t∈[a，b]k，常數C∈Rn，對所有且

關于時間尺度上微積分更詳細的介紹可參閱Bohner 和Peterson 的著作[1]。

2 時間尺度上非保守系統的Hamilton原理和Lagrange方程

時間尺度上Hamilton 作用量為

其中 qsσ（t）=（qs?σ）（t），qsΔ（t）是廣義坐標 qs對 t 的 Δ-導數；L:R×Rn×Rn→R 是 Lagrange 函數。 假設這些函數都是函數，s=1，2，…，n。

時間尺度上Hamilton 原理為

且滿足互易關系

以及端點條件

原理（6）可稱為時間尺度上非保守系統的Hamilton 原理。

由于

將式（9）代入式（6），得到

由式（10），利用分部積分計算，并考慮到端點條件（8）和互易關系（7），得到

由式（11），根據時間尺度上 Dubois-Reymond 引理，得到

將式（12）兩邊對 t 求 Δ-導數，有

方程（13）稱為時間尺度上完整非保守力學系統的Lagrange 方程。

如果非保守力Qs≡0，則方程（13）成為時間尺度上Lagrange 方程

3 時間尺度上非保守系統的Noether對稱性

引進時間尺度上時間t 和廣義坐標qs的群的無限小變換

或其展開式

其中ε 是無限小參數，ξ0和ξs是無限小變換的生成元，表示非等時變分。

時間尺度上的Noether 對稱性是指Hamilton 作用量（4）在群的無限小變換（15）下的不變性。 類似于文獻[11]，如果存在規范函數使得無限小變換的生成元 ξ0和 ξs滿足廣義 Noether 等式

其中

則相應不變性為時間尺度上完整非保守系統（13）的Noether 對稱性。

4 時間尺度上完整非保守系統的Noether定理

由Noether 對稱性可找到Noether 守恒量，對于時間尺度上完整非保守力學系統，有如下定理。

定理1對于時間尺度上完整非保守力學系統（13），如果無限小變換（15）的生成元ξ0和ξs滿足廣義Noether 等式（17），則

是該系統的Noether 對稱性直接導致的Noether 守恒量。

證明將式（19）兩邊對 t 求 Δ-導數，并利用方程（13）和廣義 Noether 等式（17），得到

因此，沿著時間尺度上完整非保守力學系統的Lagrange 方程（13）的解曲線，式（19）是一個守恒量。 證畢。

定理1 可稱為時間尺度上完整非保守力學系統（13）的Noether 定理。

如果非保守力Qs≡0，則定理1 給出時間尺度上Lagrange 系統的Noether 定理。 有如下定理。

定理 2對于時間尺度上 Lagrange 系統（14），如果無限小變換（15）的生成元 ξ0和 ξs滿足如下的Noether 等式

則系統存在Noether 守恒量，形如

定理2 可稱為時間尺度上Lagrange 系統（14）的Noether 定理。

如取時間尺度 T=R，則 σ（t）=t，μ（t）=0，此時方程（13）給出

這是經典情形下一般完整系統的Lagrange 方程。 容易驗證成立如下關系式

因此，定理1 退化為

定理3對于完整非保守力學系統（22），如果無限小變換的生成元ξ0和ξs滿足如下廣義Noether 等式

則系統存在Noether 守恒量，形如

定理 3 是經典的一般完整系統（22）的 Noether 定理[18]。

5 算例

例1研究時間尺度上完整非保守力學系統，其Lagrange 函數為

非保守力為

設時間尺度為

試研究該時間尺度上完整非保守系統的Noether 對稱性與守恒量。

由時間尺度（28），設 t=2m+1∈T，則向前跳躍算子為

因此，步差函數為

由式（26）和（27），根據方程（13），得到時間尺度上系統的動力學方程為

廣義 Noether 等式（17）給出

方程（32）有解

生成元（33）和（34）都相應于系統的 Noether 對稱性。 由定理 1，得

式（35）和（36）是與生成元（33）、（34）相應的 Noether 守恒量。

對于時間尺度上完整非保守系統，第二Euler-Lagrange 方程[7]可表為

將式（26）、（27）和（30）代入方程（37），顯然方程（37）并不成立。 而如果取時間尺度 T=R，則容易驗證方程（37）成立。

6 結語

時間尺度微積分為處理連續的、離散的或量子的以及混合的問題提供了一種統一的方法，為復雜系統動力學研究提供了一個重要的數學工具。 文章提出并研究了時間尺度上完整非保守力學系統的Noether 對稱性與守恒量。 文章主要貢獻在于：一是建立了時間尺度上非保守力學系統的Hamilton 原理，導出了時間尺度上完整非保守力學系統的Lagrange 方程。 二是給出了時間尺度上完整非保守力學系統的Noether 對稱性的判據和廣義Noether 等式。 三是建立了時間尺度上完整非保守力學系統的Noether 定理，并給出了定理的一個直接證明。 當不存在非保守力時，定理退化為時間尺度上Lagrange 系統的Noether 定理；當時間尺度取為實數集時，定理退化為經典完整非保守力學系統的Noether 定理。