偏序集上的way-up關系

徐款款， 盧 濤

（淮北師范大學 數學科學學院，安徽 淮北235000）

文獻[1]詳細地給出了way-below 和輔關系的定義及其相關性質。 受此啟發，筆者在已有way-up 關系概念的基礎之上，借助way-up 關系和新的輔關系的定義討論了way-up 關系在偏序集、并連續半格及余dcpo不同背景下的性質；然后，在余dcpo 上給出了逼近輔關系的定義并研究其相關性質；最后，從范疇論[2-3]的角度考慮，給出了局部余定向完備范疇的概念，并將偏序集上的way-up 關系轉移到局部余定向完備范疇上，討論了局部余定向完備范疇上way-up 關系的相關性質。

1 預備知識

定義 1[1]設（L，≤）是偏序集，S?L。 若 S≠?，并且 S 中的任意二個元在 S 中都有下界，即?a，b∈S，有c∈S，使得 c≤a，c≤b，則稱 S 是余定向的。

定義2[1]設（L，≤）是偏序集。 若對于L 的任意定向子集S，∨S∈L 都存在，則稱偏序集（L，≤）有定向并或稱（L，≤）是定向完備的。 定向完備的偏序集也稱為dcpo。

定義3[4]設L 是偏序集，x，y∈L，對任意的余定向集M?L，若inf M 存在，且y≥inf M，存在m∈M，使得x≥M，則稱 x way-up y，記作 x?y。 當 x?x 時，稱 x 是 L 的余緊元。

注1在偏序集L 中，x?y 能推出x≥y；反之不成立，如圖1、圖2 所示。

圖1 x?y

圖2 x≥y 但 x?y 不成立

注2在完備半格L 中（特殊地，在完備格中），way-up 關系可以與以下性質等價：

x?y?對任意子集X?L，當y≥inf X 時，蘊含著存在有限子集A?X，使得x≥inf A。事實上：令余定向集X-={inf A:有限集 A?L}，則 inf X-=inf X。 因此，若 x?y，由定義可知：若 y≥inf X，存在有限集 A?L，使得x≥inf A。 反之為顯然。

定義4[1]設L 是偏序集，對于a∈L 與S?L，規定

當 S=↓S 時，稱 S 是下集；當 S=↑S 時，稱 S 是上集。

定義5[5]設L 是半格。 若L 是定向完備的，即dcpo，并且對任意的x∈L 和定向集D?L 滿足

則稱L 是交連續的。 并半格L 是并連續的當且僅當Lop是交連續的。

定義6設L 是偏序集。 若L 是一個半格且是余定向完備的，則稱L 是余定向完備半格。

定理1在余定向完備半格L 中，以下結論等價：

（1）L 是并連續的；

（2）對任意的余定向集 D，當 x≥inf D，有 x≥inf（x∨D）（因此，x＝inf（x∨D））。

定義7[1]設（L，≤）是偏序集。 若對于L 的任意余定向子集D，∧D∈L 都存在，則稱偏序集（L，≤）是余定向完備的。 以下簡記余定向完備偏序集為余dcpo。

定義 8[6]設 L 是一個小范疇，D:J→L 是一個 J 型圖。 稱 D 是一個濾子圖表，如果對任意 j，j′∈obJ 的都存在 i∈obJ，使得 D（i）→D（j），D（i）→D（j′）。

以下研究way-up 關系的相關性質。

2 way-up關系的相關性質

定理2設L 是偏序集，元素p∈L 是余緊元當且僅當p?p（即對任意的余定向集D?L，且inf D 存在，若 p≥inf D，則存在 d∈D，使得 p≥d）。

記K（L）={x∈L:x?x}是L 的所有余緊元構成的集合。

注 3設 L 是完備半格，（特殊地 L 是完備格），p∈K（L）當且僅當對任意的 D?L，p≥inf D 蘊含著存在有限集 F?D，使得 p≥inf F。 事實上：設余定向集合 X-={inf F:F?D，F 有限集}且 inf X-=inf D。 因此，若 p?p，由定理2 可知：若p≥inf D，則存在有限集F?D，使得p≥inf F。 反之為顯然。

例 1若 L 是單位區間，則 K（L）={1}。

命題 1設 L 是偏序集，對任意的 x，y，z，w∈L，以下結論成立：

（1）x?y?x≥y；

（2）w≥x?y≥z?w?z；

（3）x?z 且 y?z?若 x∧y 存在，則 x∧y?z；

（4）1?x，即 L 有最大元 1。

證明（1）由 x?y 知：任取余定向集 D?L，若 inf D 存在，且 y≥inf D，則存在 d∈D，使得 x≥d，故可取y=d，則有 x≥y。

（2）任取余定向集 D?L 且 inf D 存在。 若 z≥inf D，由 y≥z 知：y≥inf D。 因為 x?y，則存在 d∈D，使得x≥d。 又因為 w≥x ，從而 w≥d。 故 w?z。

（3）任取余定向集 D?L 且 inf D 存在。若 z≥inf D，由 x?z 知：存在 d1∈D，使得 x≥d1。再由 y?z 知：存在d2∈D，使得 y≥d2。 因為 D 為余定向集，所以存在 d∈D，使得 d1∧d2≥d，所以 x∧y≥d1∧d2≥d。 故 x∧y?z。

（4）任取余定向集 D?L，設 x≥inf D。 而?d∈D，有 1≥d，故 1?x。

顯然由（1）（2）知，?是滿足傳遞性和反對稱性，記

注4設L 是完備格，x∈L，集合?x 是包含于↑x 的濾子。若 x≥y，則?x??y。

例 2設 L 是完備鏈，x＞y 蘊含著 x?y。相反，若 x?y，則 x＞y 或 x=y 或 x=1。事實上：inf（↑x{1}）＞x，所以x 是跳躍的右端點，因此，若 L 是平凡單位區間[0，1]，則 x?y?x＞y 或 x=y=1。

設 L 是偏序集，x∈L，記 J（x）={F∈Filt（L）:x≥inf F}。

命題2設L 是偏序集，以下結論等價：

（1）x?y；

（2）對任意滿足 y≥inf D 的濾子 D，有 x∈D；

（3）x∈∩J（x）。

證明（1）?（2）由定義知：顯然。

（2）?（1）設余定向集 F?L，且 y≥inf F，則 D=↑F 是濾子，從而 y≥inf F=inf D。 由（2）知：x∈D，即存在d∈D，使得 x≥d，故 x?y。

（3）是（2）的另一種形式。

命題3若L 是并連續半格，則以上三個命題和以下結論等價：

對任意滿足y=inf D 的濾子D，有x∈D。

證明在并連續半格中，y≥inf D?y=inf（y∨D）。

命題4設存在余定向集D??x，且x=inf D，則?x 是余定向的，且x=inf ?x。

證明 設 y?x，z?x，則存在 d1，d2∈D，使得 y≥d1，z≥d2。 因為 D 是余定向的，則存在 d∈D，使得 d1≥d，d2≥d，從而有 y≥d，z≥d 且 d?x，因此，?x 是余定向的，且 x=inf ?x。

定義9設L 是偏序集，?是L 上的二元關系。 若對任意的x，y，z，w∈L，滿足以下條件：

（1）x?y?x≥y；

（2）w≥x?y≥z?w?z；

（3）若最大元 1 存在，則 1?x。則稱?是L 上的輔關系。

設L 是偏序集。 若L 有最大元1，記UppL 表示在L 中所有包含1 的上集構成的集合。

由命題 1 可知：?x=∪{D∈Filt（L） :x≥inf D}。 設 L 是余 dcpo，對任意的濾子 D∈Filt（L）映射 mD:L→UppL，其中

則 mD（x）是上集且↑x?mD（x），而且是保序的，也就是說 mD∈M。 其中

定義10設L 是余dcpo。 L 上的輔關系?稱為逼近的，如果集合{u∈L:u?x}=s?（x）是余定向的（因此，是一個濾子），且對任意的 x∈L，有 x=inf{u∈L:u?x}=inf s?（x）。

顯然，關系≥是平凡逼近的。

引理1在并連續半格L 中，對于任意的D∈FiltL，所有包含于映射mD的關系是逼近的。

證明設 x∈L，D∈FiltL，顯然 mD（x）是有下界的余定向集，所以 inf mD（x）存在。 下證 x=inf mD（x）。 若x≥inf D，則 inf mD（x）=inf（x∨D）=x∨inf D=x。 若 xinf D，則 inf mD（x）=inf↑x=x。

命題5設L 是余dcpo，則L 上的way-up 關系?包含于所有逼近的輔關系。

證明設 y?x 且?是逼近輔關系，則集合 s?（x）={u∈L:u?x}是余定向的，且 x=inf{u∈L:u?x}，從而存在一個 u∈L，使 y≥u?x，因此，y?x。 故 L 上的 way-up 關系?包含于所有逼近的輔關系。

命題6設L 是余dcpo，考慮以下條件：

（1）關系?是L 上的最小的逼近輔關系；

（2）L 中存在一個最小的逼近輔關系。則（1）?（2）。

定義11設L 是偏序集，?是L 上的輔關系。 若?x，z∈L

則稱輔關系?滿足強插入性質。

引理2設L 是余dcpo，則L 上的任意逼近輔關系?滿足以下結論：對?x，z∈L

證明設 x?z 且 x≠z。 因輔關系?是逼近的，從而 s?（z）={u∈L:u?z}是余定向的且 z=inf{u∈L:u?z}，則存在 u?z 且 ux。 又因為{u∈L:u?z}=s?（z）是余定向的，則存在{x，u}的下界 y，使得 y?z，從而 x≥y?z。由于 ux，則 x≠y。

定理3設L 是余dcpo，則L 上的任意逼近輔關系?，有以下結論成立：對?x，z∈L

（1）設集合 D?L 是余定向的。 若 x?z，x≠z 且 z≥inf D，則存在元素 y∈D，使 x?y 且 x≠y。

（2）若 x?z 且 x≠z，則存在一個 y，使得 x?y?z 且 x≠y。

證明（1）設集合 D?L 是余定向的且 z≥inf D。 設 F=∩{s?（d）:d∈D}。 因為 F 是濾子，所以 inf F=inf{inf s?（d）:d∈D}=inf D≤z，則關系?是逼近的。 由 x?z 可知：x∈F。 因此，存在元素d∈D，使得 x?d。因為xz 且 z≥inf D，則存在元素 c∈D 且 cx。 令 y 是{c，d}在 D 中的下界，則 y 滿足命題條件：y∈D，使 x?y 且x≠y。

（2）取余定向集 D={y∈L:y?z}=s?（z）。因為輔關系?是逼近的且 z=inf D。若 x?z 且 x≠z，由（1）可知：可以找到一個元素 y∈D，使 x?y 且 x≠y，從而有 x?y?z 且 x≠y。

接下來從范疇論的角度將偏序集上的way-up 關系推廣到任意小范疇上， 引入局部余定向完備范疇的定義，并把way-up 關系轉移到局部余定向完備范疇上。

3 局部余定向完備范疇及其上的way-up關系

該節所涉及到的范疇都是小范疇。記一個范疇L 中的態射為→。對任意的x∈obL，記↑x={y∈obL:x→y}。

定義12設L 是一個小范疇，若L 中的每一個濾子圖表D 的下確界iolim D 都存在，則稱L 是一個余定向完備范疇。

定義13設L 是小范疇，若對任意的a∈obL，↑a={x∈obL:a→x}為余定向完備范疇，則稱L 是局部余定向完備范疇。 用iolimaD 表示濾子圖表D:J→↑a 在↑a 中的下確界。

注5余定向完備范疇是局部余定向完備范疇。

定義14設L 是局部余定向完備范疇，x，y∈ob。 若對L 中任意一個有下界的濾子圖表D:J→L 與它的一個下界 b，如果存在態射 iolimbD→y，則總有 j∈obJ，使得 D（j）→x 成立，則稱 x way-up y，記作 x?y。

命題 7設 L 是局部余定向完備范疇，則對任意的 u，x，y，z∈obL，有

（1）若 x?y，則 y→x；

（2）若 u→x?y→z，則 z?u；

（3）若 L 有終對象 1，則 1?x。

證明（1）取 D（obJ）={y}。 若 x?y，由定義 14 可知：y→x。

（2）設u→x?y→z。 對L 中任意一個有下界的濾子圖表D:J→L 與它的一個下界b，如果存在態射iolimbD→u，則有 iolimbD→y。 又因為 x?y，則存在 j∈obJ，使得 D（j）→x 成立，從而 D（j）→z。 因此，z?u。

（3）對L 中任意一個有下界的濾子圖表D:J→L 與它的一個下界b，如果存在態射iolimbD→x，因為1 是終對象，則總有 j∈obJ 使得 D（j）→1。 故 1?x。

定義15設L 是范疇且具有終對象。稱obL 上的二元關系為輔關系，如果對于任意的u，x，y，z∈obL，滿足以下條件：

定義16設L 是局部余定向完備范疇。稱定義在obL 上的輔關系為逼近的，如果s(x)={u∈obL:ux}是余定向的且對任意的x∈obL，有

記obL 上的所有逼近的輔關系構成的集合為App（obL）。

命題8在局部余定向完備范疇中，way-up 關系包含于所有逼近的輔關系。

證明設 y?x,∈App（obL），則集合{u∈obL:ux}是余定向的，且對?x∈obL，有于是存在 u∈obL，使得 ux→y，由定義 15（2）可得：yx。 故 way-up 關系包含于所有逼近的輔關系。

引理3設L 是局部余定向完備范疇，則obL 上的任何逼近的輔關系滿足條件：對任意的x，z∈obL，若 xz 且 x≠z，則存在 y，使得 zy→x 且 x≠y。

證明設 xz 且 x≠z。 因為是逼近的輔關系，則 s（z）={u∈obL:uz}是余定向的且uz}。 于是存在 u∈obL，使得 uz 但 x→/ u。 又 s（z）是余定向的，所有存在 x 與 u 的一個下界 y，即 y→x，y→u，使得 zy。 因此，zy→x 且 x≠y（否則與 x→/ u 相矛盾）。

定理4設L 是局部余定向完備范疇，則obL 上的任何逼近的輔關系滿足下列條件：對?x，z∈obL。

（1）設 L 中任意一個有下界的濾子圖表 D:J→L 與它的一個下界 b。 若 x?z，x→/ z 且存在態射則存在 y∈D（obJ），使得 xy 且 x≠y；

證明（1）設D:J→L 是L 中任意一個有下界的濾子圖表，它的一個下界為b，且存在態射由輔關系是逼近的可知：s（d） 是余定向的且若 x?z，則存在 i∈B，使得 i→x，即存在 d∈D（obJ），使得 di→x，從而 xd。由知：存在 e∈D（obJ）使得 x→/ e。 令 y 是 d 與 e 在 D 中的下界，從而 y∈D（obJ）且 y→d，y→e。 故 xy 且 x≠y。

（2）取 D=s（z）={y∈obL:yz}。 因為輔關系是逼近的，則 D 是濾子圖表且如果 x?z 且由（1）知：可以找到 y∈D（obJ），使得 xy 且 x≠y，從而有 xyz 且 x≠y。

4 結語

討論了way-up 關系在偏序集、并連續半格及余dcpo 不同背景下的性質，引入了逼近輔助關系的定義并研究其相關性質，但是關于way-up 關系和新的輔關系在連續偏序集上的性質未做深入研究，這也是今后需要研究的一個方向。