基于愿景滿意度函數的多屬性群決策方法

趙 萌，張晨曦，胡亦奇，李 剛

(1.東北大學工商管理學院，遼寧 沈陽 110819；2.東北大學秦皇島分校管理學院，河北 秦皇島 066004)

1 引言

在決策中考慮決策者的行為因素，可以做出更符合現實的決策模型。愿景指決策者或決策參與者針對屬性給出的期望要求或期望水平。愿景無論對個人還是組織來講都是決策的重要因素[1]。例如，某企業擬投資一個新產品開發項目，針對“項目投資年限”屬性，若企業決策者給出的愿景是5年，則表示其希望在第5年收回投資資金。在許多情況下，一個決策者的效用并不取決于方案在屬性下的絕對得分，而取決于它多大程度上滿足了決策者對它的愿景[2]，因此要根據決策者心理愿景滿意度來做出科學決策。

基于主觀期望效用理論的多屬性決策方法，如簡單加權平均法(SAW)，TOPSIS法[3-5]，層次分析法(AHP)[6-8]等，都是用方案的效用表示成只涉及屬性表現而不涉及愿景的可加函數[9-11]，并沒有涉及到屬性愿景。愿景的概念首先是由Simon[12]在考慮心理行為的滿意度模型中提出，他認為在對方案進行優選時，應該考慮屬性的表現是否滿足決策者的愿景。隨后相關學者提出了一系列考慮愿景的多屬性決策方法，這些研究可分為兩類。

(1)完全理性下考慮愿景的多屬性決策方法：研究成果有，Lahdelma和Salminen[13]提出了基于屬性獲得線性分段函數的決策方法，該方法從概率分布函數來獲得不完全信息，結合可接受度分析方法給出方案排序等級；Wang Yingming等[14]提出了基于效用評估的決策方法，該方法通過劃分效用區間對偏好信息進行集結，從而得到方案的排序；Wang和Zionts[15]提出了交互效用的決策方法，該方法通過調整屬性水平優化方案集，選擇最優方案。這些研究考慮了屬性愿景，是有意義的研究。但是決策者在現實決策中往往是有限理性的，即決策者在行為上并不總是追求效用最大，而是選擇讓自己最滿意的方案[16]。

(2)有限理性下考慮愿景的多屬性決策方法：考慮決策者行為是有限理性，將決策者的心理行為特征引入到多屬性決策分析中的研究成果主要有：龔承柱等[17]把確定數、區間數和語言集三種形式的決策矩陣轉化成前景決策矩陣，通過構造拉格朗日松弛函數，進行交叉迭代，計算得到各個方案的最優隸屬度，合成各個方案的綜合前景值進行方案排序。王堅強和周玲[18]針對隨機多準則決策問題，提出了一種基于前景理論的決策方法，該方法定義了一種區間灰數排序方法及前景價值函數計算各方案的前景值，進而得到方案的排序結果。Huang Min等[19]針對收益和成本屬性，從損失和收益的角度，結合前景理論對決策風險和效用問題進行了分析。已有有限理性的相關研究，主要將決策者給出的愿景視為參照點，把效益屬性超過參照點的部分視為收益，把沒有達到參照點的視為損失，把愿景融入前景效用函數，獲得前景值來進行排序[20-22]。前景值的計算主要基于經驗數據的固定風險偏好和風險厭惡參數，不能體現決策者的愿景滿意度隨決策者風險態度的不同而發生變化[23-26]。Feng Bo和Lai Fujun[27]針對航空公司的供應商選擇問題，考慮決策的具體情景，提出了四類不同的愿景滿意度函數，通過屬性滿足愿景的程度，進行方案排序。為進一步考慮愿景、風險態度、效用函數和滿意度進行決策提供了可供借鑒的思路。但是該方法主要針對某航空公司的供應商選擇問題，沒有提出實踐中其他情形的愿景滿意度函數的構建方式。另外，在提出愿景滿意度函數時沒有分別考慮決策者對損失和收益的不同態度。

可見，考慮愿景的多屬性決策方法研究，已經從完全理性發展到有限理性，研究主流是依據前景理論或累計前景理論的前景價值函數表示專家風險態度對愿景滿意度的影響，但也存在靈活度不高，不能完全適用的問題[28-29]。另外，學者們已經開始考慮從愿景、風險態度、效用函數和滿意度的角度出發構造愿景滿意度函數[27]，但限于具體問題，普適性不高。

本文在結合屬性愿景、風險態度、效用函數和滿意度的基礎上，提出了兩階段愿景滿意度函數的構建方法。此方法從收益和損失的角度分析，可解決如何體現決策者多樣的風險態度的問題。通過風險態度和愿景分析，發現當市場不確定性高時，風險厭惡專家和高愿景專家更看重損失，風險偏好專家和低愿景專家更看重收益，有益于給決策雙方提供管理建議。

2 愿景滿意度函數的構建

2.1 基于風險態度的經典效用函數

定義1：設U(x)為愿景滿意度函數

其中x是標準化后的愿景值和屬性值之間的距離。如表1所示，在(0,1]之間，參數k反映了專家面對風險的態度，其中k>1表示風險偏好；k=1表示風險中立；而0

表1 三種類型的經典效用函數

2.2 風險態度的效用函數組合

為了體現風險態度對決策結果的影響，在表2中定義了最簡單的三種情況。這三種類型結合了直線和曲線的情況，其中k,k1,k2>0。分段直線是不同斜率下的風險中立的組合，直線和曲線的組合指的是風險中立與風險偏好或風險厭惡的組合，曲線則是專家風險態度中的厭惡和偏好部分。

效用函數組合的特例是前景效用函數。將其自變量轉化為標準化后的愿景值和屬性值之間的距離，效用函數定義為：

如圖1所示，前景效用函數是風險偏好函數和風險厭惡函數組合的分段函數。

面對同一種屬性，每個專家的風險態度是不同的，相應的效用函數也不同。即便是一個專家在一個屬性上，隨著屬性值的變化，也可能有不同的風險態度。所以根據實際情況，專家的效用函數是分段函數。表3是現實中效用函數組合的更為復雜的例子，結合了上述的經典效用函數和前景效用函數。

表2 不同類型的效用函數組合

圖1 前景效用函數

表3 效用函數組合的例子

2.3 構建愿景滿意度函數的兩階段步驟

將構建愿景滿意度函數的過程分為兩個階段，如圖2所示。

(1)第一階段，專家提供對每個屬性的愿景值作為參考指標，然后收集屬性值的相關信息，計算愿景值與屬性值之間的距離。由于屬性分收益和成本兩方面，所以在第二階段分別定義為收益屬性(Benefit(B))和成本屬性(Cost(C))。

(2)第二階段，對于屬性B，如圖2所示的實線，當屬性值大于愿景值時，滿意度為正，距離越大，滿意度越高；當屬性值小于愿景值時，滿意度為負，距離越大，滿意度越低。對于屬性C，如圖2所示的虛線，當屬性值大于愿景值時，滿意度為負，距離越大，滿意度越低；當屬性值小于愿景值時，滿意度為正，距離越大，滿意度越高。

3 愿景滿意度函數決策框架

3.1 問題描述

假設有m個方案構成方案集Z={Z1,Z2,…,Zm}；L個屬性構成屬性集T={T1,T2,…,TL}(其中屬性有三種數據類型，T1是實數，T2是區間數，其他屬性皆為語言模糊數)；相應地，屬性的權重由向量w={w1,w2,…,wL}表示；D={D1,D2,…,Dn}代表n個專家，v={v1,v2,…,vn}表示相應的專家權重。計算每個方案評價值，根據最高值決定最優方案。其中，模糊語言數按重要性由低到高為很差(Very Poor, VP)，差(Poor, P)，中等偏差(Medium Poor, MP)，中等(Fair, F)，中等偏好(Medium Good, MG)，好(Good, G)，很好(Very Good, VG)。

圖2 愿景滿意度構建的兩階段步驟

本文考慮投資項目選擇問題，即投資者從多個候選投資公司中選擇最優進行投資。投資者設置相應的屬性，通過計算各公司不同的屬性得分，按綜合最高得分確定被投資公司。值得注意的是，投資項目選擇問題有兩個特點：(1)當有限理性投資者風險態度是厭惡時，會高估損失屬性的影響，并且低估收益屬性的影響；(2)投資者在面臨選擇時根據定性和定量屬性來進行綜合決策。解決這一問題的關鍵在于：一是考慮投資者的有限理性下不同風險態度對決策結果的影響；二是如何依據不同類型屬性下的信息進行綜合優選。

3.2 決策框架

為了解決投資項目選擇上相應的問題，一種包含控制層和分離層的愿景滿意度函數框架被提出，以確定最終贏家進行投資。該框架的核心是使結合了專家態度的效用函數與收益和損失框架相整合，即(1) 結合專家態度的效用函數被整合到收益和損失框架的分離層以得到候選公司的評價值；(2) 在收益和損失框架控制層上的全體屬性(T1,…,TL)將被定義以獲得B和C的權重。每個公司的總得分通過結合收益和損失框架中分離層上的評價值和控制層上的權重值計算，最高得分的公司被選為贏家進行投資。

其中，分離層主要將屬性值劃分為成本和收益兩類，并進行基于兩階段滿意度函數的評價，而控制層主要進行成本與收益屬權重的計算。

為了更加清楚的說明兩階段愿景滿意度函數，用具體例子(表4)詳細說明其實現步驟。

第一步：投資者定義全體屬性，并給出了收益和成本框架控制層下每個屬性相對重要性的評價。在投資者對全體屬性評價值的基礎上，可以得到收益和成本的權重。

第二步：基于全體屬性，投資者在分離層上對屬性進行詳細定義。這些屬性可以是定量或定性的，可以由實數、區間數或模糊數所表示(如表4第三列所示)。為了防止屬性之間出現沖突，將屬性分為兩類，即收益屬性(B)和成本屬性(C)，投資者還需設置每個屬性的愿景值(如表4最后一列所示)以評估候選公司的詳細屬性。

表4 每個屬性的描述和愿景值

第三步：為了收集候選公司的詳細信息，投資者將要求公司提交他們的信息。在收到投資者對管理信息的要求后，候選公司將確切的闡述它們的信息。對于定量屬性，公司提交信息為實數或者區間數；對于定性屬性，公司需要提供能夠證明自己的詳細信息。在這個過程后，每個公司可在分離層得到其有關收益和成本的評價值或者綜合愿景值。

第四步：通過將控制層中的成本收益權重與分離層中計算所得的評價值相結合，計算出各個候選公司的總得分，并根據最高分來確定投資公司。

3.2.1 符號說明

QN：實數屬性的集合

QI：區間數屬性的集合

QL：模糊語言屬性的集合

qj：專家對屬性j的愿景值(j∈{1,2,…,n})

pij：專家i對于屬性j的評價值

3.2.2 綜合愿景值的計算

根據候選公司的評價信息和投資者給出的愿景，在第一階段和第二階段中，基于愿景滿意度函數計算收益和成本屬性的滿意度值：

步驟1.1：投資者給出屬性評價信息和愿景，然后標準化愿景值；并對評價值矩陣進行標準化處理。由于屬性具有不同類型，所以評價值矩陣P=[pij]m×n和愿景值向量Q={q1,q2,…,qn}需要被標準化為B=[bij]m×n和E={e1,e2,…,en}。在本文中，假設愿景是給出的。實數、區間數和模糊語言數的標準化公式如下所示：

1)標準化實數屬性下愿景值向量和評價矩陣的公式分別由公式(1)和(2)表示：

(1)

bij

(2)

2)標準化區間數屬性下愿景值向量和評價矩陣的公式分別由公式(3)和(4)表示：

(3)

(4)

其中

H1

H2

3)標準化語言數屬性下愿景值向量和評價矩陣的公式分別由公式(5)和(6)表示：

(5)

(6)

步驟1.2：計算標準化后愿景和績效之間的距離。

步驟2.1：收益矩陣和損失矩陣的計算[19]。當計算距離和區分屬性時，應將距離應用到滿意度函數中，然后計算滿意度。在對實數、區間數、語言數進行標準化后，計算其相對于愿景值的收益和損失矩陣，以進一步獲得候選投資者的評選專家在每個屬性下的愿景值。收益和損失矩陣F=[F(bij)]m×n由公式(7)表示：

(7)

其中dij是bij和ej之間的距離，當屬性是收益屬性時，bij≥ej表示F(bij)是收益的；bij

步驟2.2：計算愿景滿意度。基于收益和損失矩陣F，考慮投資者對收益和損失的不同態度，計算出愿景值矩陣V=[V(bij)]m×n，以前景理論為例，如V(bij)公式(8)表示：

(8)

步驟2.3：收益和成本的綜合愿景滿意度值可以通過公式(9)計算：

(9)

3.2.3 綜合層權重的計算與集結

在獲得滿意程度后，將進行收益和成本權重的計算，然后，候選公司的整體得分將通過計算獲得。

步驟3：權重計算，即運用層次分析法(AHP)計算收益和成本的權重b和c。

步驟4：候選公司評價。在獲得公司有關收益和成本的綜合愿景值和權重后，根據公式(10)得到每個公司的總得分：

(10)

4 案例研究及對比分析

4.1 案例研究

一家投資公司正在進行新能源汽車項目開發，在四家新能源汽車公司A1,A2,A3,A4中選出最合適的公司進行投資。為了有效的評價候選公司，投資者請了新能源汽車項目領域四個權威專家組成決策團隊，且每個專家的重要程度相同。經過專家團隊詳細的討論后，確定評價候選新能源公司的5個屬性，如表4所示。各個公司初始績效值及專家綜合給出的屬性愿景值如表5所示。

表5 能源汽車公司的業績表現與愿景

4.1.1 評價信息標準化及距離的計算

根據公式(2)和(4)計算z1和z2標準化后的值，對于z3，z4和z5，先將語言信息轉換為三角模糊數，然后根據公式(6)進行標準化。

4.1.2 收益和損失矩陣的計算

根據公式(7)計算候選公司屬性評價值與愿景值的收益損失值，如表6所示。

表6 屬性收益損失值矩陣

4.1.3 愿景滿意度函數的構建

不同專家愿景滿意度函數的構建主要體現：一是不同專家針對不同屬性的風險態度不同；二是同一專家在同一屬性下風險態度隨愿景值的變化而變化。愿景滿意度范圍可從-1變化到1，其中-1代表絕對不滿意；0代表沒有效用損失或收益；而1代表絕對滿意。

(1)屬性Z1

在專家們討論之后，對于屬性Z1，專家E1和E2認為該屬性愿景可以適當改變，而專家E3和E4為愿景值不需要改變。因此，對于專家E1和E2而言，收益損失值-0.05時并沒有導致滿意度減少或者增加；當收益損失值小于-0.05時，滿意度將線性下降，風險態度屬于中立；當收益損失值在-0.05到0.5之間時，滿意度將二次函數形式增加，風險態度屬于偏好；而當收益損失值大于等于0.5時，將會導致完全效用收益，使得滿意度恒等于1。總體而言，專家的風險態度整體上是偏好的。專家E1和E2效用函數圖形具體如圖3(b)所示，專家E3和E4效用函數圖形如圖3(a)所示。

圖3 屬性z1的效用函數圖形

專家E1和專家E2的效用函數：

專家E3和專家E4的效用函數：

(2)屬性Z2

對于屬性Z2，專家E1-E4的效用函數圖形分別如圖4(a),(b),(c),(d)所示。相應的函數如下表示：

圖4 屬性z2的效用函數圖形

(3)屬性Z3

對于屬性Z3，專家E1-E4的效用函數圖形分別如圖5(a),(b),(c),(d)所示。

圖5 屬性z3的效用函數圖形

相應的函數表示如下：

U

U

U

(4)屬性Z4

專家對于屬性Z4的效用函數均是二次函數U=(S+0.0651)×(S+4.8369)(-0.136≤S≤0.136)，函數圖形曲線如圖6所示。

圖6 屬性z4效用函數

(5)屬性Z5

該屬性的效用是S型，而不同專家的拐點也不同，具體如圖7(a),(b),(c),(d)所示。

圖7 屬性z5的愿景滿意度函數

相應的函數如下：

U

U

4.1.4 計算收益成本指標權重確定綜合愿景滿意度

由AHP法計算屬性權重向量為(0.1,0.15,0.2,0.3,0.25)。每個專家對于每個候選公司的滿意度如表7所示。

表7 所有候選公司綜合評價結果

4.2 對比分析

將本文方法與PT-BOCR[19]和TOPSIS算法進行對比研究，結果見表8。通過兩階段愿景滿意度函數方法和通過PT-BOCR算法[19]、TOPSIS算法計算出的方案的排序是不同的。由于考慮了專家對損失和收益敏感情況，利用損失和收益的指標來評估不同方案[19]。

損失計算結果見表9，排序結果為A2>A1>A3>A4。在損失方面，方案4是最差的，方案2是最優的。由表8可得，PT-BOCR[19]和TOPSIS算法的最優方案都是方案2，與損失方法排序的結果相同，表明與專家的風險厭惡的情況相匹配。

如表10所示，四個方案在收益上的排名為A3>A2>A4>A1。結果與PT-BOCR[19]和TOPSIS結果不同，與本文結果相同，表明本文算法更傾向于從收益方面進行方案的優選。從實際情況來分析這種結果是合理的，由于PT-BOCR[19]和TOPSIS主要適用于專家風險厭惡情況下的決策問題，所以得到的結果更注重損失，本文的四個專家從整體來看是風險偏好的，所以決策結果更注重收益。可見，本文方法通過構建靈活的愿景滿意度函數，可以適用于考慮專家不同風險態度的問題。

表8 不同算法的排序結果

表9 每個方案的損失

表10 每個方案的收益

4.3 風險態度分析

為了進一步分析風險態度對決策結果的影響，假設專家對于屬性的風險態度分為風險中立、風險厭惡和風險偏好。屬性的初始值是用平均值生成的服從正態分布的隨機數。變異系數(Coefficient of Variation, CV)是用于描述屬性值偏離總體方案平均值的程度。CV以0.01的速度從0.01變化到0.5，方案的排名也隨之變化。收益(或損失)的匹配度定義為方案在一種風險態度下的最優方案與收益(或損失)計量方法[19]中最優方案相同的次數和總次數相比所得的比值。

在不同風險態度下的損失和收益匹配度見圖8和圖9。CV小，風險態度幾乎不影響匹配度。CV大時，風險中立專家的損失匹配度比風險偏好高，但比風險厭惡低；收益匹配度比風險偏好低，比風險厭惡高。導致這種不同的原因是CV小，表明方案不確定性小，即高確定性使不同風險態度的專家做出區別不大的決策。然而，CV大，不確定性高，風險態度影響較大。風險厭惡者更看重損失，風險偏好者則更看重收益。

管理啟示：在CV小時，不同投資項目在市場中的表現差異不大，風險態度不同的專家在選擇投資項目上會持有相近的意見。因此，接受投資者沒有必要過多關注評估專家的風險態度。但是CV大時，風險厭惡專家比起收益更看重損失，因此接受投資者應該盡量減少損失；風險偏好專家更看重收益，因此被投資者之間的競爭更多是收益水平的競爭。

圖8 不同風險態度的損失匹配度對比

圖9 不同風險態度的收益匹配度對比

4.4 愿景水平的影響分析

為進一步說明專家愿景水平的影響，對于每個屬性的中愿景(Medium Aspiration, MA)、低愿景(Low Aspiration, LA)和高愿景(High Aspiration, HA)進行設定，中愿景設定為(15, [95,100], P, G, F)，如表4所示。由于屬性Z1視為成本屬性，低愿景低于中愿景，因此設定低愿景為(20, [95,98], MP, MG, MG)。高愿景高于中愿景，因此設定高愿景為(10, [97,100], VP, VG, MP)。高、中、低愿景情況下決策結果的匹配度計算，見圖10和圖11。隨著CV的變化，三種愿景的損失匹配度中，HA最大，LA最小；收益匹配度中，LA最大，HA最小。所以愿景高時，專家更看重損失；愿景低時更看重收益。這樣的結果與現實情況相符，如屬性Z1(見圖12)，設定MA為平均值，競爭者為100個。CV小(如CV=0.03)時，競爭者的z1屬性值在MA附近波動。此時，LA下沒有損失，HA下沒有收益。HA的決策結果主要取決于損失，LA的決策結果主要取決于收益。然而，CV變大時，HA的損失影響力和LA的收益影響力都下降了，匹配度呈現了下降的趨勢。在HA下，專家趨向于風險厭惡；在LA下，專家趨向于風險偏好；在MA下，專家趨向于風險中立。

管理啟示：如果愿景高于平均值，對于競爭者來說，最小化損失是更好的選擇。同樣地，在低愿景情況下，競爭者要獲取優勢則更應該提高收益。

圖10 不同愿景的損失匹配度對比

圖11 不同愿景的收益匹配度對比

圖12 CV對損失和收益的影響

5 結語

針對決策信息以實數、區間數和語言變量描述的收益和成本屬性多屬性決策問題，依據投資者風險態度提出了基于愿景滿意度函數的多屬性決策方法。通過與PT-BOCR[19]和 TOPSIS 方法比較說明，在投資者處于不同風險態度情況下，本方法可以更好的體現決策的柔性。通過投資項目選擇的案例分析表明，所提的方法對于專家不同的風險態度以及愿景值水平的變化具有穩健性。當變異系數變大時，規避風險的專家認為損失價值超過收益價值，企業應該盡可能地減少損失；而風險偏好專家認為收益更加重要，所以企業需要提高收益。

該方法可以作為不同風險態度專家進行方案優選的一個有用工具，也可以為候選公司進行自我優化，在競爭中取得有利地位提供幫助：當投資者愿景較高時，需要更注重提高收益，發揮優勢；當投資者愿景較低時，則要較少損失，注重提高自己的薄弱環節。