一種改進的高精度光譜尋峰算法研究

江 虹，郭宇龍，鄭曉丹，劉鵬輝，周上清

（長春工業(yè)大學 電氣與電子工程學院，長春 130012）

0 引 言

超弱光纖光柵（Fiber Bragg Grating，F(xiàn)BG）傳感器作為現(xiàn)今發(fā)展起來的新型光纖傳感器，其基本原理［1］是當FBG元件受到外界應變、溫度、壓力和磁場改變時，其反射光譜的中心波長會發(fā)生偏移，通過中心波長的微小變化［2－3］檢測到被測量的變化，具有靈敏度高、抗干擾能力強、抗腐蝕、可靠性高、使用壽命長和復用能力強等優(yōu)點，因此，其被廣泛應用于建筑工程、航空航天、電力工程和石油領域的結構應變以及溫度變化監(jiān)測中［4］。

由于超弱FBG的反射在光譜中心波長處的幅值最大，因此，可以通過定位超弱FBG的反射光譜曲線的峰值來確定中心波長的值。目前使用FBG的尋峰算法有最小二乘擬合算法、質心算法、直接尋峰算法、遺傳算法以及螞蟻算法等。最小二乘擬合算法尋峰精度有限；質心算法雖然運行快且誤差相對較小，但受噪聲影響較大，在噪聲大（信噪比低）的情況下達不到理想的尋峰效果；直接尋峰算法精度低，且受噪聲的影響很大；遺傳算法和螞蟻算法雖然能夠達到很好的精度，但計算量大，求解需耗費較長時間，不能滿足解調要求。

目前光柵傳感技術正朝著大容量、長距離和網絡化發(fā)展，傳感器數(shù)目可達成百上千個［5］，因此，研究適合實際工程應用的高精度解調尋峰算法極其重要。本文針對上述方法存在的不足，分析發(fā)現(xiàn)在超弱FBG數(shù)據的采集過程中，由于噪聲的干擾［6］，導致超弱FBG的反射光譜曲線不是標準的高斯型，波峰附近區(qū)域呈不對稱形狀［7］，峰值位置偏向左或偏向右。為了在受噪聲干擾的情況下保證尋峰精度，提出加權最小二乘擬合結合非對稱高斯修正（Weighted Least Squares－Asymmetric Gaussian correction，WLS－AG）算法，該算法利用加權最小二乘擬合（Weighted Least Squares，WLS）算法，其具有快速精確地定位中心波長和抗噪聲干擾的優(yōu)點，然后結合非對稱高斯修正（Asymmetric Gaussian Correction，AG）進一步提高尋峰精度。該算法克服了傳統(tǒng)尋峰算法［8］的局限性，并保證了波長的解調精度。

1 超弱FBG傳感器解調系統(tǒng)及原理

超弱FBG解調系統(tǒng)的實驗平臺由寬帶光源、光環(huán)行器和光譜分析儀組成。寬帶光源發(fā)出的光經過光環(huán)行器入射到超弱FBG傳感器陣列中，超弱FBG具有選擇透過性，符合該超弱FBG中心波長的光被返回，其他波長的光將透過。經調制后的反射波又經光環(huán)行器到光譜分析儀，觀測其反射光譜。光源參數(shù)波長為500～2 400nm，輸出功率100mW；光譜儀選擇橫河 AQ6370D－12－L1H／FC／RFC光譜分析儀，波長掃描范圍：1 550nm波段的中心波長，波長精度0.02nm。實驗系統(tǒng)框圖如圖1所示。

圖1 實驗系統(tǒng)框圖

當超弱FBG傳感器受到外界溫度變化、壓力或應力時，F(xiàn)BG的柵距會發(fā)生變化，從而引起反射波長的變化，解調系統(tǒng)就是通過檢測波長的變化來計算外界溫度變化、壓力或應力的，所以解調系統(tǒng)中高精度光譜尋峰算法至關重要。

2 算法與原理設計

2.1 高斯函數(shù)最小二乘擬合原理及其改進算法

超弱FBG反射光譜曲線與高斯曲線模型相似，用高斯函數(shù)近似表示超弱FBG反射光譜的功率密度譜為

式中：x為超弱FBG波長；σ為對應反射光譜的帶寬；μ為中心波長值；y0為真實超弱FBG反射光譜的波峰強度。實際中，y0、μ和σ這3個參數(shù)是未知量，受儀器中噪聲和環(huán)境噪聲的干擾，傳統(tǒng)尋峰算法擬合得到的y0、μ和σ的系數(shù)會受噪聲的影響產生較大的誤差，因此，本文采用WLS算法。

對高斯函數(shù)最小二乘擬合算法進行詳細推導，并對F（x）取對數(shù)，得到

式中，c1、c2和c3為中間變量，分別為簡化后x2、x1和x0的系數(shù)。

通過上式把超越函數(shù)變換成簡單的二次函數(shù)，將高斯函數(shù)擬合變換成二次多項式函數(shù)的最小二乘擬合問題。解出中間變量c1、c2和c3，由式（2）可知，中間變量在數(shù)據處理過程中未發(fā)生任何中間變換，依然保留下實際測量的各個數(shù)據采集點的原始數(shù)據，可以最大程度地保證實際數(shù)據的擬合精度，而且使用中間變量簡化了中間處理的運算過程，求出高斯函數(shù)的參數(shù)。接下來對中間變量c1、c2和c3的求解進行推導。其實際上是一個超定方程組，

式中：A為各個波長x組成的矩陣；C為求解系數(shù)的列向量；S為各個波長的功率密度譜強度測量值的向量。

引入權重因子W，對最小二乘擬合算法進行改進，

式中：ρ為殘差向量的二范數(shù)的平方；z為殘差向量。

式（5）為求解C的公式，為了達到簡化運算，采取規(guī)避掉矩陣求逆運算，達到縮短運算時間的目的，令

式中：M 為求解向量C系數(shù)矩陣；N為使得ρ最小密度函數(shù)的向量。

根據式M＝ATWTWA，N＝ATWTWS求解三元一次方程組，求出中間變量c1、c2和c3，再由式（6）解得y0、μ和σ，則可快速得到加權的高斯擬合函數(shù)，其中心波長μ 為－c2／（2c1）。

取一個超弱FBG反射光譜曲線，其曲線模型符合高斯函數(shù)y＝500exp［－（x－60）2／250］的曲線形狀，在超弱FBG反射光譜中加入高斯白噪聲，如圖2所示。然后采用上述步驟對加入噪聲后的反射光譜曲線分別進行最小二乘擬合和 WLS算法，用Matlab軟件仿真，仿真結果如圖2和3所示。

圖2 加入白噪聲的高斯函數(shù)

圖3 最小二乘擬合和WLS算法對比結果

由圖2和3可知，用最小二乘擬合加噪聲的高斯函數(shù)的效果沒有WLS算法的效果好，峰值附近的殘差矢量很大。通過實驗分析發(fā)現(xiàn)：峰值處數(shù)值受噪聲影響較小，距離峰值越遠，受噪聲的影響越大。將數(shù)值進行對數(shù)變換后，其趨勢以指數(shù)衰減，而且數(shù)值的權重隨著數(shù)值的增加呈指數(shù)衰減。在加入噪聲的情況下，離峰值越遠，數(shù)值的權重增大，導致更多的權重分往峰位的兩邊。高斯擬合的原理是對數(shù)變換后的殘差向量的2范數(shù)‖z，由于把大部分的權重分往峰值的兩邊，導致‖z受到峰位兩側的數(shù)值影響變大。因此，在擬合變換回高斯函數(shù)后，反而使峰值處的殘差向量變大，尋峰精度滿足不了要求。

為了解決這一問題，本文通過在最小二乘法擬合算法的殘差向量r中加入一個權重因子W 來改進最小二乘擬合算法。加入W 后使其數(shù)據權重削弱趨勢與取對數(shù)運算后相反或者與數(shù)據本身相同，使峰值附近的殘差向量減小，達到改善擬合效果的目的。圖4所示為兩種算法的擬合結果，可以看出，采用WLS擬合后的效果得到了明顯的改善，說明引入W 后，降低了噪聲對信號的干擾，提高了尋峰精度。

圖4 最小二乘擬合和WLS算法擬合對比

根據實驗系統(tǒng)圖，在高噪聲的環(huán)境采集的超弱FBG1光譜數(shù)據經最小二乘擬合算法擬合的效果并不理想，波形出現(xiàn)了明顯的波動，光譜出現(xiàn)了明顯的失真，最小二乘擬合算法的光譜數(shù)據受噪聲影響較大，WLS算法擬合對比最小二乘擬合算法擬合效果明顯改善，受噪聲的影響小，如圖4所示。

2.2 AG算法

由于實際環(huán)境和儀器的限制，受到多種因素的影響，采集的發(fā)射光譜信號波長并不是標準的高斯函數(shù)模型，呈非對稱形態(tài)，非對稱特性對確定中心波長的位置帶來誤差影響。為更進一步達到精確尋峰，需對非對稱高斯模型尋峰結果進行修正。

對超弱FBG反射光譜曲線上的點做切線，切線的斜率為k，標準高斯函數(shù)每兩對應的點對應相同的縱坐標值，這兩個點的斜率關系為kA＝－kB，但非對稱高斯函數(shù)模型，縱坐標相同的點對應兩個點的斜率不全滿足kA＝－kB，kA＞0為峰值左側點的斜率；k0＝0為峰值點的斜率；kB＜0為峰值右側點的斜率。非對稱高斯函數(shù)的修正可用左右側兩個部分的方差的二階參數(shù)和確定。式中：A為超弱FBG反射光譜在中心波長處左側部分方差的二階參數(shù)；B為超弱FBG反射光譜在中心波長右側部分方差的二階參數(shù)；NA為kA＞0的樣本數(shù)量；NB為kB＜0的樣本數(shù)量；x為峰值區(qū)域內的采樣點；f（x）為超弱FBG反射光譜功率大小；x0為斜率k0＝0時所對應的點；f（μ）為超弱FBG反射光譜在中心波長處的幅值；μ為高斯擬合獲得峰值的位置。

非對稱高斯模型的方差與函數(shù)形狀偏移量間的關系可推導出峰值修正函數(shù)為

式中：μ＇為應用 WLS－AG算法得到的中心波長；ΔH 為一半的波峰間隔。

3 實驗結果分析

3.1 不同噪聲下尋峰誤差比較

本節(jié)將研究不同程度噪聲對最小二乘擬合算法、質心算法、WLS算法及WLS－AG算法尋峰誤差的影響。實驗中首先以圖1中的超弱FBG23傳感器作為研究對象，在恒定20℃的環(huán)境下，加入高斯白噪聲來模擬反射光譜，在噪聲干擾下進行反復性光譜數(shù)據采集，加入的噪聲幅度／信號幅度為0.01～0.10之間，做20次重復性實驗，取其平均值作為最終的實驗結果，如圖5所示。4種尋峰算法平均誤差的詳細結果如表1所示。

圖5 不同噪聲下不同算法的誤差圖

由圖5及表1可知，隨著噪聲在信號中按比例增大，實驗用尋峰算法的精度都受到了不同程度的影響，其中高斯擬合和質心算法受噪聲影響較大，質心算法的誤差小于高斯擬合算法，但在噪聲剛開始增加時，質心算法的誤差受噪聲的影響最為明顯；WLS－AG算法檢測誤差受噪聲的影響明顯小于其他算法，由此可見WLS－AG算法可以有效抵制噪聲的干擾。

表1 4種尋峰算法平均誤差詳細結果

3.2 不同溫度下尋峰誤差比較

將4個不同中心波長的超弱FBG傳感器放入5～50℃的溫控試驗箱中，保證噪聲等其他參數(shù)穩(wěn)定，用光譜分析儀采集超弱FBG的理論中心波長，用上述4種算法分別在5、10、15、20、25、30、35、40、45和50℃溫度下采集中心波長數(shù)據，做20次重復性實驗取其平均峰值，對比其峰值誤差，結果如圖6～圖9所示，各算法的平均誤差如表2所示。

圖6 不同溫度下超弱FBG32的峰值檢測誤差

圖7 不同溫度下超弱FBG400的峰值檢測誤差

圖8 不同溫度下超弱FBG751的峰值檢測誤差

圖9 不同溫度下超弱FBG1302的峰值檢測誤差

表2 變溫下各算法的平均誤差

分析圖6～圖9及表2可知，不同溫條件下對隨機抽取的4個不同中心波長的超弱FBG傳感器來說，最小二乘擬合算法檢測誤差波動在7.8～10.0pm之間；質心算法的檢測誤差波動在5.5～7.5pm之間；WLS算法檢測誤差波動在1.8～2.1pm之間；WLS－AG算法檢測誤差波動在1pm內。本文提出的WLS－AG算法與其他算法對比，其精度受溫度變化影響小，尋峰精度高，能有效提高超弱FBG傳感網絡的解調精度。

4 結束語

本文提出了一種改進的高精度光譜解調尋峰算法——WLS－AG。該算法使采樣的超弱FBG反射光譜更精確地擬合，獲得更精確的中心波長。實驗結果表明，在不同的噪聲環(huán)境下，將改進后的算法與最小二乘擬合算法、質心算法和WLS算法進行比較，本文所提算法具有良好的抵制噪聲干擾的能力；在變溫條件下，該算法的誤差能夠控制在1pm以內，且具有良好的穩(wěn)定性。因此，本文提出的尋峰算法對超弱FBG傳感網絡系統(tǒng)高精度解調具有很好的應用價值。