低濃度下反彈參數對固結土壤表面沙粒躍移的影響

傅林濤，蔡萌琦

(成都大學 建筑與土木工程學院，四川 成都 610106)

0 引 言

風沙運動廣泛存在于地球及其他星球表面[1-3]，形成各種風蝕地貌(比如沙波紋和沙丘等)并且向大氣層釋放粉塵[4-5].在風的驅動下，沙粒的運動模式分為躍移、蠕移和懸移3種[6].實驗數據顯示,躍移占總輸沙通量的比值大約為75%[4,6],且對沙丘的形成、發展[7-13]及沙波紋的變化[14-15]起到關鍵作用.躍移沙粒的轟擊作用被證明是地球[16]和火星[17]疏松表面粉塵釋放的最重要途徑，而躍移沙粒長時間的沖擊[18]對地球及其他行星地表雅丹地貌[19-21]的演化有重要幫助.此外，沙粒躍移也被證明是風磨石形成的關鍵機制之一[22-23].

起跳參數(包括速度和角度)對沙粒的躍移運動起著決定性的作用[9,24].目前已有許多關于地球[8,25]和其他星球[5]環境下起跳參數的研究，主要還是關于疏松地表的沙粒躍移，而關于固結土壤表面躍移沙粒起跳參數的研究相對較少.事實上，相比于疏松地表，由于缺少沙粒濺起過程，固結土壤表面沙粒的起跳只有沙粒反彈過程，因此在固結土壤情況下的沙粒起跳參數通常以反彈參數替代.

Rice等[26]通過風洞實驗探索了躍移沙粒轟擊不同強度固結土壤的過程，發現固結土壤表面躍移沖擊沙粒的速度恢復系數(系數值變化范圍為0.61～0.76)明顯高于疏松地表上得到的速度恢復系數(系數平均值約為0.57).文獻[27]通過風洞實驗測量了入射角度為10°且入射速度為4.4 m/s的躍移沙粒的沖擊和反彈，結果發現，隨著固結土壤強度的增加，入射沙粒的恢復系數也逐漸增加.Gordon等[28]通過PTV技術測量和比較了疏松和固結土壤表面躍移沙粒的沖擊和反彈響應，結果再次表明固結土壤表面的速度恢復系數(系數平均值約為0.79)高于疏松土壤表面的速度恢復系數(系數平均值約為0.64).隨著入射速度的增加，由于顆粒與土壤表面的非彈性碰撞，反彈沙粒的速度恢復系數逐漸降低.雖然入射顆粒與土壤表面碰撞后的平均反彈角度大約是入射角度的2倍，但由于沙粒的非規則性及表面粗糙度，反彈角度一般分布在0°～90°.O’Brien等[29]也在風洞實驗中測量過沙粒在固結土壤表面躍移的情況，但未能明確區分反彈沙粒與濺起的小顆粒，無法進一步做定量分析.

事實上，在稀疏植被覆蓋的干旱和半干旱地區，沙粒在固結土壤表面躍移的現象非常常見[30-31].此外，遙感影像數據分析表明，火星沙丘場的沙源來自距離較遠的其他地方[32]，且沙粒由沙源地傳輸到沙丘場時會經過固結土壤地表.因此，本研究擬通過數值計算來定量評估低輸沙強度下反彈參數對固結土壤表面沙粒躍移的影響，且為了使得結果具有一般性，主要探討地球、火星和金星3種環境下反彈參數對躍移沙粒的速度恢復系數、入射速度、入射角度和躍移長度的影響.

1 研究方法

1.1 風速廓線

(1)

通過與流場交換能量，躍移沙粒可以減小風速而改變風速廓線[4,7-8].由于本研究主要考察低沙粒濃度情況下的躍移，因此計算中忽略了躍移沙粒與流場的相互作用.這里，平均垂向速度設為0,平坦地表上平均水平速度的垂向廓線[6]由式(1)給出.其中，u*是摩擦速度，κ是馮卡門常數，z是垂向坐標，z0是表面動力粗糙度.基于文獻[33]，z0由式(2)給出，其中，Rek=ρaksu*/μ為顆粒雷諾數，ρa和μ分別是空氣密度和運動粘度，ks為特征粗糙長度(取值為D[34]).

1.2 顆粒運動

(3)

(4)

(5)

大氣邊界層中沙粒躍移受到多種外力作用[9],但通常主要考慮重力和拖曳力[35].此外，這里只考慮沙粒平動而不考慮轉動[36]，因而沙粒躍移可以由式(3)計算.其中，xp和zp分別是沙粒的水平和垂向坐標，m是沙粒質量，g是重力加速度，ρs是沙粒密度，CD=[(32/ReD)2/3+1]3/2是天然沙粒的拖曳力系數[37],且ReD=ρaD|Vr|/μ，而Vr是沙粒與周圍流體的相對速度.計算過程中，躍移沙粒的起跳初值條件由式(4)給定，其中Vx和Vz分別是顆粒的水平和垂向速度分量.經過粒床碰撞后，躍移沙粒的反彈速度由式(5)給定，V0和θ0分別為沙粒的反彈速度和角度.

1.3 反彈參數的確定

(6)

雖然已有一些關于顆粒-顆粒碰撞[38-39]和顆粒-壁面碰撞[40]的理論研究，但自然沙粒的不規則性和床面分布的多樣性會導致實際碰撞過程變得復雜，從而阻礙這些理論研究的實際應用.實際應用中[8-9,36]，一些經驗值或經驗表征更具有實用價值.測量結果表明，反彈參數依賴于躍移沙粒的入射速度[23,28,41-42]和入射角度[41-42]，且分布在相對較寬的范圍[28-29].由于數據分析顯示切向脈沖在碰撞過程中的貢獻相對較小[28],因此，根據文獻[28,43-44]，入射速度的恢復系數e(反彈速度V0與入射速度Vi的比值)和反彈角度的經驗表征可以由式(6)確定.由文獻[43]可知，A1a=-1.153 44,A1b=0.898 26,A1c=-0.483 58，A1d=0.285 28.這樣，從式(6)可以看出，反彈參數的確定最終由B1k、A2k和B2k3個參量共同影響.表1給出了本研究中不同參量組合類型的具體取值情況.

表1 反彈參數中的B1k、A2k和B2k

其中，數值A2k=0.33、B1k=0.22及B2k=20°均來自實際實驗數據[28,44].

1.4 相關參數及其他設置

為了方便比較，3個星球(地球、火星和金星)環境下的平均粒徑D都取值為0.25 mm[5],且D在3個星球表面對應的疏松土壤流體啟動臨界值[45]依次分別為0.27、1.56、0.038 m/s.地球和火星上的沖擊臨界速度值分別為0.20和0.23 m/s[5],因為金星上的沖擊臨界速度(約0.146 m/s[5])遠高于流體臨界，所以通常不考慮[3]在沖擊臨界風速情況下的沙粒躍移.計算過程中涉及的大氣和其他物理參數列舉在表2中[5,34].當所有關注物理量的相對變化小于0.001時，即判斷為計算收斂.在計算過程中，沙粒的垂向起跳速度小于(gD)1/2時，則認為沙粒在床面蠕移或停止在床面，不再作為躍移沙粒.

表2 計算過程中涉及的大氣和物理參數

2 研究結果

計算收斂后，最終穩定的4個物理量,即速度恢復系數(e)、入射速度(Vi)、入射角度(θi)和躍移長度(L),被記錄下來用作分析.如果沙粒的垂向起跳速度小于(gD)1/2時，此4個物理量的值標記為NA.

2.1 地球環境下B1k對躍移相關物理量的影響

由式(6)可知，參量B1k的改變實際反映的是恢復系數設置的改變.圖1給出了地球環境下躍移相關的4個物理量(e、Vi、θi和L)隨B1k(即恢復系數設置)的定量變化.從圖1可知，所有物理量隨著參量B1k的增加而逐漸降低.基于最小二乘法的進一步定量分析表明，這些物理量都隨B1k線性減小.在相同入射速度下，B1k越大，則恢復系數越小.如果沙粒的啟動初值和來流風速相同，入射速度將隨B1k減小.而當固定反彈角度后，反彈速度及其水平和垂向速度分量也都隨B1k減小，即解釋了躍移長度隨B1k減小的情況(躍移長度主要受反彈速度的水平分量影響).由圖1可得，流體臨界風速下的入射速度和躍移長度大約是沖擊臨界風速下的2倍，因而根據式(6)可知,恢復系數隨著風速降低.由于入射角度定義為入射速度的垂向和水平分量的比值[46]，所以在相同風速下入射角度隨B1k減小意味著躍移沙粒的垂向速度分量比水平速度分量對B1k更敏感，在相同B1k下入射角度隨風速減小意味著躍移沙粒的水平分量比垂向速度分量對風速更敏感.

2.2 地球環境下A2k和B2k對躍移相關物理量的影響

由式(6)可知,參量A2k和B2k的改變實際反映的是反彈角度設置的改變.圖2和圖3給出了地球環境下躍移相關的4個物理量(e、Vi、θi和L)隨A2k、B2k(即反彈角度設置)的定量變化.

從圖2和圖3可知，4個物理量對A2k和B2k的響應與對B1k的響應存在差異.躍移穩定后的恢復系數雖然存在輕微的變化，但幾乎不會隨A2k降低，卻會隨著B2k的增加而呈指數形式降低.此外，在相同風速下，躍移長度、入射速度和入射角度都隨著A2k和B2k增加.定量分析表明，在選定的參量取值范圍內，此3個物理量隨著A2k線性變化，但隨著B2k指數變化.

2.3 星球環境的影響

為了更好地理解環境改變的影響，定義不同環境下4個物理量的最大相對變化值為(Cmax-Cmin)/Cmin，其中Cmax(或Cmin)代表著在選定的參量取值范圍內某個物理量的最大值(或最小值).如果Cmin等于0(指由于反彈速度的垂向分量小于(gD)1/2而使得躍移不再維持或繼續)，最大相對變化值將標記為Nan.表3和表4分別表示在沖擊臨界風速和流體臨界風速情況下的分析結果.

表3 沖擊臨界風速下地球和火星環境中最大相對變化值的比較

表4 流體臨界風速下地球、火星和金星環境中最大相對變化值的比較

表3顯明，在沖擊臨界風速下火星環境對沙粒躍移有非常重要的作用.在選定的參量取值范圍內，地球環境下的沙粒躍移均可以維持，然而火星環境下的沙粒躍移僅可以在大B1k和小B2k取值情況下維持.總之，相比于其他2個參量，A2k對躍移相關的4個物理量的影響最低.在地球上，除了由參量B1k主導的恢復系數，入射速度、入射角度和躍移長度對參量B2k更加敏感.雖然由B2k引起的恢復系數最大變化低于5%，但由B2k為最大值時計算得到的躍移長度10倍多于B2k為最低值時的躍移長度.

表4顯示風速的增加并不定性地改變躍移相關的4個物理量對3個參量的響應,意味著，相比于B1k和B2k，3個星球環境下A2k都保持著其最弱的影響.4個物理量中，躍移長度對所有3個參量的敏感性最高.流體臨界風速下，B1k對4個物理量的影響依賴環境.由B1k引起的恢復系數、入射速度、入射角度和躍移長度的最大相對變化分別發生在地球、火星和金星環境下.A2k和B2k在金星環境下的影響比在地球和火星環境下更顯著.風速的增加會降低4個物理量對3個參量變化的相對響應.此外，隨著風速的增加，3個星球環境下A2k對恢復系數的影響逐漸可以忽略.

3 討 論

沙粒在顆粒形成的床面上躍移是非常復雜的過程.由于關于沙粒在固結土壤表面的研究較少，本研究中3個參量取值的一部分來自于疏松床面的實驗結果.考慮到一些可能的變化，A2k和B1k均由地球環境下的實驗結果獲得.根據已有關于外地行星上的風沙運動[11,36]，參量B2k取了較寬的范圍.因此，本研究獲得的結果不僅對了解固結土壤表面沙粒輸運有幫助，同樣也對沙源有限情況下(尤其是在沖擊臨界風速附近)風沙運動的數值模擬有潛在幫助.雖然基于表2列舉的參量值計算得到沙粒躍移的相關物理量可能與實際情況存在定量上的差異，但物理量的定性變化規律是有實際意義的.

從物理意義的角度看，式(6)中參量B1k體現的是床面的力學強度.自然環境的多樣性和實驗處理過程的不同[26-28]均可以導致床面強度的改變.圖1也表明恢復系數設置對沙粒躍移的影響是綜合性的.所有這些結果為相近風速下野外和室內實驗測量(尤其是重度退化草地的結皮地表[31]和沙漠與綠洲之間的過渡帶[47])的風沙運動存在的差異提供了一個可能的解釋.

參量A2k和B2k體現了粒床碰撞過程中切向阻力的相對作用[40].由于B2k引起的反彈角度變化更大，沙粒躍移對B2k比對A2k更敏感.當然，計算結果也顯示沙粒躍移對反彈角度比對恢復系數更敏感.然而，由于法向和切向恢復系數的非線性關系[38,40]，當入射速度和入射角度固定時，準確給出入射沙粒的反彈角度通常是困難的.因此，除了使用恢復系數(e)和它的垂向分量(ez)作為約束條件來經驗性地求得反彈角度[48]外，36o[34,36,49]和45o[8]是風沙運動模擬中常用的反彈角度.雖然在地球環境下沖擊臨界風速時由這2個反彈角度造成風沙運動相關量的相對變化可以達到約20%，但是這個相對變化可能由于星球環境的改變而增大.

本研究結果表明，星球環境的改變可以對沙粒運動產生不同的影響.雖然火星的低重力可以使得其表面的沙粒比地球表面的沙粒更容易離開床面[24]，火星的稀薄空氣卻會導致較大的地表動力粗糙度(z0)(參考式(2))，此就進一步要求沙粒需要有更大的垂向起跳速度(垂向反彈速度)，也解釋了在沖擊臨界風速附近時火星上的沙粒運動比地球上的沙粒運動對A2k和B2k更敏感.在金星上，較高的空氣密度提高了其在水平和垂向的沙粒運動的作用.因此，拖曳力在沙粒垂向運動上的負反饋使得金星上躍移相關的4個物理量對反彈角度有比地球和火星上更高的敏感性.

風速的增加會減弱反彈參數對沙粒躍移的影響.由于在低沙粒濃度時風速與入射速度正相關，本研究采用的低風速意味著低的入射速度.因此，針對低速躍移沙粒的反彈參數的選擇應當慎重.數值模擬[49-50]和實驗測量[46,51]也表明在充分發展的風沙流中存在大比例的低速躍移沙粒.不同的反彈參數選擇可能導致預測的躍移特征物理量(特別是在外地行星環境下[8,34,36-37])產生較大差異.