“距離”的本質是什么

張亞峰

什么是距離？或許同學們覺得這個問題提得很可笑，因為我們在學習中接觸了太多的關于“距離”的問題了。

真的可笑嗎？不妨請同學們來思考這樣一個問題：如圖1，已知線段AB及點P，畫出表示點P到線段AB距離的線段。

也許你會說：這還不簡單嗎？如圖2，過點P作BA延長線的垂線，垂足為H，則線段PH就是。

如果這樣，那你就大錯特錯了。為什么呢？我們不妨來回顧教材上關于“距離”的內容。目前，我們學習的“距離”有兩種：一種是“點與點之間的距離”，一種是“點到直線的距離”。

教材對“兩點之間的距離”這樣規定：兩點之間線段最短，兩點之間線段的長度叫做兩點之間的距離。

在七年級“垂直”一節中，教材在定義“點到直線的距離”時，首先在直線上取若干個點，量出直線外的點到這些點的線段長，發現垂線段最短，于是把這條垂線段的長叫做“點到直線的距離”，還指出“直線外一點與直線上各點連接的線段中，垂線段最短”。

由此可見：“距離”的本質是最短！因此，上述問題中，如圖3，線段PA才是表示點P到線段AB距離的線段。

然而，我們的教材中一般說的都是點到直線的距離。如七年級“垂直”一節有這樣一道練習題：如圖4，度量圖中點C到直線AB的距離時，甲說：“只要量出線段AC的長度即可。”乙說：“過點C畫不出直線AB的垂線，所以量不出點C到直線AB的距離。”你認為他們的說法正確嗎？如果不正確，那么怎樣量出點C到直線AB的距離呢？

問題提供的圖形載體是△ABC，要求度量的是“點C到直線AB的距離”。如果把直線AB換成線段AB呢？同學們可以自己嘗試做一下。

下面，我們來總結一下。

1.點與線的距離。

指該點到線上所有點的連線中最短的那條線段的長。如點到線段、射線的距離，既包含“垂直”的情形（如圖5），也包含“非垂直”情形（如圖6、圖7），還包含點與曲線的距離，如點與圓的距離：連接平面內一點與圓上各點的所有線段中，最短的那條線段長就是該點到圓的距離（過該點與圓心的直線與圓有兩個交點，以該點和這兩個交點為端點的兩條線段中較短的那條線段）。

2.任意兩個圖形（包括空間圖形）之間的“距離”。

如圖8，曲線C₁、C₂之間的距離，即指連接C₁、C₂上任意兩點的所有線段中最短的那條線段的長。特殊地，兩平行線間的距離就是與兩平行線垂直的直線夾在兩平行線間線段的長;兩個圖形如果有公共部分，那么這兩個圖形之間的距離為0。

在幾何中，點與線、線與線、圖形與圖形間的距離，都是基于“點與點之間的距離”而定義的。其最本質的意義是“最短”，只不過初中階段不去研究那么復雜的問題罷了。

同學們，現在你還感到開頭提出的問題可笑嗎？