精雕細琢　精益求精

王國俊

在“平面圖形的認識（一）”中，我們已經學習了平行和垂直這兩種位置關系，會進行簡單的推理。本章是“平面圖形的認識（一）”的延續和提高。直線平行的條件和性質，圖形的平移，三角形三邊關系，多邊形的內角和、外角和是初中幾何的重要內容，有條理地表達和思考是規范證明的關鍵。在學習本章的過程中，希望同學們能注意以下幾點。

一、提煉基本圖形。提高解題效率

我們在進行有關幾何圖形的證明與計算時，往往會遇到形狀類似、能得出某個固定結論、出現頻率較高的圖形。對于這些圖形，我們要注意歸納、提煉，并能熟練運用。本章中與三角形內角和有關的基本圖形有：

1.“8字”型。

如圖1，線段AD、BC相交于點O，我們把類似圖1的圖形稱為“8字”型。根據三角形的內角和是180°，且∠AOB=∠COD，不難得出∠A+∠B=∠C+∠D。

2.“飛鏢”型。

如圖2-①，我們把它稱為“飛鏢”型。通過作射線AO，如圖2-②，可得∠1=∠3+∠B，∠2=∠4+∠C，所以∠1+∠2=∠3+∠B+∠4+∠C，即∠BOC=∠BAC+∠B+∠C。

例1 圖3-①是我們非常熟悉的五角星圖案。你知道五角星的五個角的度數之和是多少嗎？

【分析】本題的解題方法較多，我們可以借助上面的基本圖形解決。連接CD，如圖3-②，借助“8字”型基本圖形，∠B+∠E=∠1+∠2，則五角星五個角的和就等于∠A+∠ADF+∠ACF+∠1+∠2，即轉化成△ACD的內角和。

本題其實也可以借助“飛鏢”型基本圖形解決。如圖3-③，則∠CFD=∠A+∠C+∠D。由∠CFD=∠BFE，可得∠BFE=∠A+∠C+∠D。那么五個角的和即為∠B+∠E+∠BFE，轉化成了ABFE的內角和。

例2 如圖4-①是一個六角星的圖案，AD、BE相交于點O，其中∠BOD=75°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數。

【分析】本題看似復雜，但仔細觀察，圖4-①其實可以看成是由圖4-②和圖4-③兩個“飛鏢”型基本圖形組合而成，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOD+∠AOE。而∠BOD和∠AOE是一組對頂角，結合已知條件∠BOD=75°，則要求的六個角的和為75°+75°=150°，問題得以輕松解決。

本章雖然涉及的圖形較多，但較多復雜的圖形往往都是由一些基本圖形組合而成的。因此提煉基本圖形，把不同背景下的問題化歸到同一模型中，則能化難為易，化繁為簡，提高解題效率。

二、歸納解題策略。觸類旁通

例3 如圖5-①，直線AB∥直線CD，EFGHI為其中一條折線，求∠AEF+∠EFG+∠FGH+∠GHI+∠HIC的度數。

【分析】本題涉及的角較多，而條件只有一組平行線，結合平行線的性質，可以考慮過其中的點F、G、H分別作AB的平行線。如圖5-②，將∠EFG、∠FGH、∠GHI分成∠EFF′、∠F′FG、∠FGG′、∠G′GH、∠GHH′、∠H′HI六個角。那么∠AEF+∠EFG+∠FGH+∠GHI+∠HIC可以看成是四組同旁內角的和。

平行線間的拐點問題，可以通過過拐點作平行線，轉化成平行線間的角問題，利用平行線的性質解決。同學們在平時的學習過程中，要注重對一些解題技巧的歸納，通過解決一道題，學會解一類題。

三、注重一題多解訓練，提高思維靈活性

例4 如圖6-①，AB∥CD，AO與CO相交于點O。試猜想∠1、∠2、∠AOC之間的關系，并說明理由。

【分析】根據例3的解題方法，本題可以考慮過點O作AB的平行線，如圖6-②，把∠AOC分成∠3和∠4，通過兩組內錯角解決三個角之間的關系;也可以考慮連接AC，得到一組同旁內角∠BAC、∠ACD，如圖6-③，則（∠1+∠3）+（∠2+∠4）=180°，又∠3+∠4+∠AOC=180°，可得∠AOC=∠1+∠2;或者延長AO交DC于E，如圖6-④，通過△COE的外角AAOC=∠2+∠3和一組內錯角∠1=∠3，可得∠AOC=∠1+∠2。

同學們還可嘗試過點O向右側作AB的平行線，或延長CO與AB相交，亦可解決問題。

通過不同的解題方法體會平行的作用，可開拓思路，提高思維的靈活性，有利于創新意識的培養和數學能力的提升。因此，同學們在學習過程中切不可滿足于掌握一種解題方法，應嘗試多種方法，學會比較各方法的優劣，提升數學思維的敏捷性。

四、掌握數學思想，提升數學素養

本章內容涉及較多的數學思想方法，同學們需認真體會，內化于心。

如探究直線平行的條件時，通過角度（數）的變化觀察兩直線位置關系（形）的變化，這是數與形的結合;在探究多邊形的內角和的過程中，我們嘗試了不同的方法，如在多邊形內取一點，或在多邊形的邊上取一點，或過其中的一個頂點分別連接其他頂點（如圖7），把多邊形的內角和問題轉化成若干三角形的內角和的問題，這是化未知為已知。

在解決問題的過程中，當已知條件不確定時，我們還需要分類討論。如當一個角的兩邊平行于另一個角的兩邊時，這兩個角的關系是相等或互補。又如一個正方形剪去一個角后，求剩余部分的多邊形的內角和，剩余部分既可能是三角形，也可能是四邊形或五邊形（如圖8）。再如平面內有六條直線，其中任何三條直線都不共點，要求畫出圖形說明交點的個數問題，可以從平行線的角度考慮，先考慮六條直線都平行，再考慮五條、四條、三條、兩條直線平行，最后考慮都不平行的情況。從特殊到一般，這是解決問題的常用方法，其中也滲透了分類討論的思想。此外，同學們還要注意歸納。

數學思想方法是數學最本質、最具價值的內容，是數學知識的“靈魂”。因此，同學們在學習數學的過程中，既要掌握數學知識，又要重視數學思想方法的學習，從而有效地提升自身的數學素養。

本章既是規范證明的開端，也體現出數學思維能力的一個飛躍。在學習本章的過程中，我們不能忽視基礎知識的學習，要抓住重點，精雕細琢，注重數學思維能力的提升;要注重歸納，精益求精，靈活運用所學知識解決問題。