帶災難的二維MX/M/1排隊模型*

李俊平

(中南大學數學與統計學院,長沙，410083)

1 引言

排隊模型是應用概率論的一個重要研究分支,在交通、通訊和服務性行業具有非常重要的應用. 排隊模型的一般理論與連續時間 Markov鏈一般理論的相互結合已經成為一個非常成功和富有成果的研究領域. 在排隊理論中, 成批到達和成批服務的排隊模型在 Markov排隊模型的理論和應用中具有重要的地位和作用. 由于其在許多領域中的廣泛應用, 它吸引了眾多概率論學者的關注和研究. 其中, 具有狀態獨立和狀態依賴控制的 Markov排隊模型也引起了許多學者的興趣, 例如 Chen, Li, Hou 和 Wang[2], Chen, Pollett, Li 和 Zhang[3], Li, Zhang[12], 以及 Zhang, Li[15,16].

近來, 帶有災難的排隊模型引起了許多學者的研究興趣. 例如, Chen, Zhang, Liu 和 Rennolls[7], Di Crescenzo, Giorno, Nobile和Ricciardi[8], Economou, Fakinos[9]討論了帶災難的連續時間馬爾可夫鏈的瞬時分布等性質. Chen 和 Renshaw[5,6]分析了災難對M/M/1及相關Markov排隊模型的影響, Zhang 和 Li[16]把這些結果推廣到了M/M/c排隊模型. KrishnaKumar 和 Arivudainambi[10]討論了災難對初始顧客數為隨機情形的 Markov 排隊系統的影響. Di Crescenzo, Giorno, Nobile 和Ricciardi[8]研究了帶災難的一般的生滅過程有效災難的首次發生時間.

在通常情況下, 當系統狀態為0時就認為災難發生了,并且系統將永遠停留在狀態 0, 即 0 為吸收態. 在本文中, 假定災難發生后系統仍可以從 0 狀態轉移到其它正狀態, 排除了災難發生后 0 為吸收態的情況. 這種災難稱之為有效災難, 即當系統狀態不為 0 時發生的災難. 因此, 本文不考慮系統狀態為 0 時有災難發生的情形.

本文考慮帶災難的二維MX/M/1 排隊模型,給出其有效災難首次發生時間的概率密度函數的Laplace變換的精確表達式，以及有效災難首次發生時間的數學期望和方差及其漸近性質.

考慮一個二維排隊網絡系統，系統中有兩個服務站點，其演變規律可直觀描述如下：

(1)顧客獨立地成批到達兩個站點，每一批到達的顧客數是隨機的，且批與批之間的到達時間間隔相互獨立并服從相同的指數分布；

(2)服務規則為先到先服務，每一個顧客的服務時間相互獨立且服從相同的指數分布；

(3)一個顧客接受完服務后，可以選擇轉移到另一個服務站點，也可以直接離開系統；

(4)外部有一個災難流影響系統，災難流的到達服從泊松分布，災難一旦發生，系統中顧客立即清空.

為方便起見，我們采用如下記號：

0=(0,0),e1=(1,0),e2=(0,1).

Q=Q*+Q(0)+Qc,

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

由于定義1.1中給出的Q是有界保守Q矩陣, 根據 Markov 鏈的一般理論, 存在唯一的過程, 即 Feller 最小過程, 滿足 Kolmogorov 向前向后方程. 我們稱這個過程為帶災難的二維MX/M/1 排隊過程, 并記此過程為 {N(t);t≥0}.

特別地，若ξ=0， 即沒有災難，此時Q矩陣為

(1.5)

2 預備引理

為了研究帶災難的二維MX/M/1 排隊模型, 我們引入如下發生函數:

顯然,A(u),B(v)都在 [-1,1] 上有定義.

(2.2)

證明由 Kolmogorov 向前方程以及Q*的特殊性立得.

3 有效災難首次發生時刻

本節我們來考慮過程 {N(t);t≥0} 有效災難的首次發生時間.

(3.1)

初始條件為pj,n(0)=δj,n.

(3.2)

或者,

(3.3)

證明由于引理所涉及的Q矩陣都是有界保守的，只需證明(3.2)式定義的pj,n(t) 滿足Q對應的Kolmogorov向前方程即可. 事實上，

這就證明了(3.2)式. 對(3.2)式作 Laplace 變換即可得到 (3.3)式. 證明完畢.

(3.4)

(3.5)

(3.6)

其初始條件為hj,n(0)=δj,n.由文獻[8]知,{M(t);t≥0}和Cj,0之間有以下關系：

(3.7)

(3.8)

(3.9)

證明當j=0時, 對(3.6)后兩個方程取Laplace變換, 得

(3.10)

同時，對(3.1)取Laplace變換,得

(3.11)

令

(3.12)

將(3.12)代入(3.10),并結合(3.11),可得

(3.13)

將(3.13)代入(3.12),并利用(3.3)式,可得當j=0時(3.9)成立.

一般地，當j≠0 時,

(3.14)

令

(3.15)

對(3.1)代入取Laplace變換,并把(3.15)代入(3.14),可得

(3.16)

最后, 將 (3.6) 的第一個方程做 Laplace 變換, 得

因此, 由 (3.9) 立即得到 (3.8). 證明完畢.

(3.17)

pj,n(t)=P(Nt=n|N0=j)

=P(Nt=n,Cj,0>t|N0=j)+P(Nt=n,Cj,0t|N0=j)

對上式取Laplace變換, 得

πj,n(λ)=ηj,n(λ)+Δj,n(λ)π0,n(λ),

接下來我們考慮有效災難的首次發生時間Cj,0的期望和方差.

(3.18)

(3.19)

證明由于

由 (3.17) 經過簡單的代數運算即可得到 (3.18)和 (3.19). 證明完畢.

下面的定理給出了當ξ↓0 時平均有效災難的首次發生時間E[Cj,0] 的漸近性質.

證明完畢.

最后，我們來考慮當ξ→+∞ 時平均有效災難的首次發生時間E[Cj,0] 的漸近性質.

定理3.4我們有

證明由于

由 (3.18) 得

利用Tauberian定理可得