自由半群和斜積映射下的拓撲壓*

王威 李淵

(南通理工學院基礎教學學院，南通，226002；南京師范大學數學科學學院，南京，210023)

1 引言

拓撲壓是熱力學公式系統中一個非常重要的概念，Ruelle[1]首先提出該概念并證明了拓撲壓的變分原理，其考慮的是緊致不變集合相對于一個同胚的勢函數的拓撲壓.Walters[2]將此概念進行推廣，系統地介紹了關于熵和拓撲壓的一些概念和性質.

1999年，Bufetov[3]給出了自由半群作用下的拓撲熵的定義，并得到了在斜積映射下的乘積定理.2011年, Ma[4]研究了半群作用下的拓撲熵和拓撲壓.2019年王威[5]利用緊致化的方法構造了任意拓撲空間的拓撲壓.近年來，各種集合上的拓撲壓文獻很多，比如[6-8], 經典的拓撲壓介紹可以查看[9].本文將[3]中拓撲熵推廣至拓撲壓，獲得壓工作的新進展，并在斜積映射下獲得新的乘積定理.

記∑m是由符號0,1,…,m-1構成的雙邊無限序列的全體，即

∑m={ω=(…,ω-1,ω0,ω1,…):?i∈Z+,ωi=0,1,…,m-1}.

?ω1,ω2∈∑m, 記d(ω1,ω2)=2-k, 其中k=inf{|n|:ω1≠ω2}.

設一個有m個生成子的自由半群作用在X上, 這m個自由生成子映射記為f0,f1,…,fm-1.假設這些映射都是連續的.

2 相關定義和性質

我們有如下性質：

定義2設g∈C(X,R),ε>0, 定義

我們有下述性質：

(4)Qn(f0,…,fm-1,0,ε)=B(n,ε,f0,…,fm-1).

(5) 若ε1>ε2, 則Qn(f0,…,fm-1,g,ε1)≤Qn(f0,…,fm-1,g,ε2).

映射P(f0,…,fm-1,·)：C(X,R)→R∪{∞}稱為自由半群作用下的拓撲壓. 它與自由半群作用下的拓撲熵h(f0,…,fm-1,g,ε)有下列關系：

(6)P(f0,…,fm-1,0)=h(f0,…,fm-1,g,ε).

下面從分離集角度給出一個等價定義.

性質：

定義4設g∈C(X,R)，ε>0. 定義

性質：

3 主要定理及證明

證明由性質(11)知上述極限存在. 由性質(9), 有

由引理1, 對任意δ>0有

因此

證畢.

我們稱P(f0,…,fm-1,g)為自由半群作用下的拓撲壓.

下面將斜積映射與自由半群的作用結合起來.

映射F:∑m×X→∑m×X定義為:F(ω,x)=(δω,fω0(x)). 當ω0=0時,fω0=f0；當ω0=1時,fω0=f1; 依此類推.

設g1和g2分別為∑m和X上的連續函數. 則g=g1×g2是∑m×X上的連續函數. 令g(ω,x)=g1(ω)+g2(x),?(ω,x)∈∑m×X.

定理2映射F的拓撲壓滿足:

P(F,g)=P(δ,g1)+Pn(f0,…,fm-1,g2).

+g(fωn-2…ω0(x))),

因此

從而

即

P(F,g)≥P(δ,g1)+Pn(f0,…,fm-1,g2).

+g(fωn-2…ω0(x))),

因此

從而

進而

P(F,g)≤P(δ,g1)+Pn(f0,…,fm-1,g2).

證畢.