虧格4周期纖維的陳數結果

張宇鑫

【摘 要】 2012年，陸俊、談勝利提出了對任意奇異纖維關于陳數上下界的猜想。本文主要計算 了虧格4的周期纖維的陳數和Euler - Pomcare特征標，并結合龔成虧格2與符玄龍虧格3的分類結果，驗證了在虧格4周期纖維的情況下，陸俊、談勝利猜想的正確性。

【關鍵詞】 陳數;周期纖維;纖維化

在復代數曲面的研究中，（代數）纖維化是一類常見的研究對象。我們稱光滑既約的射影代數曲面S到光滑既約的射影代數曲線，C的滿的態射?：S是纖維化，且? 的每條纖維都是連通的[1]。與射影代數曲面的雙有理幾何的情況不同，纖維化的理論可以說是研究代數曲面上有理函數的幾何學[2]。事實上，因為非常的有理函數可以看作曲面到射影直線的支配的有理映射，而通過奇點解消以及Stein便可以得到上面的纖維化的形狀。由于代數簇的研究本質上是其上有理函數的研究，故纖維化的研究可以反映曲面的數值不變量[3]。下面考慮纖維化?：S，由于/的臨界值的全體是C的Zariski閉集，故是 有限集。故 ? 的一般纖維都是光滑射影曲線。我們稱 ? 是虧格g的纖維化，若其一般纖維F的虧格g，這與一般纖維的選取無關。特別地，若纖維化 ? 的虧格為0，即 ? 的每條纖維都是P時，稱 ? 為直紋;稱虧格為1的纖維化為橢圓纖維化。當 ? 是虧格g的 纖維化時，? 的任意纖維的算數虧格也為g 。

一、虧格相關定理

我們有以下重要的引理：

由算數虧格這一整體的不變量，我們可以得到曲面的奇點解消理論：光滑代數曲面上的既約曲線的奇點可以通過有限次blowing up解消，進一步的，曲面間的雙有理映射都是有限個blowing up以及其逆映射blowing down的復合。通過blowing up可以產 生（-1）曲線，反之，Castelnuovo收縮定理證明了任意（-1）曲線也都是通過blowing up 產生的。由此，曲面的極小模型不存在（-1）曲線，于是我們便得到了相對極小模型的觀點：即稱纖維化 ? ：S是相對極小的，如果 ? 的每條纖維都不含（-1）曲線。

類似極小模型時的情況，對于任意的纖維化 ?0：S，一定存在其相對極小模型[2]：因若?0存在（-1）曲線，E0將其收縮，得到的新的光滑曲面X1與纖維化 ?1：S且滿足 ?0=?10。其中 ：是收縮映射。接下來歸納的，收縮 ?i中的（-1）曲線，Ei，最終可以得到一個不含（-1）曲線的代數纖維化。另一方面，若g>0，則相對極小模型唯一。但當g>0時，相對極小模型可能是不唯一的。然而這樣的纖維化有非常 簡單的結構，即f是一個直紋，并且可以證明任意g>0時，兩個相對極小模型可通過有限次基本變換相互轉換。這樣我們在一定程度上得到了更適合數值不變量的分類。

接下來，我們引入穩定性的概念。穩定性本來是構造曲，局部自由層模空間時引入的概念，但在纖維化理論中有很重要的應用。我們稱相對極小纖維F是半穩定的，若F 是既約，具有正規交，任何相對極小纖維F總是可以通過blowing up其上的奇點，得到一個只有結點的纖維F，并且F的每條（-1）曲線至少要和其他分支相交3個點，這樣的F是唯一確定的，稱之為F的極小正規交模型。

為計算不變量，我們介紹一些數值不變量：設n是基變換，F是?的奇異纖維，我們定義F的一些數值不變量陳數與Euler-Pouncare'特征標，其定義如下：

二、周期纖維的陳數

本部分主要根據陸俊、談勝利關于奇異纖維的陳類公式求出了所有奇異纖維的陳數，進 而由Noether公式計算出了所有奇異纖維的特征標。

【參考文獻】

[1]J.Harvey.Cyclic groups of automorphisms of compact Riemann surfaces[J].Quart.J.Math. Oxford Ser.1996（2）：86-97.

[2]T.Ashikaga，M.Ishizaka.Classification of degenerations of Castelnuovo surfaces[M]. J. Math.Soc.Japan，1991（3）：229-246.

[3]Sheng-Li Tan.Chern numbers of a singular fiber，modular invariants and isotrivial families of curves[J].acta mathematica vietnamica，2010（10）：159-172.

[4]肖剛.代數曲面的纖維化[M].上海：上海科技出版社，1992（3）：72-80.

[5]龔成.上具有兩條或三條奇異纖維的曲面纖維化[D].華東師范大學，2012.

[6]符玄龍.曲線上具有兩條奇異纖維的虧格3纖維化[D].華東師范大學，2012.

[7]卓玲聿.虧格為4的周期纖維的分類及其應用[D].蘇州大學，2012.