基于數學建模素養的立體幾何教學設計實踐探究

趙玉香

【摘 要】 教學設計是課堂教學的“羅盤”，立體幾何教學是提升學生數學建模素養的重要載體。本文從三個方面介紹了實踐探究中形成的基于數學建模素養下的形形相聯六環節立體幾何教學設計模式。

【關鍵詞】 形形相聯;六環節立體幾何教學設計;數學建模核心素養

一、問題的提出

2017年開始，數學新課標、新高考評價體系越來越重視學生的核心素養，特別是數學建模素養。當下高中學生的數學建模核心素養較弱，從而導致其應用數學知識解決問題的能力較弱。怎樣的教學設計能更好地服務課堂、有效提升學生的數學建模素養呢？教無定法，貴在得法，筆者決定從多面體的外接球問題著手，對立體幾何教學設計開展具體的實踐研究，以期得到有實效的教法。

二、問題的分析、探究及解決

（一）指導理論與概念

學科素養是高考評價體系“一體四層四翼”中的四層考查目標之一，數學素養包含具有數學基本特征的必備思維品格和關鍵能力，是數學知識、技能、能力及情感、態度、價值觀的綜合體現?！陡咧袛祵W新課程標準》明確提出數學建模是高中數學六大核心素養之一。 數學建模的實質是將實際問題的內在規律用數字、圖表或公式、符號等表示出來，根據數學基礎知識和基本原理建立數學模型的若干原型，在解決實際問題時識模、用模、解模的過程。

（二）問題探究

1.高中學生數學建模素養弱的主要成因

（1）快餐式的課堂教學忽略知識的來龍去脈，學生對數學知識“只窺一斑”、不探全貌，思維深度與習慣不佳，數形結合意識不強。

（2）學生的課堂反思與歸納不足，不能精準掌握數學知識與方法。

2.提升數學建模素養的立體幾何教學設計實踐探究

（1）流程設計探究：教學過程設計分為幾個環節更合適？每個環節的具體任務是什么？該怎么落實？

（2）關鍵環節設計探究：如何引導學生形形相聯，聯想并構建相應的數學模型來解決問題，從而有效提升學生的數學建模素養？

（三）問題解決及模式形成

筆者認為，形形相聯，以圖形為主線的六環節立體幾何教學設計模式能有效提升學生的數學建模核心素養：（1）目標引領中展示問題;（2）回顧舊知中挖掘內涵;（3）問題引導中建模研模;（4）問題實踐中用模解模;（5）反思歸納中完善模型;（6）實踐鞏固中熟知模型。

三、模式實施

多面體外接球問題是高中立體幾何教學中的一個重點和難點，本文以此為例可以更好地闡述形形相聯六環節立體幾何教學設計模式。

（一）目標引領中展示問題

圖形展示三棱錐、四棱錐與棱柱等多面體及其外接球，明確學習目標：“能根據幾何體的性質特征，解決一些簡單的多面體的外接球問題”。

（二）回顧舊知中挖掘內涵

引導學生觀察圖1，設置問題，回顧多面體和球的幾何性質，為新課奠定基礎。

1.概念與性質回顧

（1）球的定義是什么？有哪些性質？

（2）平面上，三角形的外接圓圓心如何確定？

（3）空間中，多面體的外接球球心如何確定？

2.內涵領悟（展示幾何體實物）

（1）長方體的外接球球心在哪兒？它的半徑怎么計算？

（2）正四面體的外接球球心在哪兒？它的半徑怎么計算？

【設計意圖】以學生熟悉的長方體和正四面體的外接球問題為切入點，引導學生明確外接球問題的內涵是確定球心和半徑——球心到各頂點距離相等，半徑等于球心到任一個頂點的距離。

（三）問題引導中建模研模

1.建模：通過上面的問題可得外接球問題的原型（圖2）。

2.研模：所有多面體的外接球問題都可構建為圖2原型，經常會出現下面兩種實際問題解決方法：

（1）構造三邊長含有R、r和d的直角三角形。

代表模型：圖3。

【設計意圖】將外接球原型擴展可得一個新的直角三角形（圖3），其中，BC垂直小圓所在平面，引導學生由圖形聯想到其特征“線面垂直”，側棱垂直底面?？陕撓氲介L方體具備此特征，“長方體的8個頂點中，任取若干個頂點組成的多面體，其外接球也是原長方體的外接球”，一些多面體的外接球問題可通過補形法轉化為長方體的外接球，運用圖3模型來解決。

（2）定義法：確定球心的位置，球心到各頂點距離相等。

球心與多面體任意一面的外心連線與此平面垂直。代表模型如圖4。

【設計意圖】外接球原型也可擴展為圖4的模型，引導學生由圖形聯想到可確定球心位置的一些多面體，特別是椎體的外接球問題可構建此模型來解決。

正四面體的外接球既可轉化為長方體的外接球，也可用圖4模型來解決。

（四）問題實踐中用模解模

1.線面垂直模型的應用

例1：如圖5，已知球O的球面上四點A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，則球O的體積等于? ? ? ? ? ? 。

變式練習1：如圖6，底面邊長為的正三棱柱的外接球體積為，則該三棱柱的體積為? ? ? ? ? ? 。

【設計意圖】引導學生“形形相聯”，根據圖形特征聯想到圖3模型，找出2d，求出底面多邊形的外接圓（小圓）直徑2r，再求R。

2.定義法模型

例2：（1）如圖7，已知三棱錐D-ABC中，AD⊥BD，AC⊥BC，BC=4，求此三棱錐的外接球半徑。

（2）如圖8，三棱錐D-ABC中，E是AB中點，DE=AB=4，CE=2，DE⊥平面ABC，求此三棱錐的外接球表面積。

變式練習2：正四棱錐的五個頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為? ? ? ? ? ? 。

【設計意圖】引導學生根據球的定義和性質明確“球心在過多面體任意面的外心且與此平面垂直的直線上”，將此類問題分解為找多邊形的外心、確定球心位置、構建并求解圖4模型幾個步驟。

（五）反思歸納中完善模型

引導學生歸納反思：例題及變式練習是否還有其他的解法？具有什么明顯特征的外接球問題可以選用圖3和圖4模型來解決？

（六）實踐鞏固中熟知模型

鞏固練習1：底面邊長為1，側棱長為的正四棱柱的外接球的體積為? ? ? ? ? ? 。

鞏固練習2：直三棱柱的各頂點都在同一球面，AB=3，AC=5，BC=7，，則此球的表面積等于? ? ? ? ? ? ? 。

鞏固練習3：三棱錐S-ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，AB=2，SA=SB=SC=2，則此三棱錐的外接球球心到平面ABC的距離是? ? ? ? ? ? ?。

實踐發現，用這種教學設計為立體幾何教學做準備，可更好地引導學生構建數學模型，形形相聯，以不變的基本模型解決萬變的實際問題，有效提升學生的數學建模素養。這種教學設計模式需要教師認真研讀課程標準與大綱要求，預測學生可能出現的問題，認真整合與重組教材內容，有序細化相關問題與對應數學模型所需的必備知識，如此才能引導學生建模、用模和解模，不斷滲透并提升學生的數學核心素養。

【參考文獻】

[1]林軍，陳翰林，劉啟寬.數學建模教程（31版）[M].北京：科學出版社，2018.2.

[2]史寧中.數形結合與數學模型——高中數學教學中的核心問題[M].北京：高等教育出版社，2018.

[3]林日福.基于數學核心素養的教學研究[M].重慶：西南師范大學出版社，2018.

[4]王國江，張倬霖.基于核心素養的數學創新教學設計[M].上海：社會科學出版社，2018.

【備注：本文系廣州市教育科學規劃2018年度課題《基于核心素養的高中數學教學設計實踐研究》（課題批準號：20190000095）的研究成果】