基于平均應變能密度準則的裂紋斷裂擴展特性分析

黃如旭，謝曉忠，謝 鋒，黃進浩，萬正權

(中國船舶科學研究中心 深海載人裝備國家重點實驗室，江蘇 無錫 214082)

0 引 言

由于結構應力狀態復雜性或裂紋分布隨機性使得工程結構中的裂紋通常為混合型裂紋。用于研究混合型裂紋斷裂問題的經典斷裂理論假設裂紋尖端應力場僅由奇異項控制，這些斷裂理論主要包括最大環向應力準則（MTS 準則）[1]、應變能密度因子準則（SED準則）[2]以及平均應變能密度準則（ASED 準則）[3]。與MTS 準則和SED 準則僅考慮裂紋前緣某一點的應力或應變能不同，ASED 準則考慮裂紋尖端某一區域內所有應力分量對裂紋擴展的影響并假設裂紋尖端以臨界距離rc為半徑的圓形面積內平均應變能密度達到其臨界值時裂紋發生起裂擴展，具有明確的物理意義。已有研究表明[4–7]，裂紋尖端應力場常數項對裂紋擴展過程中的裂紋尖端塑性區形狀、起裂擴展角及起裂擴展條件的影響不可忽略。本文基于ASED 準則理論圍道積分核心思想[3,8–10]，綜合考慮裂紋尖端應力場奇異項和常數項對裂紋擴展的影響，建立I-II-III 混合型裂紋起裂擴展條件計算式。在此基礎上，系統分析常數項T 應力對裂紋起裂擴展條件的影響；最后，以承受縱向拉伸、側向壓縮雙軸疲勞載荷作用下的平板表面I 型裂紋為研究對象，結合修正的平均應變能密度準則分析常數項T 應力對疲勞裂紋擴展壽命的影響。

1 修正平均應變能密度準則

柱坐標系下，包含奇異項及常數項的裂紋尖端應力場為[11]：

式中：σij（i，j=1，2，3）為柱坐標系下與裂紋平面呈θ 角；距離裂紋尖端為r 的一點應力分量（見圖1）；KI，KII，KIII和T 分別為I 型、II 型、III 型應力強度因子和非奇異項T 應力；υ'為材料常數，平面應力問題取為0，平面應變問題取為材料泊松比υ。

彈性體中一點應變能密度表達式為[8–9]：

式中：μ 為剪切模量；參數κ 為材料參數，平面應變問題κ=3–4υ，平面應力問題κ=( 3-υ)/(1+υ)。

圖 1 裂紋尖端應力場Fig. 1 Stress field around crack tip

根據ASED 準則[3]，當裂紋尖端以臨界距離rc為半徑的圓形面積內的平均應變能密度達到臨界值時裂紋發生起裂擴展，如圖2 所示。

圖 2 裂紋尖端斷裂控制區域[9-10]Fig. 2 Fracture progress zone

結合式（1）～式（8），采用Mathematica 計算，得到綜合考慮裂紋尖端應力場奇異項和常數項的平均應變能密度：

根據ASED 準則，裂紋起裂判據表達式為：

對于純I 型裂紋有KII=0，KIII=0，T=0。同時，純I 型裂紋起裂時KIf=KIc，于是以臨界距離rc為半徑的圓形面積內的平均應變能密度臨界值

聯立式（9）、式（10）和式（11）可得修正平均應變能密度準則I-II-III 混合型裂紋起裂判據為：

2 常數項對裂紋斷裂特性影響分析

2.1 對I-II 混合型裂紋斷裂特性影響分析

對于I-II 混合型裂紋，KIII=0，式（12）蛻化為III 混合型裂紋起裂擴展條件計算式[12]。研究I-II 混合型裂紋時引入無量綱參數雙軸因子B 和參數α[7]：

式中：Keff為有效應力強度因子[7]；a 為裂紋長度；rc為斷裂控制區域臨界距離，可由進行估算[7]，其中σt為材料拉伸極限。反映常數項T 應力的參數Bα 為：

引入參數Bα 后，修正平均應變能密度準則I-II 混合型裂紋起裂判據為[12]：

平面應變狀態，泊松比υ=0.3 時不同Bα 情況下的修正平均應變能密度準則斷裂判據曲線（Bα=0 時為ASED 準則，作為比較基準），如圖3 所示。

圖 3 常數項對I-II 混合型斷裂判據曲線影響Fig. 3 The effect of T-stress on fracture limit

由圖3 可以看出，考慮常數項T 應力影響的斷裂判據曲線均在ASED 準則（Bα=0）斷裂判據曲線之內，即T 應力降低了材料裂紋起裂阻力，且|Bα|越大裂紋斷裂極限值越低；當|Bα|相同時，正的T 應力（Bα 為正值）對應的斷裂判據曲線在負的T 應力（Bα 為負值）對應的斷裂判據曲線之下，即|Bα|相同時，正T 應力要比負T 應力更容易發生斷裂。

2.2 對I 型、II 型裂紋斷裂特性影響分析

對于I 型裂紋（KII=0），修正平均應變能密度準則I 型裂紋斷裂判據為[8]：

對于II 型裂紋（KI=0），修正平均應變能密度準則II 型裂紋斷裂判據為：

平面應變狀態，泊松比υ=0.3 時I 型裂紋斷裂極限值KIf隨Bα 的變化曲線如圖4 所示。

圖 4 I 型裂紋斷裂極限隨Bα 變化曲線（KII=0）Fig. 4 Variation of fracture limit for mode I crack

由圖4 可以看出，T 應力對I 型裂紋斷裂極限值KIf有很大的影響，當T 應力為負值時，KIf隨T 應力的增大而增大直到達到最大值（KIfmax=1.02KIc），隨后隨T 應力的繼續增大而下降；T 應力在區間為–0.48＜Bα＜0 時I 型裂紋斷裂極限值KIf反而大于KIc，可理解為此區間內T 應力增大了I 型裂紋的斷裂韌性，但引起的增大幅度并不高，可忽略不計，即–0.4 8 ＜Bα＜0 時，T 應力對I 型裂紋斷裂極限KIf幾乎沒有影響；正的T 應力將降低I 型裂紋斷裂極限值KIf；相同|Bα|時，正T 應力對應的I 型裂紋斷裂極限KIf低于負T 應力對應的I 型裂紋斷裂極限KIf，如當Bα=1.0 時，KIf=0.75KIc（考慮T 應力時的I 型裂紋斷裂韌性降低了25.0%）當Bα=–1.0 時，KIf=0.88KIc，即考慮T 應力時的I 型裂紋斷裂韌性降低了12.0%。

平面應變狀態，泊松比υ=0.3 時II 型裂紋斷裂極限值KIIf隨Bα 的變化曲線，如圖5 所示。

圖 5 II 型裂紋斷裂極限隨Bα 變化曲線（KI=0）Fig. 5 Variation of fracture limit for mode II crack

由圖5 可以看出，對于II 型裂紋來說，T 應力降低了II 型裂紋斷裂極限值KIIf；相同|Bα|時，II 型裂紋斷裂極限KIIf相同，II 型裂紋斷裂極限值KIIf受T 應力的大小影響，與T 應力的正負無關。當|Bα|=1.0 時，KIIf=0.51KIc，以ASED 準則純II 型裂紋斷裂極限值KIIf=0.63KIc作為參考基準，考慮T 應力時的II 型裂紋斷裂韌性降低了19.1%。

3 常數項對裂紋擴展影響分析

工程結構中最常見、最危險的裂紋形式為I 型表面裂紋，選取雙軸載荷作用下平板半橢圓表面I 型裂紋研究常數項T 應力對疲勞裂紋擴展壽命的影響，其中縱向載荷為拉伸屬性，側向載荷為壓縮屬性。考慮T 應力影響的I 型裂紋KII=0，T≠0。按照修正平均應變能密度準則，I 型裂紋等效應力強度因子Keq為：

疲勞裂紋擴展計算參量ΔKeq，只需將式（18）中KI替換為ΔKI=（1–R）KI即可，為簡化研究，取應力比R=0。

3.1 準靜態分析

縱向施加拉伸載荷P1=300 MPa，側向施加壓縮載荷P2=500 MPa。雙軸載荷作用下的平板模型示意如圖6 所示。平板長度為L=600 mm，寬度為W=120 mm，厚度為t=35 mm；半橢圓表面裂紋位于平板中心，初始裂紋長度為2c=5 mm，深度為a=2 mm，裂紋形狀示意如圖7 所示。

采用20 節點solid95 單元建立含半橢圓表面I 型裂紋平板有限元模型，如圖8 所示。坐標原點位于平板表面裂紋長度中心位置，y 軸為裂紋長度方向，z 軸為平板長度方向。在平板2 個側面施加500 MPa 的壓應力，在平板縱向一端施加300 MPa 的拉應力。邊界條件為：平板縱向端面面心施加uy=0，縱向端面板厚一半高度上所有節點ux=0，未施加縱向載荷的端面所有節點施加uz=0。

圖 6 雙軸載荷含半橢圓表面I 型裂紋平板結構Fig. 6 Sketch of surface crack plate under biaxial fatigue load

圖 7 半橢圓表面裂紋示意圖Fig. 7 Sketch of surface crack

圖 8 雙軸疲勞載荷下平板有限元模型Fig. 8 FE model under biaxial fatigue load

3.2 疲勞裂紋擴展壽命分析

疲勞裂紋擴展分析時，計算參量分別選取為傳統方法的I 型應力強度因子范圍ΔKI和等效應力強度因子范圍ΔKeq，選取裂紋最深點A 為計算參考點（見圖7），裂紋擴展深度由2 mm 擴展至14 mm 時，最深點A 處的參數Bα 變化曲線，如圖9 所示。等效應力強度因子變化范圍ΔKeq（取κ=3–4υ，平面應變狀態），如圖10 所示。

由圖9 可以看出，在裂紋擴展過程中參數Bα 為負值，總體趨勢為隨裂紋擴展而逐漸變小，Bα 的變化區間為–2.5～–1.0（裂紋在擴展中將不會發生偏折[6–7]）。由圖10 可知，裂紋擴展過程中應力強度因子隨裂紋擴展而逐漸增大；裂紋擴展過程中裂紋尖端等效應力強度因子范圍ΔKeq高于不考慮T 應力時的I 型應力強度因子范圍ΔKI。

圖 9 參數Bα 隨裂紋深度變化情況Fig. 9 Variation of parameter Bα

圖 10 應力強度因子變化范圍ΔK 隨裂紋深度變化情況Fig. 10 Variation of ΔK

裂紋擴展過程中應力強度因子變化范圍直接決定了裂紋擴展壽命。根據裂紋前緣參考節點的擴展情況計算裂紋擴展壽命，當參考點的ΔaA足夠小時，可近似將應力強度因子變化范圍按常數處理。選擇工程中常用的Paris 模型計算裂紋擴展壽命，某鋼材料疲勞裂紋擴展速率參數如下式：

計算得到的裂紋擴展壽命如圖10 所示。由圖10可以看出，對于承受縱向受拉、側向受壓雙軸載荷作用的平板表面裂紋，裂紋深度由2 mm 擴展至14 mm（0.4t）時：不考慮T 應力影響時的裂紋擴展壽命為72 508 次；根據修正平均應變能密度準則，計算得到考慮常數項T 應力影響的裂紋擴展壽命為35 752 次，約為傳統裂紋擴展壽命的49%。

圖 11 裂紋擴展壽命計算結果Fig. 11 Fatigue crack growth results

4 結 語

本文根據考慮常數項T 應力影響的修正平均應變能密度準則，研究常數項T 應力對I 型、II 型和I-II混合型裂紋起裂擴展特性的影響。基于修正平均應變能密度準則研究常數項T 應力對雙軸疲勞載荷作用下的平板表面裂紋擴展壽命的影響。得到以下結論：

1）常數項T 應力降低了材料裂紋起裂阻力，且|Bα|越大裂紋斷裂極限值越低，|Bα|相同時正T 應力下的裂紋更易起裂擴展。

2）對于I 型裂紋，當T 應力為負值時，KIf隨T 應力的增大而增大直到達到最大值，隨后隨T 應力的繼續增大而下降；相同|Bα|時，正T 應力對應的I 型裂紋斷裂極限KIf低于負T 應力對應的I 型裂紋斷裂極限KIf；對于II 型裂紋，相同|Bα|時，II 型裂紋斷裂極限KIIf相同，即II 型裂紋斷裂極限值KIIf受T 應力大小影響，與T 應力正負無關。

3）計算得到的縱向受拉、側向受壓雙軸疲勞載荷平板表面I 型裂紋，由深度2 mm 擴展至14 mm 時，擴展壽命計算結果約為傳統不考慮T 應力影響時裂紋擴展壽命計算結果的49%，不考慮T 應力影響的傳統計算方法將會嚴重高估I 型裂紋的擴展壽命。