基于改進的SOMP 水聲通信信道聯合估計方法

葛慧林，梁仕杰

(江蘇科技大學，江蘇 鎮江 212002)

0 引 言

壓縮感知（Compressive Sensing，CS）[1–3]理論作為一種新興的信號處理理論，當信號在某個正交變換域內具有稀疏性時，便可以以遠低于奈奎斯特采樣速率的頻率對其欠采樣，然后通過非線性重構算法大概率恢復原始稀疏信號。基于CS 的信道估計方法是利用水聲信道多徑分布的稀疏特性，將信道估計問題轉化為稀疏信號的重構問題，通過CS 重構算法可精確恢復信道響應。已有不少學者將其應用于通信系統的信道估計中。COTTER 和RAO 提出了應用于單載波通信系統的基于匹配追蹤（Matching Pursuit，MP）算法[4]的稀疏信道估計[5–6]。WANG 等將上述基于MP 的稀疏信道估計方法拓展到MIMO-OFDM 多載波通信系統[7]。C.R 等在文獻[8]的基礎上深入研究了基于CS 的稀疏

信道估計方法，提出了一種OFDM頻域信道估計算法并分析了各種稀疏重構算法的優劣。但是這類方法主要研究的是靜態稀疏信號，忽略了信號的動態稀疏特性，對于時變信道的估計精度不高。靜態CS 理論唯有通過增加測量次數才能獲得靜態時的重構效果，考慮到單次CS 重構算法的復雜度，通常難以實際應用。而分布式壓縮感知理論的提出，解決了傳統靜態CS 的局限性。它是一種動態CS 理論，通過利用多個信號的共同稀疏性進行聯合重構，大大提高了稀疏重建性能，進而提高了水聲信道估計的精度。因此本文在分布式壓縮感知理論的框架下，考慮到水聲通信信道具有時變稀疏性以及統計上的動態性，對同步正交匹配追蹤算法進行改進，構造一種時域聯合的信道估計方法，進一步提高了水聲信道的信道估計性能。

1 分布式壓縮感知理論及聯合稀疏模型

DCS 理論的研究對象是具有聯合稀疏特性的信號集，通過挖掘各稀疏信號之間的相關性結構，采取聯合恢復信號的策略，因此能夠獲得更好的稀疏信號重構效果。聯合稀疏模型（Joint Sparsity Models，JSM）中常用的主要有JSM-1 型和JSM-2 型。

1）JSM-1 型

在JSM-1 型中，被觀測信號集中每個信號都由公共稀疏部分和各自獨立的稀疏部分組成。公共稀疏部分和各自獨立的稀疏部分都可以通過同一個稀疏基進行稀疏表示。

2）JSM-2 型

與JSM-1 模型不同，JSM-2 模型中所有信號間都具有相同的稀疏支撐集而只是非零系數不同。在本模型中，所有原信號都可以通過同一個稀疏基構造。SOMP 算法也是基于該模型。

2 基于聯合稀疏模型的CS 信道估計

2.1 系統模型

基于CS 的OFDM 信道估計方法，其核心思想是將OFDM 信道估計問題轉化為稀疏信號重構問題，通過CS 重構算法加以解決。具體表示為：

式中：對于接收端來說， YP， XP， FP均已知，h 又滿足稀疏特性，因此是典型的CS 理論模型，可通過最小l1范數法或貪婪算法高概率重構時域信道響應h。

然而此類方式在解決問題時雖然簡單實用，但未充分考慮水聲通信信道的緩變特征且若能充分利用各時刻信道響應的公共稀疏特性，則能進一步提高OFDM 系統信道估計的性能。

基于此，相關文獻在DCS 理論框架下通過SOMP算法解決JSM-2 模型下的聯合稀疏恢復問題來實現水聲信道的信道估計問題。

由式（3），若考慮連續T 個OFDM 符號時間內的信道估計，則

針對式（2）的聯合稀疏模型，構造如下的優化問題來求解聯合信道估計：

式中， ε為和噪聲有關的參量。上述優化問題可通過JSM-2 模型對應的聯合重構算法解決。

2.2 基于改進SOMP 算法的OFDM 信道估計

SOMP 算法作為一種在OMP 算法基礎上改進的貪婪算法，主要應用與JSM-2 模型。SOMP 算法在每次迭代中同樣僅選取與殘差最匹配的原子進行支撐集的更新，通過多次快速迭代完成對信號集的聯合恢復。

然而實際的水聲通信信道在多個OFDM 數據符號內路徑時延可能會發生改變，甚至可能發生路徑的生滅現象，基于SOMP 算法的時域聯合信道估計假定在幾個連續數據符號內信道共享相同的路徑時延集很難完全滿足實際情況。此外，各符號間存在獨立稀疏多徑特性，與JSM-1 模型相匹配。

在DCS 理論的JSM-1 模型中，每個信號都由公共稀疏部分和獨立稀疏部分組成，因此可以將信道路徑時延分為公共信道抽頭和動態信道抽頭分別考慮。在這種分離的基礎上，本文提出一種改進的SOMP 算法來重建時變稀疏信道。首先在所有OFDM 數據符號中同時檢測稀疏信道的公共信道抽頭，然后將公共信道抽頭的路徑時延集作為動態信道抽頭跟蹤過程中的初始化集，目的是為了跟蹤動態信道抽頭并消除初始化集中的錯誤抽頭。

現結合逐符號OFDM 信道估計模型，給出基于改進SOMP 算法的OFDM 信道估計流程，其步驟如下：

1）輸入

2）公共信道抽頭檢測

3）動態信道抽頭檢測

迭代過程：第t 次迭代。

步驟1 找出殘差感知矩陣A 中相關性最大的原子對應的列索引 λt并更新索引集與重建原子集；

步驟2利用LS 算法求出每個符號內的信道沖激響應。

步驟3 僅保留中最大的K 個系數，并更新索引集和重建原子集利用LS 算法重新計算

步驟4 更新殘差。

步驟5 判斷是否滿足條件若滿足，令 t=t+1， 返回執行步驟1；否則：，迭代過程結束。

4）輸出

3 實驗仿真與分析

3.1 參數設置

在本文的仿真系統中，OFDM 系統子載波總數設為256，保護間隔長度為64 點循環前綴，單個OFDM符號插入的導頻數量根據資料選擇32 個導頻。導頻插入方式依據信道估計方式而定，傳統LS 信道估計采用等間隔的梳狀導頻插入，而基于CS 的信道估計全部采用隨機導頻插入。所有調制方式均采用QPSK 調制，且無信道編碼，接收端假定已完全同步。

本文所提JSM-1 模型中的公共稀疏多徑僅幅度隨時間變化，各符號內的動態稀疏多徑則隨機生成。所有稀疏多徑彼此獨立，增益服從零均值的復高斯分布并按指數規律衰減。假設信道長度 L=60點，各多徑時延是系統采樣間隔的整數倍無能量泄漏。在水聲通信信道條件下，信道狀態在一個OFDM 符號周期內保持不變，且各OFDM 符號彼此獨立。

3.2 結果分析

基于以上系統仿真參數設置，做以下幾組仿真：

1）不同信道長度對估計算法性能影響

本部分主要研究了不同信道長度對估計算法性能的影響。仿真選定信噪比為30 dB，信道長度在60～120 之間變化，變化間隔為10。圖1 給出了仿真結果。圖中除了本文所提算法外，還有LS，OMP，SOMP以及Oracle-LS 算法作為對比算法。可以發現，信道長度的變化對信道估計算法的性能沒有較大的影響。

圖 1 不同信道長度下的歸一化均方誤差Fig. 1 The NMSE with different channel lengths

2）公共信道抽頭數對信道估計算法性能影響

本次仿真中設信道最大稀疏度K=10，用時間相關度L 表示公共信道抽頭數，具體數值在2～8 之間變化，圖2 給出了仿真結果。圖中除了本文所提算法外，還有LS、OMP、SOMP 以及Oracle-LS 算法作為對比算法。可見，所有算法中受時間相關度L 影響最大的是SOMP 算法，其余算法均無較大影響。本文所提算法由于包含了動態信道抽頭檢測，因此L 的變化僅影響算法的計算復雜度，對算法性能影響不大。至于SOMP 算法，由于其默認共享相同路徑時延集，因此當L 增大時，相同的路徑時延數增大，算法性能變好，反之算法性能減弱。可以看到，當L=K=10 時，信道退化為JSM-2 模型，此時本文所提算法也退化為SOMP 算法，因此兩者的估計性能相當。

圖 2 不同時間相關度下的歸一化均方誤差Fig. 2 The NMSE with different temporal correlation degree L

3）不同信噪比下多種算法的NMSE 及BER 曲線

本組仿真比較了本文所提算法在內的多種算法的信道估計性能，具體評價指標采用歸一化均方誤差和誤比特率這2 個參數。

圖3 和圖4 分別是NMSE 和BER 的仿真結果。在這2 組仿真中，公共信道抽頭數和信道最大稀疏度分別被設置為L=8 和K=10，參與對比的信道估計算法有LS，OMP，SOMP 以及Oracle-LS 算法。為保證LS 算法性能，導頻插入方式為均勻間隔為8 的梳狀導頻，其余CS 算法均采用隨機導頻。

圖 3 不同信噪比下的歸一化均方誤差Fig. 3 The NMSE with different SNR

圖 4 不同信噪比下的誤比特率Fig. 4 The BER with different SNR

從圖3 和圖4 不難發現，NMSE 和BER 的性能曲線基本趨于一致。其中，LS 算法作為傳統算法，由于導頻數小于信道長度且算法本身估計稀疏路徑時受噪聲影響較大，因此估計性能最差。對于基于CS 的信道估計，SOMP 算法在信噪比較低時對于OMP 算法有較大優勢。然而當信噪比增大時，由于SOMP 算法模型在時變信道下的固有缺陷，性能提升效果有限，而OMP 算法在高信噪比環境下受噪聲影響較小，每次重構信道都可以進行完整K 次迭代，因此高信噪比環境下性能更優。至于本文中所提出的改進SOMP 算法，由于考慮了對動態信道的抽頭檢測，因此效果好于OMP 和SOMP 算法，與前文數學分析的結果相一致。此外，本組仿真中的對比算法Oracle-LS 是時變稀疏信道多徑時延集已知時的LS 估計，此結果是LS 準則下的理論極限值。圖5 將所提算法在信噪比30 dB 下，第1 個OFDM 符號時間內的信道估計結果與原始信道對比，可以發現兩者數據基本重疊，估計性能良好。

圖 5 所提算法信道估計結果與原信道對比Fig. 5 The comparison between channel estimation result of the proposed algorithm and the original channel

4 結 語

本文主要研究了基于改進的SOMP 水聲通信信道聯合估計方法。首先闡述了分布式壓縮感知理論及聯合稀疏模型，分析了現有的基于SOMP 算法的時域聯合信道估計方法未曾考慮信道時變性的缺陷，并提出了一種基于JSM-1 模型的改進SOMP 算法用于聯合恢復信道估計。仿真結果表明，本文所提算法在時變信道環境下相比現有逐符號CS 信道估計算法具有更大的性能優勢，且算法復雜度更低。