核磁共振陀螺信號仿真及噪聲分析

張 燚，汪之國，江奇淵，羅 暉，楊開勇

（國防科技大學前沿交叉學科學院，長沙410073）

0 引言

核磁共振陀螺（Nuclear Magnetic Resonance Gyroscope，NMRG）是當今新型原子陀螺中的一種。與微機電陀螺相比，NMRG具有精度高、耐沖擊性強、加速度不敏感等優勢［1-5］；與激光陀螺、光纖陀螺相比，NMRG具有體積小、易集成化等特點［1-5］；與其它類型原子陀螺相比，如無自旋交換弛豫（Spin Exchange Relaxation Free， SERF）原子自旋陀螺［6］、 原子干涉陀螺（Atom Interferometry Gyroscope， AIG）［7-8］， NMRG 又具有結構簡單、 容易實現等優點。因此，核磁共振陀螺具有十分廣泛的應用前景。其研究工作始于20世紀60年代末［9］，到 20世紀 80年代，美國的 Litton公司［10-11］、Singer-Kearfott公司［11-12］、 Stanford 大學［13］和英國的海軍研究院［14］、 Sussex 大學［11］等多家單位已開展了相關研究工作，并制成了原理樣機［15］。目前，在美國國防高級研究計劃局（Defense Advanced Research Projects Agency，DARPA）支持下的核磁共振陀螺處于世界領先水平［16-17］。

典型核磁共振陀螺的基本原理是：利用堿金屬原子磁力儀測量轉動時惰性氣體原子核磁矩Larmor進動頻率的改變來得到系統轉動信息［3］。與傳統機械陀螺和激光陀螺相比，NMRG的結構復雜，包含多種光學、電學、熱學器件，具有多種噪聲來源，如激光器功率與波長的噪聲、磁場噪聲（包括磁場線圈電流不穩定引起的磁場噪聲、由屏蔽桶效能有限引起的環境剩余磁場噪聲、屏蔽桶本身及桶內其它器件的磁噪聲）、溫度漂移噪聲、機械結構不穩定引起的噪聲（如力學及熱脹冷縮效應引起的光路不穩定）、信號處理量化噪聲、電路噪聲以及由測不準原理引起的量子噪聲（如光子散粒噪聲、光位移噪聲、自旋投影噪聲）等。且由于NMRG的體積限制，各種噪聲彼此間存在較強的耦合，對陀螺信號的影響十分復雜。

但是，目前對NMRG中噪聲特性的研究并不完善。由于決定NMRG敏感轉動核磁矩的Bloch方程具有非線性特性，故難于解析求解。一般都是在Bloch公式的基礎上采用穩態近似與旋波近似等手段獲得理論公式的近似解，然后在近似結果的基礎上分析系統的噪聲特性［18-19］。這樣雖能得到一些主要的噪聲特性，但往往忽略了系統動態響應等重要性能，分析結果存在一定誤差。另一方面，也有一些研究直接采用數值求解微分方程的方法來研究NMRG的系統特性［20］。該方法雖能克服近似解析方法對系統動態特性考慮不足的弊端，但是由于數值求解本身的收斂性問題，該方法一般只能獲得較短時間內的系統特性。對于弛豫時間較長且需考慮長時間漂移的系統，處理起來就比較困難了。

因此，本文兼顧了解析與數值方法的優勢：在理論模型基礎上，對系統動力學方程進行時間離散化，在不采用穩態近似與旋波近似等手段的前提下推導出每一時間微元內的解析結果，并建立仿真模型，該模型不僅能夠充分考慮NMRG系統動態響應特性，還能避免長時間數值求解的收斂性問題。并在此基礎上，利用該模型分析了幾種主要噪聲來源對陀螺性能的影響，其結果對NMRG的研制與性能的提升具有重要參考意義。

1 理論模型

NMRG的基本原理如圖1所示。

圖1 NMRG的基本原理Fig.1 Principle of NMRG

首先，Xe原子核通過與Rb原子的自旋交換作用被極化后用來探測系統的轉動角速度。Xe原子核磁矩K＝［KxKyKz］T滿足如下動力學方程［18］

Ω由外界磁場B、Rb原子磁矩產生磁場bKSS及系統轉動角速度ωr組成。 式（1）、 式（2）中，γXe為Xe原子核旋磁比；Γ1、Γ2分別為縱向與橫向弛豫率，包含自旋破壞碰撞、原子與氣室內壁碰撞、磁場梯度等弛豫效應；K0與自旋交換極化強度有關。

進一步令K＋＝Kx＋iKy＝K⊥e-iφ， 代入式（1）可得

式（3）中， Re［·］為括號中復數的實部。 在NMRG工作時，利用鎖相環跟蹤核磁矩繞z軸的轉動相位，并在x方向施加與磁矩轉動相差固定為β的激勵磁場Ωx＝γXeB1cos（φ-β）， 且有Ωy＝0，可得

式（4）中，約等號使用了旋波近似，即忽略掉頻率為2的項。

先考慮穩態解，令K⊥、Kz達到穩態，即⊥＝0、0，可得

通過式（2）和式（5）可以看出， Xe核磁矩繞z軸轉動的角速度ω與外磁場、Rb原子磁矩磁場、系統轉動角速度、橫向弛豫率以及鎖相環輸出相位差有關。

進一步考慮實時解，旋波近似下，式（4）分離變量后可得

式（6）所示的二階常微分方程具有通解

式（7）中，C1、C2由初值條件決定。 由式（7）可以看出，Xe原子磁矩的橫向與縱向強度都以指數形式趨近于穩態，它們達到穩態的時間受橫向和縱向的弛豫強度、鎖相環輸出相位以及橫向激勵磁場強度的影響，且弛豫越強，達到穩態越快。

由上述包含轉動信息的Xe原子核磁矩產生的磁場信號可被NMRG中的內嵌Rb原子磁力儀探測，實現磁力儀功能的Rb原子電子自旋磁矩滿足如下動力學方程

式（8）中，S＝［SxSySz］T為 Rb 原子自旋磁矩，S0為光泵浦與弛豫作用下Rb原子的穩態自旋磁矩，ΓA1和ΓA2分別為Rb原子的縱向與橫向馳豫強度，γRb為Rb原子的旋磁比，Bx、By、Bz分別為系統感受到的x、y、z三個方向的磁場分量。在NMRG內嵌磁力儀中，Bz＝B0＋Bccosωct，Bx與By為探測到的Xe原子橫向核磁矩產生的磁場。與Xe原子磁矩處理方法類似，令S＋＝Sx＋iSy， 可得

Jn為n階第一類Bessel函數，化簡后可得

實驗時，通常只對Sx的特定模式進行測量，將正負頻合并后有

進一步，由Faraday旋光效應，沿x方向線偏振探測光的偏振面轉動角度θ與Rb原子沿x方向的磁矩Sx，n，p≥0成比例［18］

式（14）中，nAσ0為氣室光學深度的倒數，L為氣室特征長度，W為光躍遷線寬，Δ為共振偏移，P∞對應探測光的圓偏振二色性。實際測量時，是將通過氣室后的線偏振探測光再通過一個偏振分光棱鏡（PBS），利用通過棱鏡后的光強來測量探測光偏振面的改變

式（15）中，I1、I2為PBS后光電探測器探測到的兩束光強，I0為通過氣室后的探測光光強，θ0為探測光的初始偏振面夾角。測量時為抑制共模噪聲，采用平衡探測的方法。調節探測光路，使θ0＝45°， 于是有

若進一步取共振條件ωc≈γRbB0， 式（16）與cosωct解調后，可得最終測得的光強信號

再代入式（5）的穩態結果后，可得NMRG的最終輸出理論模型

由式（19）可知，陀螺最終輸出信號與探測光強、氣室大小、探測光頻率、Rb與Xe的弛豫強度、極化強度、磁場大小頻率以及鎖相環相位等諸多因素有關，這些參數的任何非理想波動都會對陀螺信號造成影響。另外，需要注意的是，式（19）沒有考慮實際鎖相環的延遲，且對Xe原子磁矩采用了穩態近似。

2 仿真模型

根據上節理論分析，可以建立NMRG仿真模型，其程序流程如圖2所示。

首先，為了進一步在仿真模型中考慮Xe原子核磁矩與鎖相環的實時特性，需要對決定Xe原子核磁矩運動的Bloch方程進行時間離散化。考慮任意離散化后的時間微元，可以認為微元內除了核磁矩外其它物理量保持不變，于是有Bloch方程

求高階導數分離變量后可得

圖2 NMRG仿真模型程序流程圖Fig.2 Program flowchart of NMRG simulation model

常數 {c1，c2，…，c9}由初值條件決定。不失一般性，進一步假設時間微元內的初值條件K0＝［Kx0Ky0Kz0］T， 由式（20）可得

將式（23）的微分方程通解簡記為K＝H＋c1ex1t＋c2ex2t＋c3ex3t， 其滿足初值方程

代入初值K0＝［Kx0Ky0Kz0］T及式（25）、式（26）后，即可得到一個時間微元內Xe原子核磁矩的運動情況。

對于現實中一段時間內實時改變的物理量，可以先將其對時間微分，利用以上諸式考慮單個微元內的核磁矩運動，再將運動后的磁矩作為下一微元核磁矩運動的初值條件，進而得到任意時變物理量下的核磁矩運動情況。

然后，由式（17）可知，Xe核磁矩產生的磁場可被Rb磁力儀探測，并最終轉換為光檢信號輸入到信號處理系統。這里，仿真模型處理Rb磁力儀信號沒有采用時間離散化的方法，而是直接采用了式（17）的解析結果。這是因為Rb原子弛豫時間比Xe原子弛豫時間短得多，在Xe原子核磁共振特征時間范圍內可以認為Rb原子磁矩能夠實時達到平衡狀態。

最后，類似式（19）的光檢信號通過鎖相環測得Xe核磁矩進動相位后，再通過橫向激勵場Ωx＝γXeB1cos（φ-β）反饋給Xe原子核磁矩的動力學系統。仿真時采用一個典型的二階鎖相環，其原理如圖3所示。

圖3 二階鎖相環原理Fig.3 Principle of second-order PLL

與前面理論分析不同的是：前面認為鎖相環響應沒有時延，能夠及時得到核磁矩相位；而這里仿真用到的實際鎖相環對相位的跟蹤具有有限的跟蹤速度。在仿真模型中，設置鎖相環參數K1、K2， 如表1所示。由圖4可知，此時鎖相環能在1s內跟蹤1Hz的頻率突變，鎖相環性能能夠基本滿足陀螺需求。為了更貼近實驗，這里及后文的仿真都采用Labview程序進行。

表1 陀螺仿真參數Table 1 Simulation parameters of gyroscope

圖4 鎖相環對1Hz階躍信號的響應Fig.4 PLL response to 1 Hz step signal

利用如圖2所示的仿真模型，按表1設置仿真參數，對未出現的參數進行歸一化處理，并令時間微元長度為1ms，即程序運行的采樣率為1kHz，可得陀螺輸出信號頻譜分析結果，如圖5所示。

由圖5可知，陀螺輸出信號頻率在118.6Hz左右，信號幅度約為0.01V。同時，由于計算誤差，陀螺信號中存在較小的噪聲基底。根據陀螺信號，可以計算得到此時陀螺基于Allan方差的角隨機游走、零偏不穩定性基本性能指標，具體如表2所示。

表2 各種來源噪聲對陀螺性能的影響Table 2 Effects of noise from different sources

3 噪聲分析

NMRG實際工作時主要受到磁場、激光、溫度以及信號處理系統時鐘頻率的影響，故下面利用仿真模型分別考慮磁場B0、 探測光強、溫度以及由時鐘頻率引起的鎖相環相位噪聲對陀螺信號及性能指標的影響。為了便于比較，且考慮到一般儀器精度，下面將各種來源的噪聲都統一為初始設定值為1×10-5的均方根幅度、0Hz～500Hz帶寬的均勻白噪聲。

3.1 磁場B0噪聲

對于磁場B0噪聲，可能來自于產生磁場的線圈電流波動，也可能來自于外磁場波動。由表1可知，B0＝10μT。 因此，1×10-5的噪聲幅度對應磁場為0.0001μT，其噪聲譜如圖6所示。

圖6 磁場B0噪聲譜Fig.6 FFT spectrum of B0noise

此噪聲通過仿真模型后產生的信號噪聲譜如圖7所示。

圖7 磁場B0噪聲下的陀螺信號譜Fig.7 FFT spectrum of gyroscope signal with B0noise

由圖7可知，磁場的均勻白噪聲對陀螺信號118.6Hz附近影響更大，這可能來自于鎖相環鑒相（PD）濾波器的影響。此外，陀螺噪聲對低頻的影響略大于高頻，且對信號幅度本身沒有顯著影響。如此噪聲對陀螺指標的影響如表2所示，可以看出，其對角隨機游走、零偏不穩定性都有嚴重影響。

3.2 探測光強噪聲

為了簡便，這里只考慮了探測光強噪聲的影響。由于探測光強已采用歸一化參數，其具體噪聲譜如圖8所示。

此噪聲通過仿真模型后產生的信號噪聲譜如圖9所示。

圖8 探測光強噪聲譜Fig.8 FFT spectrum of detection intensity

圖9 探測光強噪聲下的陀螺信號譜Fig.9 FFT spectrum of gyroscope signal with detection intensity noise

由圖9可知，探測光強的均勻白噪聲對陀螺信號各頻段的影響相同，且對118.6Hz信號幅度本身沒有顯著影響。如此噪聲對陀螺指標的影響如表2所示，其對角隨機游走、零偏不穩定性的影響都比磁場B0噪聲小了3個量級左右。

3.3 溫度噪聲

溫度噪聲主要通過Rb原子密度對陀螺信號造成影響，Rb原子密度的改變會影響Rb原子的極化率、極化磁場、弛豫時間以及Xe原子的極化率、弛豫時間等多種因素。這里溫度的影響主要考慮式（2）中Rb原子極化磁場bKSS的影響，具體參數可參考文獻［19］。其余極化率、弛豫時間等的影響，這里只取了簡單的比例關系。一般Rb-Xe的NMRG運行時，溫度需要保持在100℃左右，1×10-5的溫度波動相當于1mK的溫度波動，其噪聲譜如圖10所示。

圖10 溫度噪聲譜Fig.10 FFT spectrum of temperature noise

此噪聲通過仿真模型后產生的信號噪聲譜如圖11所示。

圖11 溫度噪聲下的陀螺信號譜Fig.11 FFT spectrum of gyroscope signal with temperature noise

由圖11可知，溫度的均勻白噪聲對陀螺信號各頻段的影響相同，且對118.6Hz信號幅度本身沒有顯著影響。如此噪聲對陀螺指標的影響如表2所示，其對角隨機游走、零偏不穩定性的影響介于磁場B0噪聲與探測光強噪聲之間。

需要注意的是，真實系統中溫度的擴散傳播都需要一定的時間，而不是這里仿真模型中簡單的參數改變，故真實系統對溫度噪聲的響應應該具有一定的低通特性。要更加準確的考慮溫度的影響，需要通過有限元方法考慮溫度的空間分布與傳遞，這已超出了本文所建立模型的范圍。

3.4 鎖相環相位噪聲

真實陀螺信號處理系統的時鐘頻率也可能會有波動，這里將時鐘頻率的波動簡化為式（25）中鎖相環反饋相位β的波動。時鐘每秒1×10-5的波動對于頻率118.6Hz左右的信號可以等效為0.427°的相位波動，此時的相位噪聲譜如圖12所示。

圖12 鎖相環相位噪聲譜Fig.12 FFT spectrum of PLL phase noise

此噪聲通過仿真模型后產生的信號噪聲譜如圖13所示。

由圖13可知，鎖相環相位的均勻白噪聲對陀螺信號118.6Hz附近影響更大，且以此頻率為界，噪聲對低頻的影響略低于高頻。此外，鎖相環相位噪聲也使陀螺信號幅度有明顯下降。如此噪聲對陀螺指標的影響如表2所示，與其它來源噪聲相比，其對角隨機游走、零偏不穩定性的影響最為嚴重。

圖13 鎖相環相位噪聲下的陀螺信號譜Fig.13 FFT spectrum of gyroscope signal with PLL phase noise

4 結論

本文首先在現有理論基礎上，比較全面地考慮了NMRG中理想鎖相環作用下的Xe原子敏感角速度的動力學方程、Rb原子磁力儀動力學方程以及基于Faraday旋光效應的平衡探測等內容，并構建出比較完備的陀螺信號理論模型。然后，在此理論模型基礎上，結合時間離散化與解析求解等方法，在非旋波近似條件下建立起能夠充分考慮NMRG動態特性的仿真模型。最后，利用該仿真模型重點研究分析了鎖相環相位、磁場B0、溫度以及探測光強在1×10-5幅度下均勻白噪聲對陀螺信號的影響，發現它們對角隨機游走、零偏不穩定性影響依次減小，且都具有自身獨特的頻率響應特性。在實際應用中，可以根據這些特性尋找主要噪聲來源。

需要注意的是，本文的溫度影響沒有考慮實際溫度傳遞擴散時間。可在進一步研究中將模型拓展為有限元模型，從而可以更加準確地研究溫度以及其它物理場對陀螺信號的影響。此外，本文也未考慮雙同位素的影響，但雙同位素影響可在本文基礎上簡單拓展實現。實際上，雙同位素可以有效抑制時鐘頻率波動或鎖相環相位波動對陀螺信號的影響。