基于Kriging代理模型的異形鋼桁架橋有限元模型修正

丁曦，王佐才,2

（1.合肥工業大學土木與水利工程學院，安徽 合肥 230000 2.土木工程防災減災安徽省工程技術研究中心，安徽 合肥 230000）

0 前言

近些年，有限元分析得到廣泛應用，但是由于受到有限元模型的網格劃分、邊界條件和材料物理參數等不確定性因素的影響，建立的有限元模型與真實結構始終存在一定的差異，因此需通過試驗數據加以修正，使其盡可能接近實際結構。

關于有限元模型修正的方法可以分為三類，即直接類修正算法[1]、迭代類修正算法[2]和基于智能優化技術的修正算法[3]。直接類修正算法是從結構振動微分方程出發，通過直接修改結構剛度與質量矩陣中的元素達到模型修正的目的，但由于修正后的參數物理意義不明確，此類方法已不常用。迭代類修正算法目前主要運用在非線性結構問題中，在實際選擇參數方面會更加的靈活，但是在實際運用過程中存在計算量巨大的問題無法解決。

在實際運用有限元模型計算的過程中，由于直接調用有限元軟件進行模型修正存在著計算效率低、不方便二次開發等缺點，學者提出了采用代理模型并結合智能算法進行模型修正的方法，此類方法可以克服修正過程中大量調用有限元模型計算繁瑣的不足。目前常用的代理模型包括響應面模型[4]、徑向基函數模型與Kriging代理模型等。

其中，Kriging代理模型方法[5]也稱空間局部估計法，由南非地質學者Krige于1951年提出，最初是用來確定礦產儲量分布。Sacks[6]等第一次將Kriging方法應用于結構設計。Rom ero[7]等將其應用于求解結構可靠度問題中。Kriging代理模型是一種半參數化的插值模擬建立模型的方法，考慮設計變量在空間上的相關特性，利用某一點周圍信息模擬某一未知點的響應等信息[8]。

本文以濱湖路鋼桁架橋為研究對象，選擇橋梁結構的參數作為修正對象，基于Kriging代理模型和橋梁荷載試驗數據，以修正橋梁的有限元模型，使有限元模型更接近橋梁的實際情況。

1 Krig ing模型修正理論

1.1 Kriging模型

Kriging模型方法作為線性回歸分析的改進技術，由線形回歸模型與隨機過程相加組合而成，其基本形式為：

式中：x是維度為d的設計參數[x1，x2，…，xd]；y（x）為多項式模型；z（x）為正態分布函數，其不獨立但同分布；f（x）為類似響應面模型，可以根據需要選擇零階、一階及二階多項式，m是多項式的數目。

f（x）負責模擬全局近似計算，z（x）負責模擬局部近似計算。z（x）是隨機過程，其均值為零且協方差不為零。在Kriging代理模型中，由于z（x）這一隨機過程的靈活運用，其建立的代理模型具有很強的靈活性，這樣一來，模型可以更好的運用于求解復雜情況的非線性結構，解決了傳統基于多項式函數所建立的代理模型在精度上的不足。

z（x）的協方差矩陣具有如下形式：

式中：

R[R（ xi，xj）]為ns個樣本點中，任意兩個點xi、xj間的空間相關函數，其對模型的精度有主導作用，其核函數具有多種形式可以選擇，在實際運用過程中，高斯函數通?？梢缘玫捷^好的計算結果，其形式如下：

1.2 Kriging模型參數的確定

對于參數θk的估計，通常用已知結構響應的線性組合來估計，引入以下矩陣：

由上式可得出結構響應估計值的殘值：

若上式所示殘差的平均值為0，則得到的結構響應值則為無偏估計值，可得到下式所示關系：

可以求得結構響應估計值的方差為：

式中：r為相關矩陣R中的某一列。通過求解結構響應估計值方差的最小值，并使其滿足無偏估計的約束，可建立優化目標函數：

式中：λ為拉格朗日乘子向量，通過優化求解可得以下結果：

將上述結果引入結構響應估計值可得：

式中：空間相關矩陣R為：

上述兩式β*與σ2均是參數θk的函數，通過極大似然估計使擬函數取得極大值為：

求解關于以上優化問題，可得到參數θk的估計值，即可建立Kriging模型。

基于Kriging模型的有限元模型修正方法也屬于響應面方法的一種，通過不同函數建立的響應面模型其適用性也不盡相同，所以，就需要對所建立的響應面模型進行精度驗算。驗證響應面模型精度的方法有很多，如：殘差的正態分布檢驗、殘差的均值、EISE檢驗、R2檢驗[10]及相對均方根誤差(Root Mean Squared Error)[9]檢驗方法。在較為復雜的模型中，R2檢驗和相對均方根誤差(RMSE)檢驗可更好的檢驗模型精度。其數學表達式如下式所示：

相對均方根誤差(RMSE)：

判定系數：

式中：

y和yreg分別是設計空間上各點的真值和響應面模型的值為設計空間上各點真值的均值；N為設計空間上檢驗點的數量。相對均方根誤差(RMSE)的大小R2代表了響應面的精度，可根據實際情況確定，其值越接近0則表示響應面模型越精確。代表了響應面與真值之間的差值，其值在0～1之間，當其值為1時，表示二者完全一致。

2 初始有限元模型建立

2.1 橋梁概況

濱湖路橋位于宛溪河上，其主體結構為兩跨鋼桁架橋其跨徑為50+50m，主桁架采用雙片桁架，邊支點桁高為4.5m，中支點桁高為 17.5m。上弦桿線形為二次拋物線形式，主桁架下弦桿采用焊接整體節點結構形式，主橋橋梁橫斷面共33m，全橋材料為Q345qD鋼材。

橋型布置如圖1所示。

圖1 濱湖路橋橋型布置圖

2.2初始有限元模型的建立及計算結果

按照設計圖紙，使用有限元計算軟件M idas建立全橋有限元模型，上部結構采用Q345qD鋼材，設計強度200MPa，容重取，考慮到加勁肋、橫隔板、橫肋的重量，橋梁結構的自重系數取1.2。每側護欄取，每側燈柱取，橋面鋪裝取，人行道自重簡化成荷載：，人群荷載集度取：，汽車荷載取公路-Ⅰ級。

橋面系模型采用4片主梁，主桁架采用雙桁架模型進行分析，全橋模型均采用梁單元進行模擬。全橋共離散成1112個單元。其有限元計算模型見圖2所示。

圖2 全橋有限元計算模型

濱湖路橋理論計算自振頻率與振型 表1

表1給出利用有限元模型計算得到的結構前三階豎彎自振頻率與振型。

3 現場脈動試驗及結果

3.1 脈動試驗內容

脈動試驗主要測量主橋的自振頻率、振型和阻尼比。試驗選用壓電式加速度傳感器，記錄橋梁結構在環境激勵下，如風、水流、地脈動等引起的橋梁振動，然后對記錄下來的橋梁振動時程信號進行處理,并進行時域和頻域分析，求出橋梁結構自振特性。全橋共設置6個加速度傳感器測點，試驗中加速度傳感器測點布置如圖3所示。

對環境激勵下橋梁的響應信號進行多次功率譜的平均分析，可得到橋梁的各階自振頻率，再利用各個測點的振幅和相位關系，可求得橋梁各階模態相應的振型，利用幅頻圖上各峰值處的半功率帶寬或時域上的自相關確定各階模態阻尼比。利用脈動試驗測出全橋結構前三階豎彎振型以及頻率。

圖3 全橋脈動試驗測點布置圖

3.2 脈動試驗結果分析

圖4 1號測點加速度時程響應

圖5 基于SSI的豎向振動頻率穩定圖

濱湖路橋自振頻率與振型實測結果 表2

相關參數的初始值 表3

本文中，使用隨機子空間方法(SSI)方法，處理所采集的響應信號，識別結構的模態參數。圖4為1號測點的加速度時程響應。圖5為基于SSI的豎向振動頻率穩定圖。表2列出了該橋實測自振頻率以及振型圖。

4 有限元模型修正

4.1 Kriging代理模型建立的試驗設計

利用Kriging代理模型進行有限元模型修正，即通過隱式函數關系來表示隨機輸入變量與輸出變量之間的關系，并采用相關試驗來擬合假定的函數關系，利用其替代原復雜結構的有限元求解過程?；贙riging代理模型來進行有限元模型修正通過四個步驟來實現：①試驗設計，設計一定的試驗方案，確定結構的輸入與輸出信息；②確定Kriging模型的回歸模型與相關模型函數的具體形式；③建立代理模型，通過相應的數據擬合出響應面模型，并檢驗模型的擬合精度；④優化與預測，利用實測響應值與參數通過Kriging模型進行分析與預測，得到優化后的結構參數以及其對應的有限元模型。

基于上述理論，首先對橋梁脈動試驗進行分析，選定濱湖路橋結構相關參數作為修正影響因素分析。本文，選取結構的彈性模量、泊松比、線膨脹系數與容重作為需要修正的影響因素。選取結構的各參數的初始值如下表所示，在此基礎上，選擇相關參數變化空間為初始參數的0.75～1.25倍。表3為相關參數的初始值。

本文基于均值設計，樣本設定為U12（124），即4參數，12組樣本。表4和表5為12水平均勻設計表與12水平均勻設計表的使用表，均勻設計法可以很好的將參數分布在整個設計參數空間內，并且可以大大地減少試驗次數。

根據表6與表7均勻設計表及其使用表，設計如下12組Kriging代理模型試驗。

根據12水平均勻設計表及其使用表格，設計各組試驗，一共12組，通過改變設計的參數，利用建立的有限元計算模型，得到所需頻率值，其結果如表7所示。

12水平均勻設計表 表4

12水平均勻設計表使用表 表5

Kriging代理模型試驗設計 表6

4.2 代理模型的建立

通過上述均勻設計的樣本點作為已知信息輸入矩陣；將有限元計算軟件得到的相應頻率值作為輸出矩陣。由于實際工程問題中非線性問題程度較高，本文中回歸模型選用線性函數；對于相關函數方程的選擇，由于高斯函數相對于其他幾種相關函數優化模型的優化效果最好，本文中相關函數選用高斯函數。

運用M atlab軟件中的DACE工具箱構建Kriging代理模型，本文中，采用粒子群優化算法對參數進行優化，用確定的參數確定最優相關模型。

基于Kriging理論所建立的代理模型為一個隱式函數，在本文中不給出具體的函數表達式，僅以響應面圖形表示所建立的Kriging代理模型。圖6～圖8分別表示各主要結構參數與前三階固有頻率值之間的Kriging模型。圖(a)為彈性模量和泊松比分別與前三階固有頻率之間的Kriging模型，圖(b)為線膨脹系數和容重與前三階固有頻率之間的Kriging模型。

將前三階實測頻率輸入構建的Kriging代理模型中用于回歸預測，便可得到預測值，將預測所得的設計參數代入原有限元模型中以達到修正此有限元模型的目的。通過求解修正后的有限元模型便可得到修正后的理論振動頻率。預測參數值如下表8所示，表9給出了通過Kriging代理模型修正后的理論振動頻率與實測振動頻率以及修正前的原始有限元模型計算所得振動頻率。

由表9可知，經Kriging代理模型修正后計算所得結構頻率與真實值相差均在以內。

4.3 Kriging代理模型精度檢驗

驗證Kriging代理模型所得預測值的精度，本文引入前文所述的檢驗及相對均方根誤差(RMSE)對修正后的模型進行評估。表10表示了所建立的Kriging代理模型的精度計算值。

圖6 各主要參數與第一階固有頻率Kriging模型

圖7 各主要參數與第二階固有頻率Kriging模型

圖8 各主要參數與第三階豎彎頻率Kriging模型

設計試驗所得頻率值 表7

經Kriging代理模型修正后的參數值 表8

實測頻率與修正前后頻率結果對比表 表9

各階次Kriging代理模型精度分析 表10

從上表可知，相對均方根誤差(RMSE)值均很接近0，這表明所建立的Kriging代理模型與有限元模型計算值之間的差異很?。辉谥涤嬎阒?，各階次的Kriging代理模型精度的計算結果均在0.95以上，這表明建立的Kriging代理模型可以準確地描述系統輸入與輸出之間的關系。此時建立的Kriging代理模型已經可以很好的進行有限元參數優化。

5 結論

本文介紹了Kriging代理模型在有限元模型修正中的應用，并通過濱湖路橋實例說明Kriging代理模型結合有限元軟件在橋梁工程中的實際應用。

①舉例說明Kriging代理模型在橋梁工程中的具體應用，利用實際測量的橋梁結構動力特性去修正橋梁實際的結構設計參數，并驗證了修正后參數的具體物理意義；

②驗證了利用橋梁荷載試驗，建立Kriging代理模型優化原有限元模型方法的可行性，這種方法可以減小橋梁試驗對原橋梁結構的影響；

③通過對既有橋梁進行預測并與實測結果對比，結果表明，修正后的有限元模型可以更好的反映橋梁結構的真實情況。