環境激勵下鋼板組合梁橋模態參數識別

李超，王佐才、2，李德安

（1.合肥工業大學土木與水利工程學院，安徽 合肥 230000；2.土木工程防災減災安徽省工程技術研究中心，安徽 合肥 230000）

1 引言

隨著土木工程技術的快速發展，橋梁建設事業取得了長足的進步，但隨之而來的橋梁的安全狀況問題更加突出。在已建成和正在修建的橋梁工程中，急需采用切實有效的檢測手段進行安全評估，識別和控制損傷，防止災難發生。結構一旦發生損傷，必然引起其物理特性的變化，即結構模態參數的變化。一般情況下結構模態參數包括以下3個方面，即結構的阻尼比、結構的振動頻率以及結構各階模態的振型。此外，利用模態參數對橋梁結構進行損傷識別和安全評估具有十分重要的工程意義。

傳統的模態參數識別方法需要同時測得激勵和響應信號，但是在一些大型結構中無法施加激勵或者施加激勵成本很高，因此對結構在環境激勵下的模態參數識別尤為重要。環境激勵下橋梁結構的模態參數識別具有以下優點：①只需要根據結構在環境激勵下的響應信號就可以識別結構的模態參數，而且識別的結果能真實的反映結構的動力學特性；②無需額外施加激勵，不會對結構造成損傷。

本文以一座四跨連續鋼板組合梁橋為研究背景，利用設計院提供的結構設計圖紙建立了該橋梁的FEM模型，并通過環境激勵試驗測得結構的加速度響應，隨后利用SSI方法對加速度數據進行分析進一步得到橋梁結構的模態參數，接著提出了在SSI方法的基礎上，先利用離散解析模式分解將加速度動態響應分解為模態響應，再利用分解后的模態響應識別結構的模態參數，最后分別對比兩種識別結果和有限元分析結果，驗證了以上兩種方法的適用性，并從中可以發現，在加速度響應時程較短的工況條件下，基于離散解析模式分解方法可以顯著提高橋梁結構阻尼比識別的準確性。通過利用這兩種方法對環境激勵下的橋梁結構進行模態參數識別，可以深入了解橋梁動力特性，并且可以利用測試結果修正有限元模型，對于橋梁結構更好的維護和使用具有重要的意義。

2 基于環境激勵的模態參數識別理論

2.1 隨機子空間法

隨機子空間法（SSI）是一種典型的環境激勵下結構模態參數識別方法，系統的空間模型描述如下：

式中：xk為離散的時間狀態向量；yk為輸出向量；vk是傳感器誤差引起的噪聲，wk是處理過程和建模誤差引起的噪聲；矩陣A為離散狀態矩陣，矩陣C為離散輸出矩陣。假設wk與vk是均值為零的高斯白噪聲，同時，wk和vk的協方差矩陣Q、S、R滿足下式：

式中E為數學期望，δpq表示克羅內克算子（當 p=q時,δpq=1，當 p=q時,δpq=0），p和q是任意兩個時間點。

基于SSI的參數識別方法首先需要將系統輸出響應組成系統的分塊Hankel矩陣，接著對分塊Hankel矩陣的行進行投影得到行投影矩陣，最后利用SVD進行矩陣分解，經過一系列變換得到離散狀態矩陣A和輸出矩陣C，利用現有方法即可以得到結構的模態參數。

系統的離散狀態矩陣A可表示為：

式中：Λ＝diag（λ）i（i=1,2，…，n）；Ψ為系統的特征向量矩陣。

根據離散時間系統和連續時間系統的特征值關系，求出連續時間系統的特征值和特征向量：

式中：λi為離散時間系統的特征值，為連續時間系統的特征值。再根據模型特征值與系統的模態阻尼比ξ、固有頻率ω的關系：

得到系統的固有頻率和阻尼比。

系統的振型可由輸出矩陣C和特征向量矩陣Ψ得到：

2.2 基于離散解析模式分解的模態參數識別方法

2.2.1 解析模式分解

解析模式分解（AMD）是信號處理方法的一種，其主要目的是用來提取某段頻率范圍內的信號數據，一般情況下，對于實測試驗數據可利用AMD提取所關心的信號數據。AMD定理的相關描述如下：

假設原信號是x（t）由多個頻率的子信號組成，相應的頻率分量為（ω1，ω2，…，ωn）。原信號可被分解為n個子信號此時 x（t）可以被表示為：

如果x（t）中的每一個頻率分量滿足：ω1＜ωc1，ωc1＜ ω2＜ωc2…，ω（cn-1）＜ωn＜ωcn其中ωcp為選定的截斷頻率，則每個子信號分量可以表示為：

式中，表示對括號中的函數進行希爾伯特變換。理論的核心是利用選取的截止頻率提取結構振動響應信號中的低頻部分，且能夠由下式獲得：

因此，上式如同一個低通濾波器，濾掉了信號的高頻部分，通過了信號的低頻部分。

2.2.2 離散解析模式分解

由于解析模式分解方法是對于連續信號的推導，當信號為離散信號時，可能會導致低頻部分提取失敗。因此，為了能夠有效分析離散信號，在解析模式分解的基礎上進一步提出了離散解析模式分解（DAMD），DAMD定理描述如下：

對于一個具有N個樣本點的離散信號：x（1），x（2），…，x（i），…（i=0，1，2，…，N-1），離散信號的各個分量可以表示為：

式中ωp（q）表示信號分量xp在時間點 qΔt處的頻率，θp0為信號分量 xp的初始相位角。則式(10)的離散形式可以表示為：

如果在任意時間點qΔt處，都有ωp（q）≤ωs/4，則頻率滿足，

式中，ωs是離散時間序列的采樣頻率。ωK（1q）代表采樣頻率的第K1個分量，ωK（2q）代表采樣頻率的第K2個分量。

因此，解析模式分解的離散形式可以進一步表示為：

在上式中，對于解析模式分解的離散形式，分解信號S（i）包括低頻分量和高頻分量，為了消除高頻成分，進一步提出了兩步式AMD，并命名為DAMD，其步驟如下：

第一步：輸入信號 x（i）/2，選取合適的截止頻率，濾出信號S（'t）。

第二步：將第一步濾出的信號S（'t）作為輸入信號，選擇與第一步相同的截止頻率，濾出信號S（"t）。

通過疊加上面兩個公式，可以發現提取的低頻信號的頻率在任意時間點均小于截止頻率。

3 數值模擬

該連續鋼板組合梁橋跨徑為（4×35）m，主梁采用雙工字鋼板組合梁，組合梁橋面全寬26.5m，鋼梁中心線處的梁高為1.75m。主梁標準橫斷面如圖1所示。

圖1 主梁橫斷面圖（mm）

根據設計圖紙提供的截面尺寸，材料參數以及邊界條件，以SAP2000有限元軟件為平臺，建立該鋼板組合梁橋的有限元模型，橋梁有限元模型如圖2所示。

圖2 基于SAP2000建立的空間有限元模型

利用該軟件建立的空間有限元模型，進行模態分析,得到模型的前兩階頻率和振型，如圖 3（a）和（b）所示。

諸多材料記載，鏡湖處士方干早年熱衷于謀求功名。據《唐才子傳》：“干早歲偕計，往來兩京，公卿好事者爭延納。”[6]375但方干天生丑陋的相貌使他幾乎斷絕了仕進的希望。《鑒戒錄》記載：“有司議干，才則才矣，不可與缺唇人科名，四夷所聞，為中原鮮士矣。”[7]卷八在歸隱鏡湖后，方干并沒有放棄博取功名的努力。正因為鏡湖處于浙東政治中心越州，他希望通過干謁當時的權貴以獲得仕進的機會，并且為此補好了自己的缺唇，然而時運不濟終究沒有獲得仕進的機會。

圖3 橋梁模型前兩階豎向振型

4 環境振動試驗

通車前為了全面了解該橋的固有動力特性，對其進行了環境激勵下的振動試驗，主要測試在車輛激勵下橋梁結構的振動加速度響應。

為了能夠測得全橋縱向前若干階的頻率和振型，沿橋跨縱向共布置了15個測點，每個測點都布置了縱向加速度傳感器，測點平面布置圖如圖4所示。

圖4 橋面測點布置圖

運用加速度采集系統選擇在正常時段進行加速度數據采集，由傳感器拾得環境激勵下橋跨結構振動加速度信號,采樣頻率100Hz，其中C6測點的加速度時程響應如圖5所示。

為了研究前文兩種方法識別結構模態參數的準確性，本文一共考慮了四種工況。工況一：使用SSI方法直接分解時長20s的加速度響應信號，識別結構的模態參數。工況二：使用SSI方法直接分解時長100s的加速度響應信號，識別結構的模態參數。工況三：基于離散解析模式分解方法，采用20s的加速度響應時程，識別結構的模態參數。工況四：基于離散解析模式分解方法，采用100s的加速度響應時程，識別結構的模態參數。

模態參數識別結果

圖5 C6點加速度時程響應

工況二中，對傳感器采集到的加速度信號經過濾波，降噪處理后，采用隨機子空間法對其直接進行參數識別，得到橋梁結構基于SSI方法在豎向振動下的頻率穩定圖，如圖6所示，在信號穩定圖中選取穩定點，并使所選取的穩定點的阻尼比小于5%，得出的梁橋的一階豎彎頻率為 2.67Hz，二階豎彎頻率為8.04Hz。工況四中，利用離散解析模式分解，可以有效的將動態響應分解為模態響應，得到的結果如圖7所示，通過識別分解后的模態響應，得到梁橋的一階豎彎頻率為 2.64Hz，二階豎彎頻率為8.05Hz。工況一和工況三的識別步驟分別同工況二和工況四。

圖6 基于SSI豎向振動頻率穩定圖

圖7 模態響應圖

圖8 結構振型圖

四種工況下橋梁固有頻率和阻尼比的識別結果如下表所示。

以工況二為例，其相應的振型圖如圖 8（a）和（b）所示。

將基于DAMD方法識別的橋梁固有頻率同直接使用SSI法和有限元計算結果對比，可以發現，四種工況下所確定的橋梁固有頻率基本一致。但是，工況一中識別的結構阻尼比與其他三個工況識別結果相比差別較大，也就是說，通過SSI方法確定的結構阻尼比與加速度響應時程的長度有關，時間歷程短會導致阻尼比的識別結果出現較大誤差，與工況四的識別結果相比，SSI方法識別的阻尼比最大誤差為50%。同時，基于DAMD方法所確定的結構阻尼比，在加速度響應時程較短的工況下，其識別的結果仍具有較高的精度。

根據工況二得出的一階與二階豎彎振型結果，和前文中基于有限元軟件得到的一階和二階振型圖比較，發現形狀吻合，這說明利用SAP2000有限元軟件推導梁橋的振型以及頻率都是真實可行的，也說明了利用基于DAMD方法可以有效的將結構的動態響應分解為模態響應，分解后的模態響應可進一步用于模態參數識別，結果表明該方法能夠較好的識別梁橋的工作模態參數。

5 結語

本文研究了基于環境激勵下鋼板組合梁橋的模態參數識別方法，分別采用了隨機子空間法和基于離散解析模式分解方法對橋梁結構的模態參數進行識別，將識別的結果同理論值進行對比，得到以下結論：

①SSI法和基于DAMD方法識別出的橋梁結構的固有頻率和理論值誤差結果較小，表明兩種方法對該鋼板組合梁橋固有頻率的識別效果良好；

②基于DAMD方法對橋梁結構阻尼比的識別精度高于SSI法，特別是在加速度響應時程較短的工況下，利用DAMD方法可以顯著提高橋梁結構阻尼比識別的準確性。