精心設計核心問題　發展學生思維能力

藍曉君

[摘? 要] 發展學生的核心素養是教學的目標，發展思維能力，是提高核心素養的重要途徑，而課堂教學的每一個環節通常都蘊含著一個解決問題的過程. 問題的有效設計是發展學生思維能力的關鍵. 因此根據教學目標設計學生思維的發展點，以問題的有效設計把目標落實在課堂中，推進核心素養的發展是教師每天要面臨的任務. 現以“直角三角形相似復習”為例，對教學發展學生思維能力轉化為落實有效的核心問題的這一策略，進行闡述和分析.

[關鍵詞] 核心問題;思維能力;直角三角形相似;學科素養

問題是數學的心臟，以有效的核心問題設計為載體，發展學生的數學思維，是每一節課中落實核心素養重要的做法. 所謂的“核心問題”也可以稱為“核心任務”，它是一節課或某一個板塊環節中“牽一發而動全身”的中心問題. 這個問題是課堂教學的一條主線，它既能激發和推進學生主動活動，又能整合現行教材中應該學習的重點內容，為學生打開一道自主探究的通道，使之在教師的引領下充分展開高層次的思維過程，以實現知識的自主建構和能力的合面發展[1]. 下面筆者以一節復習課的設計，來闡述自己的想法.

暴露學生思維層次，預測學生思維的最近發展區

“選擇”是思維能力的重要體現. 為了客觀、系統地分析好學生學習起點狀態，可結合學生實際在課前設計的預習作業. 對比學生不同的解法，滲透優化解題的思想，讓學生懂得如何“選擇”. 同時可以預估學生思維的最近發展區域.

核心問題一頭連接著核心內容、核心目標，另一頭連接著學生. 因此，設計核心問題的基礎是正確地預測學生的知識水平和最近發展區域.

下面是本節課的例2，考慮到本節課的教學容量和例題本身的經典性、難度性，特將此例題設置為課前預習，以便檢測學生原有的知識水平、技能等. 檢測結果發現正確率很高，但很多學生耗時很長！例2如下：

如圖1，在△ABC中，∠C=90°，AC=4厘米，BC=5厘米，點D在邊BC上，且CD=3厘米.現有兩個動點P，Q分別從點A和點B同時出發，其中點P以1厘米/秒的速度沿AC向終點C運動，點Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向終點C運動.過點P作EP∥BC交AD于點E，連接EQ.設動點運動時間為t秒（t > 0）.

（1）連接DP，經過1秒后，四邊形EQDP能夠成為平行四邊形嗎？請說明理由.

（2）連接PQ，求證：PQ∥AB.

（3）當t為何值時，△EDQ為直角三角形？

學生的學習需求表現為解法優化的指導，解法的優化性也確定為本節課要解決的關鍵問題. 故上課的引入環節設置為練習分析，大致環節如下：

（1）從整體上分析課前作業的完成情況，展示大多數學生的第1小題的解題過程并整理解題思路后，展示、分析其他班學生的解法，暴露學生的思維層次：

師：我們完成本題的最快時間為20分鐘，而其他班同學用了不到10分鐘.

提問：哪一種更簡潔？為什么？

生：第二種，短！

師：短就是書寫簡潔，優化解題;利用相似法求線長時還要證相似，而三角函數法則可直接計算. 其實它還有一個好處：關系簡單！相似是在兩個三角形中找對應關系，三角函數是在一個三角形中找！本小題做錯的同學恰恰錯在：利用相似找對應邊時，對應邊順序比錯了！

練習鞏固：

已知在Rt△ADC中，DC=3，AC=4，EP⊥AD.

①若AE=4，則AP的長為多少？

②若AE=4-t，請用t的代數式分別表示AP的長.

（2）展示并分析問題3的解題過程：

比較得出：能用一次方程解決的問題，盡量不要用二次方程解決.

師：這個題除了這么解答外，還可以這么做！看看其他班同學的解答：

教師引導學生再一次感受用三角函數解答的簡潔性！

思考：三角函數法與相似法是兩種不同的解法嗎？

師：回顧昨天的解題過程，我們得到怎樣的一些解題經驗呢？

優化解題思路：①能用一次方程解決的問題，盡量不要用二次方程解決. ②優化解題思想，時間成本就是分數成本. 直角三角形相似與三角函數都是解決數學問題的常用工具，他們在解題本質上是一致的. 但三角函數格式更簡單，解法更簡潔、更直接.

重組教材，設計核心問題，發展學生思維

“直角三角形相似復習”這一課，安排了3個較難的例題. 如果按復習導引順序進行例題教學，那么學生將疲于應付，只能“走馬觀花”，不讓他們自主將知識進行內化，因此筆者重組教材，精心設計核心問題，提高課堂效益.

重組教材，在設計核心問題之前，教師首先應站在命題思考的高度，認真研讀考試要求. 其次，從整體把握考試要求與課本三大例題的聯系，用心揣摩教材編者的意圖，對三大例題進行全面的解讀，以便精準地把握本節課的重點及難點，設計出合理明確的教學目標. 本節課的核心任務為：如何在復雜圖形識別直角三角形相似，將它作為一種工具，幫助我們解決問題，并體會轉化的思想和培養優化解題的能力.

尋找到恰當的切入口重組教材是設計核心問題的有效方式. 數學知識是一個動態的發展的知識體系，由于學生的差異性，在教學中需要尋找到恰當的切入口拓展或重組教材. 課本例1的第2小題的難度系數很大，一般的學生根本無法解答. 為了能有效地調動學生主動參與學習的積極性，使他們能完成知識的自主建構，突破本節課的核心問題，即把相似作為一種工具.

如何在以直角三角形為背景下的復雜圖形中幫助我們解決問題，特挖出例題中隱含的直角三角形（即分別延長AE，BC交于一點G，則△ABG為直角三角形），教學實錄大致如下：

1. 在學生已有的知識點附近，設置適度的開放題

問題一：已知在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，點E從B出發，以每秒1個單位的速度向終點C運動，連接AE，設動點運動的時間為t，請大家鎖定△ABE，你能提出怎樣的數學問題？

這是在重現例2所隱藏的直角三角形后設置的一個開放題，起點較低. 其目的除了能有效地向學生展示他們最熟悉的知識點，讓他們有足夠的空間去憑借自己的知識經驗設計問題、解決問題.

（1）當t為何值時，△ABE是等腰三角形？

（2）當t為何值時，AE平分∠BAC？

雖然這兩個問題較為簡單，學生能較快解決，但教學中注意強調以下幾點：

（1）注意基本圖形的提煉. 例如，等腰三角形→角平分線.

（2）體現轉化思想，例如，等腰三角形中可將腰的數量關系轉化為底的數量關系;角平分線中可將角的關系轉化為線段的數量關系，幫助學生將知識自主建構.

師梳理總結：解決這兩個問題的方法有多樣，要注意強調方法的優化. 注意提煉解決這類問題的關鍵，即找等量關系，用方程思想解決問題. 并總結找等量關系常用方法，如勾股法、相似法、三角函數法等.

2. “轉化”與“推理”的問題設計，是發展思維能力的重要演繹

在問題一的基礎上，以AC為直徑作一個圓，得到如下問題：

問題二：已知在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，點E從B出發，以每秒1個單位的速度向終點C運動，連接AE，以AC為直徑作圓，分別交AB，AE于點D，M. 設動點運動的時間為t，隨著E點的移動，新產生的量，哪些量會變化，哪些量不會變化？請問：

（1）當t為何值時，點M是弧CD的中點？

可做適當提示：看到弧的中點，你想到了什么？

生：角等. 即∠EAC=∠BAE.

師：此問題就可轉化為哪個問題？

生：哦！就可轉化為前面的第二小題，即當t為何值時，AE平分∠BAC.

師：學數學，我們要善于聯想！如前面看到等腰三角形、角平分線就要想到它們的基本圖形;看到弧的中點，就要聯想到圓周角等. 善于聯想、善于轉化，你會發現原來復雜的問題就是由簡單的問題轉化而成的！

（2）當t為何值時，點D是弧AM的中點？

此問看似與上一問相似，其實難度提升了不少！但解決的策略與上題一致. 學生通過上一小題的解決會有模糊、不完整的思路，教師通過追問將其清晰化，如：

生：連接CD.

師：你為什么會想到連接CD？

生：因為弧相等就有圓周角相等;還有直徑所對的圓周角等于90°.

師：這里除了有角相等外，還產生了新的直角三角形，為此你們又發現此題還隱含著哪些基本圖形呢？

引導學生發現“母子相似”的基本圖形，由此得到∠EBA=∠BAE，感受題目是由問題一中的第一小題轉化而成，即當t為何值時，△ABE是等腰三角形？找到題目的“本質”，突破本節課的核心問題，即把相似作為一種工具，如何在以直角三角形為背景下的復雜圖形中幫助我們解決問題.

如果上課時間充足，可繼續解決下面的問題：求證EC=EN;求CN ∶ DN的值.

課堂核心問題的設計直接影響學生思維能力的發展，同時也影響課堂效率的高低，需要我們不斷地實踐與反思. 常常有老師會嘆息：“如何讓學生喜愛數學？”也有很多老師試圖用情境化的有趣引入等外部人文因素來促使學生喜愛數學，而忽略了學生在學習數學的過程，學生經歷的探究、深度思維、發現數學本身的“內在美”，然后獲得無法用言語描述的美妙的體驗. 設計有價值的核心問題，引導學生思考，感受數學內在魅力才是學生喜愛數學的決定因素.

期盼老師們都能根據教學目標和教學重難點，將內容設計成使學生覺得有趣、有意義、有挑戰性的核心問題，讓學生體會整體思想、轉化思想、方程思想等數學思想方法，體會數學的美妙. 達到以問題為載體，落實數學教學中發展學生思維這一核心任務，明確目標，實現學生學科素養的提升.

參考文獻：

[1]周建勛. 發展學生的思維能力是數學教學的核心任務——2018年無錫市數學中考試題選析. 中學數學教學參考，2018（26）.