初中數學實驗的實施意義及案例研究

王新華

[摘? 要] 開展數學實驗是數學課程標準的要求，它對于提高學生數學學習效率、培養學生解決問題能力、發現問題能力和創造能力等具有重要的意義. 為了充分發揮數學實驗的優勢，需要我們了解數學實驗的特點，堅持問題引領，突出學生主體，合理地運用信息技術手段，提高數學實驗效能. 實驗設計既要注重知識復現型實驗，又要開展問題探究型實驗，并將數學實驗與數學教學內容有機結合起來，從而不斷地提高數學實驗的有效性，讓學生逐步學會數學學習，不斷經歷、體驗知識形成的過程，享受創造的成功體驗.

[關鍵詞] 數學實驗;實施意義;案例研究

初中數學實驗的實施意義

數學實驗是數學教學的一個有機組成部分，一般采用測量、手工操作、制作模型等形式. 數學實驗的開展，改變了初中數學課堂模態，讓數學課堂從靜態轉向動態，也推動了數學實驗實施方式的革命，體現出積極的意義[1].

1. 數學實驗是數學教學的一種有效方法

數學實驗實施的過程中，需要學生進行細致入微的觀察，這樣才能得出實驗的結果，而且突出學生實驗主體地位，使學生在數學實驗中獲得深刻的體驗，因此無論是對于數學教師的教學，還是學生的數學學習，數學實驗都是有效的方法之一.

2. 數學實驗是解決問題的最具體手段

觀察和實驗（又稱嘗試，對數學學科而言似乎稱為嘗試更適合），它是發現與解決問題的最形象、最具體的手段之一. 然而，長期以來，有人認為數學是高度抽象和邏輯性極強的學科，不需形象和具體的思考和操作，推理證明才是數學的主旋律. 事實上，這種印象是片面的，越是抽象和復雜就越需要形象和具體的輔助與配合. 因此，開展數學實驗、進行細致的實驗觀察具有重要作用. 20世紀最偉大的數學家約翰·馮·諾依曼（L·J·VonNeumann）指出“大多數最好的數學靈感來源于經驗”. 從數學發展的意義上來說，數學作為一種源于社會實踐的理性構造的學科，當它遠離實踐的經驗之源而發展時，就會逐漸分化成為眾多而又無前途的支流. 唯一的解決方法就是使其回到本源，返老還童. 這種觀念，是數學家對數學的一種本質認識. 在數學學習與研究過程中，通過觀察與實驗，學生不僅能收集新材料和獲得新知識，探究和解決新的問題，而且常常通過觀察和實驗導致數學的發現與理論的創新[2].

3. 數學實驗是發現和創造的必然路徑

數學知識的發現和數學創造性活動，離不開數學實驗. 從數學實踐來看，數學實驗主要體現出如下層次：第一層次是獲得數學新知識，強化學生數學知識習得;第二層次是借助數學實驗驗證新知識、數學理論，從而實現數學知識的自我消化吸收;第三層次是解決實際問題，學生通過數學實驗嘗試運用數學知識去解決生活中的實際問題;第四層次是創造. 例如，尺規作圖一直是一個實驗的過程，人類會作正三角形、正五邊形和正十二邊形，但是在作正七邊形、正十一邊形和正十七邊形時卻遇到了極大的困難. 這個歷史難題被高斯在大學一年級時解決了. 當高斯告訴他的老師時，據說老師不相信，竟把高斯趕出了家門. 高斯不僅在實驗的基礎上完成了正十七邊形的尺規作圖，而且還進一步證明了這個定理：凡邊數為費馬素數（即22n+1為素數）的正多邊形可用尺規作圖，當邊數是素數但不是費馬素數時，這樣的正多邊形不能用尺規作圖. 高斯的成功，不僅在于解決了正十七邊形的尺規作圖，更為奇妙的是，他把22n+1形的數與正多邊形的尺規作圖聯系了起來.

4. 數學實驗在信息技術發展下表現出更大的優勢

20世紀電子計算機的發展，為數學的實驗提供了更多的可能，實驗的過程是探索的過程，是發現的過程. 數學實驗是用來驗證舊知識、探求未知知識和獲取新知識的一種必不可少的手段. 計算機尤其是數學軟件給數學實驗提供了高效、準確、功能強大的實現方式，數學實驗借助現代信息技術手段的支持，如計算機技術和數學軟件，引導學生借助計算機和計算機軟件等，進一步提高學生的數學素養，表現出更大的優勢.

5. 培養學生的思維能力和創造能力

思維能力和創造能力是學生數學素養之一，這對于培養學生實踐能力和運用數學解決實際問題的能力意義深遠. 數學實驗的開展則有助于培養學生的思維能力和創造能力. 它能夠發揮粘合劑作用，將數學知識、數學建模、計算機的運用等，有機地融合起來，從而促進學生對數學知識、數學概念、數學公式等理解，而且能夠提高學生對數學軟件的掌握程度，促進數學知識和信息技術知識的有機融合，在跨學科之間建立起通道，提高學生運用計算機建模的能力，激活初中生數學創造能力.

數學實驗特點和基本類型

掌握數學實驗的基本特點，有助于我們根據數學實驗特點，提高數學實驗設計的科學性和有效性;掌握數學實驗的基本類型，有助于豐富數學實驗的種類，讓數學實驗從單一化走向多樣化，凸顯數學實驗效能.

1. 數學實驗的一般特點

通過對數學實驗進行歸納分析，數學實驗主要表現為以下幾個特點：

（1）以問題為載體.數學實驗的開展，一般會借助問題為載體，通過設計問題引導學生進行思考，進而通過數學實驗去驗證思考，獲取數學知識;其次，通過實驗尋求問題解決的路徑. 學生通過數學實驗，檢視方法和路徑的可行性.

（2）以學生為主體.數學實驗改變傳統數學教學現狀，不是由教師簡單的演示，而是讓學生去實驗，給學生創造動手、動腦、動嘴的機會. 教師發揮主導作用，對學生實驗的過程進行觀察，及時地給予適時的引導，最終促進學生數學素養的發展.

（3）以技術為支持.信息化時代，在初中數學實驗過程中，數學實驗改變傳統模式，善于利用信息技術優勢，主要是計算機技術和各種形式的數學軟件，從而使數學實驗更加直觀，使一些高難度的數學實驗的開展成為可能，大大地提高了數學實驗的有效性.

2. 數學實驗的基本類型

傳統數學課堂教學，陷入了程式化教學泥潭，主要是教師進行系統化的講解，學生被動接受，然后通過大量的練習加以鞏固，最后在借助復習和考試中加以強化，并檢視學生數學學習效果. 這種程式化的數學教學模式，顯然還處于教師一言堂的現狀，學生主體地位得不到充分的尊重，數學實驗則不然. 數學實驗在發展的過程中，實驗類型越來越豐富，有效地激發學生數學學習的積極性. 綜合當前實施的數學實驗，主要包括以下幾種基本類型：

（1）知識再現型.所謂知識再現型實驗，主要以復現知識為目的，屬于數學實驗的低級層次. 學生通過數學實驗，還原數學知識形成的過程，從而理解數學知識的意義，完成對數學知識的再現. 通過數學實驗，改變傳統數學知識教學現狀，變傳統的灌輸式教學為學生主動建構. 例如，初中數學“勾股定理”的教學，理解勾股定理是運用定理的關鍵，為了幫助學生理解這一定理，我們可以先介紹勾股定理的相關知識，包括起源、證明資料等，再給學生自主選擇的機會，學生通過數學實驗，親歷知識形成的過程，對勾股定理的理解就會更加深刻.

（2）問題探究型.這一類數學實驗以問題為驅動，以解決問題為目的，在教師的引導下，學生借助特定的問題情境，開展數學實驗，在實驗過程中，學生主動去發現問題，進行動手實踐，不斷將實驗推向深入[3]. 問題探究型教學設計指以問題探究為主要形式的教學設計，旨在通過問題探究形式使學生獲取知識，獲得體驗，掌握方法，發展能力. 這種類型的教學設計多適用于數學、自然、科學等學科. 數學問題探究型實驗，要充分發揮學生在數學實驗中的主動性，讓學生積極探究，才能達到實驗的目的. 因此，問題性和探究性是其鮮明的特征. 問題探究的有效手段可以是觀察、測量、實驗等動手操作的活動形式，也可以是調查、搜集等材料分析處理的形式. 這就要求教師在設計此類型的教學時，多采用活動的形式，以活動為載體設計教學.

問題探究型的教學過程一般分為以下三個階段：創設問題情境，誘發問題;多途徑活動探究;交流探究成果，形成技能.

作為一般數學實驗課，其學習方法是：

①確定問題，決定準備做什么，說明目的.

②思考解決問題的方法，制訂一個計劃，找出達到目的的不同方法.

③取得對于解題也許有用的材料，實現你的計劃，找出典型、關系和概括，想辦法發現，尋找不同方法，收集情況.

④得出結論，回答問題，解題，分析結論，陳述你的發現.

⑤分析和評價你的方法和過程. 比較不同的方法，評價你的發現，尋找你所發現的內容之間的關系.

例如，“等式性質”“不等式性質”以及“二元一次方程”等教學內容，可以利用天平實驗等，把天平置入教室，讓學生親眼所見，體驗這些性質的來龍去脈，將抽象的數學知識化解為具體可感知的東西，讓學生感到十分熟悉，讓學生感到這些數學就在自己的身邊.

初中數學實驗的案例

案例1? “無理數”教學實驗.

實驗器材：剪刀、邊長為1的正方形紙片2張、計算器等.

實驗過程：要求剪拼面積為2的正方形，小組合作. 提問：拼得的正方形面積為2，估計正方形的邊長大約是多少？在哪兩個整數之間？能不能用整數、分數等來表示？學生小組內開始操作. 能用分數表示嗎？

實驗結論：剪拼的面積為2的正方形邊長不是一個整數，也不能用分數來表示，但是這個邊長的確存在. 有理數之外還有一類數，引出概念“無理數”.

實驗小結：剪拼圖形操作相對而言比較簡單，拼出的正方形也比較美觀. 但是揭示所剪出的面積為2的正方形的邊長時，學生遇到了相當大的困難. 有的學生說邊長是2，教師讓學生用計算器驗證，結果面積是4;有的學生說邊長應該比2小，但是比1大，因為邊長為1的正方形的面積是1. 于是教師讓學生在小組內繼續用計算器進行驗證. 邊長分別為1.8，1.6，1.5等都不行，面積都比2大. 但當輸入邊長為1.4時，面積為1.96，比2小. 事實上找不到一個有理數的，使它的平方剛好等于2. 在學生倍感焦急時，強調無理數的出現，即=1.414…是一個無限的不循環小數.

當然，數學實驗離不開教師的有效指導. 例如，給學生提供圓規、量角器和作圖紙，他們就能發現平面幾何中關于平行線的定理. 下列的一般問題和建議可以作為他們探索的指導：①考慮兩條平行線和一條截線所構成的各角之間的關系;②你也許要用一個量角器度量這些角去比較它們，或者你可以作出由一條截線所截的平行線，然后用剪子把其中一個角剪下來，放在其他角上作比較;③當截線和其中的一條直線垂直時，你能得出什么結論？④假設不平行的兩條直線被一條截線所截，所構成的各角之間有什么樣的關系？⑤根據你的探索，你能否陳述什么命題？用它詳細說明了使直線平行所必須滿足的什么條件？ ⑥你是否認為你的每個命題的逆命題是另一個真實命題？

案例2? “四邊形的內角和”數學實驗.

實驗器材：形狀不同的四邊形紙片若干張.

實驗目標：驗證四邊形內角和是一個確定的值.

實驗過程：小組操作：小組一，撕下一個四邊形的4個內角，將其四個頂點拼在一起，觀察以頂點為中心的角的度數;小組二，沿四邊形的對角線剪開為2個三角形，觀察并思考2個三角形6個內角的和;小組猜測：四邊形的內角和是360°. 小組證明：將該題寫出已知、求證的題目、證明過程.

實驗結論：四邊形內角和是一個確定的值，即360°.

仍以“勾股定理”教學為例，在教學勾股定理之前，我們先不講解勾股定理，而是先讓學生操作一個實驗：利用數學幾何畫板，讓學生設計一個直角三角形，再引導學生分組開展學習活動，量出三角形的三條邊的長度;然后，讓學生拖拽三個頂點，在實驗過程中，要保持三角形的直角不變. 實驗結束后，讓學生對實驗數據進行比較，分析得出三角形的三邊的平方存在怎樣的關系. 通過學生的實驗，學生自然地得出了勾股定理，這一結論的形成，要比教師直接給出勾股定理的效果明顯.

再如，“相似三角形的應用”一課的教學，如果教師改變傳統數學教學思想，采用數學實驗的方式，讓學生設計一種方案，運用最少的工具，去測量出旗桿的高度. 在得出方案后，再借助數學實驗去驗證數學實驗方案的可行性. 通過數學實驗，不同能力層次的學生，基本上都能夠輕松地得出結論，而且參與數學學習的積極性會較大提高.

結語

總之，數學實驗是提高初中數學教學有效性、培養學生數學素養的重要路徑. 數學實驗設計過程中，教師要準確把握數學實驗的一般特點和基本類型，從而將數學實驗與學生學情實際有機地結合起來，借助學生既有的數學經驗和知識儲備，優化數學教學設計，通過“動手實驗──收集數據──分析數據──實驗思考──得出結論”等教學環節，在數學實驗過程中讓學生充分體驗數學認知的全過程，讓學生大膽地去質疑、去猜想，進而借助數學實驗去驗證、去引申，將數學教學推向一個新的高度[4].

參考文獻：

[1]李太新.? 談談數學實驗在中學數學教學中的作用[J].? 數學通報， 2001（10）.

[2]黎雁. “數學實驗”是提高學生數學素質的好方法[J]. 天津職業院校聯合學報，2002（04）.

[3]孫朝仁. 數學實驗：基于“做”的學習方式[J]. 江蘇教育，2016（10）.

[4]翟立安. 讓數學實驗成為數學思維的“催化劑”——談談數學實驗的必要性和有效性[J]. 中學數學，2009（14）.