試議小學數學教材“數學廣角”中的建模教學

孔凡貴

摘? 要：小學數學教材中增設了數學廣角內容，本文基于新課標簡要探討了模型思想的內涵及在教學中的滲透路徑，著重指出教師應特別重視數學廣角教學中模型思想的滲透，并以人教版六年級上冊數學廣角“確定起跑線”為例進行了探討。

關鍵詞：數學廣角;模型思想;教學心得

小學數學教材中增設了數學廣角內容，本文認為在數學廣角的教學中教師要特別著重模型思想的滲透，以下結合筆者的教學思考對此作一簡要探討，希望對一線教師有所啟示。

一、模型思想的內涵解讀及在教學中的滲透路徑

根據課標中的敘述，模型思想的建立“是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑，建立和求解模型的過程主要為從具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立表示數學問題中的數量關系和變化規律，最終求出結果”。通俗來講，模型思想就是利用書本上的知識來解決實際問題的，由此而言，模型思想的滲透是以實際問題為載體，除了在日常教學中多引入一些實際案例外，要特別重視數學廣角的利用，因為數學廣角都是關于實際問題的解決的，其內容中蘊含著典型的模型思想，設置數學廣角的基本目的也就在于培養學生利用所學知識解決實際問題的能力。然而很多教師往往認識不到這一點，從課標中對模型思想的解讀來看，在教學中，不但要使學生能夠解決具體的問題，還要使學生經歷建模的過程，同時教師注意揭示和強調實際問題中所蘊含的模型的實質，也就是普遍性的規律，這是滲透模型思想的關鍵所在，下面以人教版六年級上冊數學廣角“確定起跑線”為例來加以探討。

二、“確定起跑線”問題中蘊含的模型思想

“確定起跑線”是小學六年級上冊在學完圓的周長和面積知識之后的綜合與實踐內容。這個問題對學生的抽象思維和應用能力有較高的要求。

例：在運動會上，我們觀察到運動員總是站在不同的起跑線上。為什么運動員要站在不同的跑道上呢？因為終點相同，如果在同一起跑線上，外圈的運動員跑的距離比里圈的長，所以外圈運動員的起跑位置應該往前移。那么，不同跑道的運動員之間的距離應該相差多少呢？

解析：首先，抽象直觀圖形。跑道由兩條直段跑道和兩個半圓形跑道組成。兩個半圓形跑道合起來就相當于一個“圓形跑道”。已知直道的長度是85.96m，第一條半圓形跑道的直徑為72.6m，每條跑道寬1.25m，如下圖所示：

其次，理清計算思路。通過觀察以上直觀圖形，學生可以發現這樣的關系：每條跑道全長=兩條直道長度+“圓形跑道”周長。各條直道的長度都一樣，因此計算出每條“圓形跑道”的周長是關鍵。己知最里面第一條半圓形跑道直徑是72.6m，大圓和小圓的直徑之差是跑道寬度的2倍，那么第二條半圓形跑道的直徑為75.1+1.25×2=77.6m，第三條半圓形跑道的直徑為75.1+1.25×2=77.6m，依此類推。在計算出每條跑道的全長之后，跑道的全長之差就是每個運動員之間相差的距離。

然后，列表發現規律。列表法是發現規律的重要途徑和方法。本例中用到直徑、周長、全長三個變量和直道長度一個常量，列表計算如下：

學生計算并填表后（π取3.14159），就不難得出結論：每條跑道的總長相差，即不同跑道的運動員之間應相差7.85m。具體計算過程是：設第一條半圓形跑道的直徑是d1，第二條半圓形跑道的直徑是d2，第三條半圓形跑道的直徑是d3，則第一條跑道的全長為πd1+85.96×2=400m，第二條跑道的全長為πd2+85.96×2=407.85m。第二條跑道與第一條跑道長度的差為（πd2+85.96×2）-（πd1+85.96×2）=π（d2-d1）=3.14159×2.5=7.85。其他跑道全長之差的汁算方法依此類推。

最后，簡化計算過程。學生通過表格的方式很容及得到所需的結果，然而思維能力較強的學生在發現規律之后還能以更簡便的方式計算出結果，即用算出每條跑道的全長也能求出它們相差多少米。從上面的算式中可以得出：跑道之問的長度差實際上就是“圓形跑道”的周長差，即C大圓-C小圓=π（d大圓-d小圓）。由于大圓和小圓的直徑之差就是跑道寬度的2倍，用w表示跑道的寬度，即d大圓-d小圓=2w。將兩個式子合在一起就是C大圓-C小圓=2πw。在本例中，大圓和小圓直徑之差為1.25×2=2.5m，所以大圓和小圓的周長之差就是3.14159×2.5=7.85m，這個結果和上面表格中的計算結果是吻合的。所以，在計算起跑線上運動員的距離時，我們只需知道每條跑道的寬度就能很快算出結果，這大大簡化了計算過程。

結束語：

“確定起跑線”問題涉及小學階段的很多數學知識，如，圓的直徑、周長、四則混合運算律、字母表示數等，該問題最終可理解為高年級的同心圓知識，這些數學知識本身就是數學模型。學生解決該問題的過程經歷了抽象直觀圖形、理清計算思路、列表發現規律、簡化計算過程四個階段。整個探索過程需要學生具備一定的抽象思維能力、符號表達能力和直覺能力。學生通過列表計算最終得出的算式C大圓-C小圓=2πw就是該問題的數學模型，該模型可以說是“模型的模型”，整個解題過程體現了“異常精純”的數學模型思想。

參考文獻：

[1]張海燕. 數學建模思想在小學數學教學中的應用[J]. 現代教育，2015（10）.

[2]卓秀安. 小學數學教學中數學建模思想的構建[J]. 考試周刊，2018（2）：98-98.