FSAE賽車四輪轉向系統PID控制仿真

孫浩洋，趙鵬飛，馬超，戴偉恒

(1. 南京理工大學 機械工程學院，江蘇 南京 210096； 2. 北京理工大學 機電學院，北京 100000)

0 引言

隨著汽車工業的不斷發展，中國大學生方程式大賽對于FSAE方程式賽車的安全性、穩定性和性能的要求也不斷提高。作為提高賽車操縱穩定性、主動安全性的四輪轉向技術在這種背景下應運而生。研究發現，四輪轉向系統不僅在低速工況下能減小轉彎半徑，提升車輛的靈活性，在高速工況下對車輛的操縱穩定性也有顯著的作用[1]。四輪轉向賽車的前輪和后輪同時作為主動轉向輪，在轉向過程中，不僅前輪轉向，后輪也根據汽車的運動主動參與轉向，對汽車側向運動進行控制。四輪轉向賽車的控制目標是實現汽車質心側偏角為零[2]，提高賽車在轉彎時的操縱穩定性，減少賽車在比賽過程中滑出賽道的風險。

本文基于中國大學生方程式賽車四輪轉向系統，通過前人得到的滿足質心側偏角為零的前后輪轉角比例關系，建立服從阿卡曼轉向的四輪轉向模型。通過該模型求出后輪理論轉角值，并作為實際情況下電機執行系統的輸入值。然后建立電機模型，求出電機的傳遞函數，建立整體控制系統，并對其進行PID調節和仿真，分析結果，得出結論。最后得到一個完整的后輪轉向控制系統的整體模型。

1 后輪轉角理論值的求取

本文選用PID控制作為實際控制方法，輸入為后輪轉角的理論值，輸出為后輪轉角實際值，被控對象為電機的轉動圈數。傳感器分別為后輪左、右轉角的傳感器，傳遞函數將后輪轉角的理論值轉化為電機的運行時間。

1.1 左右后輪轉角理論值的求取

由Sano分析[3]可得后輪轉角的理論值為：

(1)

式中：?為后輪理論轉角 ；δ為前輪轉角；lr為質心到后軸的距離；m為整車質量；L為軸距；lf為質心到前軸的距離；kf為兩前輪的側偏剛度之和；u為車速；kr為兩后輪的側偏剛度之和。

現建立4WS車輛轉彎時的幾何模型，由此求出后軸左右輪的轉角。傳統的前輪轉向服從阿卡曼定理，使得4個輪胎做純滾動運動。同理，為了使四輪轉向汽車的4個輪胎同時做純滾動，可以近似地認為四輪轉向服從阿卡曼原理。因此可得4WS車輛轉彎時的幾何模型如圖1所示[4]。

圖1 4WS車輛轉彎時的幾何模型

圖1中：M為后輪距；R為最小轉彎半徑；L為軸距。

由幾何關系得：

(2)

(3)

即：

(4)

(5)

所以：

(6)

(7)

其中：?左1為滿足穩態側偏角恒為0的左后輪轉角值；?右1為滿足穩態側偏角恒為0的右后輪轉角值。

1.2 傳遞函數的求取

利用CATIA中的DMU空間運動分析模塊，建立簡化后的四輪轉向模型。簡化后的模型由后輪、轉向節、轉向橫拉桿、轉向節上下鉸接點、直線滑塊組成。采用直線滑塊替代電機和絲杠，省略了將旋轉運動轉化為直線運動的過程，直接由滑塊的直線運動驅動后輪轉向模型，節省建模時間，且不影響分析結果。在DMU模塊中設置后輪轉角，以滑塊的直線運動為驅動。因為滾珠絲杠的導程為2mm，即驅動滑塊運動2mm電機轉動一圈，設置滑塊運動距離為-10mm～10mm，設置步長為0.1mm，得到相應的后輪轉角度數，并將數據導出到Excel中，分析后輪轉角和電機轉動圈數的關系。

在Excel中由擬合數據得出后輪轉角和電機轉動圈數的函數關系為：

y=1.284 1x+0.097 9，

(8)

2 電機數學建模及PID控制策略推導

2.1 直流伺服電機數學模型推導

1) 電機轉矩與電流關系

設電機轉矩為T, 單位為N·m；電流為I，單位為A，其關系式：

T=Kt×I

(9)

其中Kt為力矩常數，單位為(N·m)/A。

2) 電機運動方程

設電機轉矩為T，單位為N·m，負載轉矩為Tf，單位為N·m，電機角速度為ω，單位為rad/s,電機角度(位置)為θ，單位為°(角度)，有關系式：

(10)

其中J為轉子轉動慣量,單位為kg·m2。

3) 反電動勢關系式

設電機反電動勢為e，單位為V，電機角速度為ω，單位為rad/s，有關系式：

e=Ke×ω

(11)

其中Ke為反電動勢系數，單位為(V·s)/rad。

4) 電機等效電路方程

依據伺服電機的工作原理，建立伺服電機的等效電路方程。設電機電壓為U，單位為V, 電感為L, 單位為H，電阻為R, 單位為Ω，電流為I, 單位為A，反電動勢為e，單位V, 有關系式：

(12)

2.2 電機模型的傳遞函數

將式(9)-式(12)進行拉氏變換，得到傳遞函數：

(13)

式中n為減速比。由于調節電流環時發現I(s)與U(s)傳遞函數含有反電動勢，不便于觀察穩態情況，故調節電流環時先采用不含有反電動勢的I(s)與U(s)傳遞函數：

(14)

2.3 電機控制模型框圖

根據式(13)、式(14)電機模型的傳遞函數，作出控制模型框圖，如圖2、圖3所示。

圖2 電機控制模型框圖(含反電動勢)

圖3 電機控制模型框圖(不含反電動勢)

2.4 電機系統傳遞函數

根據圖2電機控制模型框圖推導電機系統傳遞函數：

(15)

2.5 電機參數選取

根據電機參數表選取參數如下:

額定電壓U=24V；

轉動慣量J=0.285×10-4kg·m2；

線電阻R=0.19Ω；

線電感L=0.22mH；

力矩系數Kt=0.082(N·m)/A；

減速比n=10；

機電時間常數Tm=3.05ms；

速度限制=±3000r/min;

電流限制=±10A;

額定轉矩T=0.637N·m;

反電動勢系數Ke=5V/K·r·min-1=0.048 (V·s)/rad。

3 MATLAB/Simulink仿真

3.1 PID系數選擇

1) 搭建Simulink模型

根據圖3電機控制模型框圖(不含反電動勢)搭建Simulink模型，如圖4所示。

圖4 Simulink模型

圖4中Kfs為速度反饋系數；Kfp為位置反饋系數，其數值由PID輸出限幅及單位決定。

位置環PID輸出限制=±10rad/s，速度環PID輸出限制=±10A，電流環PID輸出限制=±24V。

2) 電流環PID調節

先考慮不存在反電動勢的情況，PID三項調節相互之間有影響，嘗試多組數值后，綜合考慮確定P=100，I=3500，D=0.08，波形如圖5所示，波形無靜差、無超調、調節時間大約為0.1s。

圖5 電流環仿真圖形

3) 速度環PID調節

經多次聯合測試調節及綜合考慮，確定P=600，I=0,D=0.05，輸出波形如圖6所示，無超調、無靜差、調節時間<0.1s。

圖6 速度環仿真模型

4) 位置環PID調節

經多次聯合測試調節及綜合考慮，確定P=5,I=0,D=0.0318，輸出波形如圖7所示，無超調、無靜差、調節時間<0.06s。

圖7 位置環仿真模型

3.2 電機模型整體性能測試

1) 電機模型含有反電動勢情況

在電流環PID調節時，為便于觀察穩態情況，電機模型中沒有加入反電動勢。電機位置環、速度環、電流環PID均已完成調節，此時加入反電動勢進行測試。其中：step為輸入finalvalue=10，steptime=0.1的階躍信號。

輸出波形如圖8所示，觀察發現此時波形接近前面幾圖的波形，即反電動勢幾乎沒有影響輸出波形，其影響可忽略(因本刊為黑白印刷，如有疑問請咨詢作者)。

圖8 含有反電動勢的整體仿真波形圖

2) 負載測試

在0.2s增加0.01N·m的負載，即圖中Tf為輸入finalvalue=0.01，steptime=0.2的階躍信號。

圖9 帶負載的整體仿真波形圖

輸出波形如圖9所示，觀察0.2s加上負載時，電流短時間內立即增加，負載不變后，電流穩定。

3) 動態跟隨測試

測試動態相應性能，參考位置輸入正弦信號，將圖中step換位Sine Wave，Amplitude=20，Frequency=10，觀察輸出波形如圖10所示，實際位置曲線比參考位置曲線延時<0.001s。

圖10 動態跟隨仿真波形圖

4 結語

通過仿真分析發現，此控制策略能夠有效地對后輪轉角進行實際控制，控制無超調，滯后時間極短，因此可以作為一種控制策略進行實驗分析和研究，而且此控制策略也是對大學生方程式賽車的一次大膽嘗試。