π/4-CQPSK信號的頻偏估計算法

牛景昌，周德強

(裝備工程技術研究實驗室，河北 石家莊050081)

0 引言

在無線通信中，由于多普勒頻移和本地載波誤差的影響，接收信號中存在頻偏和相偏，影響信號的相干解調，因此必須在載波同步中進行補償[1-3]。載波同步一般有2種方法：① 閉環方法[4-5]，用于對載波進行捕獲和跟蹤；② 開環方法，直接估計載波的頻偏與相偏，在解調時予以補償。一部分開環方法需要數據輔助[6-8]，例如Kay算法[9]、M&M算法[10]、Fitz算法[11]和L&R算法[12]等；一部分開環算法不需要數據輔助，而是通過非線性變換將調制信號轉化為單音信號，從而利用DFT進行頻偏估計[13]。

π/4-CQPSK是一種在QPSK基礎上發展起來的線性調制技術，在GEO-移動無線電接口(GEO-Mobile Radio Interface，GMR)中得到了廣泛使用[14-15]。在借鑒已有的QPSK信號頻偏估計算法的基礎上，提出了π/4-CQPSK信號的頻偏估計算法，并從理論上揭示了二者的不同之處，即四次方譜中譜線出現的位置不同。

1 信號模型

假設信道模型為加性高斯白噪聲(AWGN)信道，接收端經過了精確的定時同步，則接收的QPSK信號和π/4-CQPSK信號可以統一表示為：

xi=Aej(2πfeiT+φi+φ0+θi)+ni，

(1)

(2)

式中，i=0,1,2,…,N-1；ni是均值為0、雙邊功率譜密度為N0/2的復高斯隨機變量；A是信號幅度，fe是頻偏；T是符號周期；φi是QPSK調制的相位，由發送比特決定，具體的映射方式如表1所示，所以φi=mπ/2 ，m是整數，φ0是相偏，θi的取值如式(2)所示。可見，π/4-CQPSK調制方式的本質是在QPSK調制的基礎上對每個符號增加了iπ/4的相位旋轉。

表1 QPSK調制的映射關系

Tab.1 Relations of QPSK modulation

比特相位/(°)00001901118010270

2 算法原理

2.1 理論分析

根據文獻[16]，MPSK信號的非數據輔助的頻偏的最大似然估計為：

(3)

式中，M是MPSK信號的調制階數。式(3)的本質是利用xiM運算來去除調制信息，將其轉化為單音信號估計頻偏。

根據文獻[1]，接收信號xi可以表示為：

xi=Bej(2πfeiT+φi+φ0+φn+θi)，

(4)

式中，φn是相位噪聲；B是幅度噪聲。將接收信號進行四次方可得：

xi4=B4ej(8πfeiT+4φi+4φ0+4φn+4θi)。

(5)

由于φi=mπ/2，所以4φi=2mπ，式(5)可進一步簡化為：

xi4=B4ej(8πfeiT+4φ0+4φn+4θi)。

(6)

當信號是QPSK調制時，式(6)可簡化為：

yi?xi4=B4ej(8πfeiT+4φ0+4φn)。

(7)

當信號是π/4-CQPSK調制時，式(6)可以簡化為：

zi?xi4=B4ej(8πfeiT+4φ0+4φn+iπ)=

ej(iπ)B4ej(8πfeiT+4φ0+4φn)=

ej(iπ)yi。

(8)

由式(7)可以看出，QPSK信號的四次方yi可以看作是含有噪聲相位的頻率為4fe的單音信號。由式(8)可以看出，π/4-CQPSK信號的四次方是頻率為4fe的單音信號yi與ej(iπ)的乘積。記yi的離散傅里葉變換(DFT)為Y(k)?DFT(yi)，則Y(k)是QPSK信號的四次方譜。假設DFT的長度N為偶數，根據頻域循環卷積定理[17]，π/4-CQPSK的四次方譜為：

Z(k)?DFT(zi)=

δ(k-N/2)?Y(k)=

(9)

式中，?表示循環卷積；δ(k)的定義為：

(10)

可見，π/4-CQPSK信號的四次方譜是將頻率為4fe的單音信號的頻譜進行了N/2的循環移位，而QPSK信號的四次方譜則沒有循環移位，從而導致二者四次方譜中譜線出現的位置不同。由式(9)可知，π/4-CQPSK信號頻偏的估計值為：

(11)

2.2 實現步驟

π/4-CQPSK信號的頻偏估計算法的實現步驟如下：

① 將接收信號xi進行四次方運算得到zi；

② 對zi進行DFT運算得到四次方譜Z(k)；

③ 利用式(11)計算頻偏的估計值。

2.3 性能分析

由于在算法中用到了四次方，由采樣定理[18-20]可知，歸一化頻偏feT必須滿足：

(12)

頻偏的估計精度取決于DFT的頻率分辨率1/(TN)，因此增加DFT的長度(數據不夠時補零)可以提高頻偏的估計精度。

在算法的實際實現中，可以利用快速傅里葉變換(FFT)代替DFT，提高運算速度。

3 仿真試驗

3.1 算法驗證

仿真中設置信號長度N=4 096，歸一化頻偏feT=50/N≈0.012 2。圖1給出了QPSK信號和π/4-CQPSK信號的四次方譜。由圖1可以看出，QPSK信號的四次方譜中譜線出現在位置50*4=200處，π/4-CQPSK信號的四次方譜中譜線出現在位置4 096/2+50*4=2 248處，與理論分析一致。

圖1 π/4-CQPSK與QPSK四次方譜的比較

3.2 算法性能

仿真中設置信號長度N=32 768，歸一化頻偏feT是-0.1～0.1之間均勻分布的隨機數，相偏是-π/5～π/5之間均勻分布的隨機數，FFT長度是32 768，信噪比在-14～30 dB以步進2 dB遞增，在每個信噪比下進行10 000次蒙特卡羅仿真，歸一化頻偏的均方誤差隨信噪比的變化如圖2所示。

圖2 不同信噪比下歸一化頻偏估計的均方誤差

由圖2可以看出，當信噪比大于0 dB時，歸一化頻偏的均方誤差小于5×10-12。

仿真中設置信號長度N為256，歸一化頻偏feT是-0.1～0.1之間均勻分布的隨機數，相偏是-π/5～π/5之間均勻分布的隨機數，信噪比為15 dB，FFT的長度分別取256，512，1024，2 048，4 096，8 192，16 384，32 768，數據不足時補零，在每個FFT長度下進行10 000次蒙特卡羅仿真，歸一化頻偏的均方誤差隨FFT長度的變化如圖3所示。由圖3可以看出，當數據長度一定時，通過補零適當增加FFT長度可以提高頻偏的估計精度。

圖3 不同FFT長度下歸一化頻偏的均方誤差

4 結束語

借鑒QPSK信號的頻偏估計方法，從理論上分析了QPSK信號和π/4-CQPSK信號的四次方譜的不同之處，提出了π/4-CQPSK信號的頻偏估計算法，給出了算法的實現步驟，通過仿真試驗測試了算法性能。在信噪比大于0 dB時，算法估計的歸一化頻偏的均方誤差可以達到不超過5×10-12的精度，足以應用于π/4-CQPSK信號的解調中。