碰撞打靶實(shí)驗(yàn)中的能量損失及不確定度估算

浦天舒

(東華大學(xué)理學(xué)院 上海 201620)

碰撞打靶實(shí)驗(yàn)一般總要求通過實(shí)驗(yàn)測定碰撞時的能量損失[1]，但如果只作實(shí)驗(yàn)測定而不先作理論估算，對實(shí)驗(yàn)裝置的調(diào)節(jié)就帶有盲目性.如果先作了理論估算，則估算的正確與否須由實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證：若二者一致則說明估算正確，若不一致就有如何進(jìn)一步調(diào)節(jié)實(shí)驗(yàn)裝置修正估算值的問題.這都涉及數(shù)據(jù)的處理：例如，哪個是估算量？如何判定測量結(jié)果與估算量是否一致？即如何通過數(shù)據(jù)處理評判測定結(jié)果？教學(xué)中還發(fā)現(xiàn)學(xué)生在實(shí)驗(yàn)不確定度的估算中往往容易混淆因果.本文將以實(shí)際測量數(shù)據(jù)為例來說明.

1 公式推導(dǎo)及打靶前各參量的測量數(shù)據(jù)

碰撞打靶實(shí)驗(yàn)撞擊球和被撞球的位置與靶心位置示意圖如圖1所示.

如果質(zhì)量分別為m1和m2的兩只球在水平方向發(fā)生對心彈性碰撞，因在水平方向不受外力，所以水平方向的動量守恒

m1v1=m1v′1+m2v2

(1)

圖1 撞擊球與被撞球的高度與靶心位置示意圖

式中v1和v′1分別是質(zhì)量為m1的撞擊球即擺球碰撞前、后的水平速度，v2是質(zhì)量為m2的被撞球(碰撞前靜止)碰撞后的水平速度.若不計(jì)能量損失，還應(yīng)有動能守恒

(2)

由式(1)、(2)消去v′1得

(3)

(4)

(5)

將式(4)、(5)代入式(3)，可得

(6)

測得擺球的質(zhì)量m1=32.668 g，被撞球的質(zhì)量m2=23.834 g，測得由式(6)確定的y,x,h各參量如表1所示.

表1 打靶前參量x,y,h的測量數(shù)據(jù)

2 由實(shí)際落點(diǎn)x′推算能量損失

然而在實(shí)驗(yàn)過程中，由于撞擊時的能量損失，發(fā)現(xiàn)實(shí)際落點(diǎn)并不是x而是x′

(7)

于是可以推算出非彈性碰撞時所損失的能量為

(8)

x′的測量數(shù)據(jù)如表2所示.

表2 各次打靶測量數(shù)據(jù)

在顯著性水平α=0.01下檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

(9)

(10)

(11)

此推算是否正確，應(yīng)由實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證.

ΔE推算的相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度為

(12)

4.7%

(13)

(14)

于是得到

ΔE推算=(2.8±0.2)×10-3J

(15)

3 能量損失的實(shí)驗(yàn)測定

若要使被撞球擊中靶心位置x，那么擺球的高度應(yīng)升高至h′，使得

(16)

得到擺球需升高的高度為

(17)

表3 擺球升高Δh后的打靶測量數(shù)據(jù)

所以

(18)

(19)

(20)

表4 擺球升高至h″時的打靶測量數(shù)據(jù)

(21)

(22)

其標(biāo)準(zhǔn)不確定度為(忽略m1,m2和g的不確定度)

(23)

uΔE總=0.1×10-3J

(24)

于是測量結(jié)果可以表示為

ΔE總=(4.4±0.1)×10-3J

(25)

由于ΔE推算只是考慮了非彈性碰撞的因素所產(chǎn)生的能量損失，所以

ΔE總-ΔE推算=1.6×10-3J

(26)

就是非彈性碰撞以外的因素所產(chǎn)生的能量損失，主要是空氣阻力等因素.

4 小結(jié)

5 討論

需要指出的是，若不計(jì)能量損失，可算出擊中位置x′時擺球相對于被撞球的高度理論上應(yīng)為

(27)

顯然，由下式算得的能量損失

ΔEx′=m1g(h-hx′)=

(28)

應(yīng)該是擺球位于hx′而不是h處打靶時產(chǎn)生的能量損失，如果把此ΔEx′作為h處打靶時產(chǎn)生的能量損失的推算值，即假定

h′=h+(h-hx′)=5.53 cm

等于是在理論上假定hx′處打靶產(chǎn)生的能量損失與h處一樣，之后的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證過程便如同用5.53 cm代替表3中的h′來進(jìn)行.不過此處的ΔEx′與ΔE推算有所不同，ΔEx′是hx′處打靶產(chǎn)生的總能量損失，而ΔE推算是h處打靶時因非彈性碰撞產(chǎn)生的能量損失，所以用式(26)可以算出擺球位于h處打靶時因空氣阻力產(chǎn)生的能量損失，但式(26)中的ΔE推算不能用ΔEx′替代.