地球自轉對平拋運動的影響

林建福

(金秀瑤族自治縣民族高中 廣西 來賓 545799)

地球既有自轉又有公轉，所以是非慣性參考系.公轉的角速度很小，且所產生的慣性離心力幾乎與太陽的引力相抵消.自轉的角速度約為7.3×10-5rad/s，雖然比較小，但卻產生了一些可以觀察到的現象，如貿易風、軌道磨損、自由落體偏東等現象[1].本文研究在考慮地球自轉情況下的平拋運動.

1 考慮地球自轉情況下的平拋物體運動微分方程

為了考慮地球轉動對運動物體的影響，建立如圖1所示的坐標系：以地面上O點為坐標原點，與該處經線相切向南為x軸正向，沿著緯線切向向東為y軸正向，沿O點處鉛直向上為z軸正向.研究質點相對于地球的運動時，可以只考慮科里奧利力的效應，其動力學方程可以寫為[1]

ma′=F-mgk-2mω×v′

(1)

由式(1)可以得到考慮地球自轉時平拋運動的微分方程分量式為

(2)

(3)

(4)

圖1 地球自轉對平拋運動的影響

(5)

(6)

(7)

將式(5)、(6)、(7)代入式(2)、(3)、(4)，整理可得

4ω2[xsinλ+(z-h)cosλ]sinλ

(8)

(9)

4ω2[xsinλ+(z-h)cosλ]cosλ

(10)

由于ω很小，其高階項ω2可略去，則式(8)、(9)、(10)可化簡為

(11)

(12)

(13)

2 考慮地球自轉情況下的平拋物體的運動規律

對式(11)、(12)、(13)利用初始條件進行積分，可以得到速度分量為

(14)

(15)

(16)

對式(14)、(15)、(16)利用初始條件進行積分，可以得到運動學方程為

x=v0tcosα+ωv0t2sinαsinλ

(17)

(18)

(19)

3 地球自轉對平拋物體落地時間的影響

由式(19)知，當z=0時可以求出物體的下落時間為

(20)

由式(20)可知考慮地球自轉后，受科里奧利力影響，平拋物體落地時間變長了.

4 地球自轉對平拋體落地偏移量的影響

由式(17)和式(18)可知，考慮了地球自轉后，由于科里奧利力的影響，平拋體落地時產生的偏移量為

Δx=ωv0t2sinαsinλ

(21)

(22)

從式(21)和式(22)可知，落地位置的實際偏離是x，y兩個方向偏離分量的合成.

對于x方向的偏離分量Δx，由式(21)知，在初速度v0相同情況下，兩極處(λ=±90°)偏移量最大，赤道處(λ=0)偏移量為零；在同緯度下，沿南北方向拋出時(α=0或180°)，Δx偏移分量為零，即不發生南北方向的偏移.

以上拋出時，落地點有東偏分量，否則落地點有西偏分量.