探究桿連接體繞軸運(yùn)動(dòng)動(dòng)能的計(jì)算方法

鄭 金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽(yáng) 122500)

質(zhì)點(diǎn)組的重力勢(shì)能等于全部質(zhì)量集中于質(zhì)心的勢(shì)能，但質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能不一定等于全部質(zhì)量集中于質(zhì)心的動(dòng)能.在各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)靜止的條件下，若質(zhì)點(diǎn)組只發(fā)生平動(dòng)，則質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能等于全部質(zhì)量集中于質(zhì)心的動(dòng)能；如果質(zhì)點(diǎn)組發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，那么質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能與全部質(zhì)量集中于質(zhì)心的動(dòng)能有何關(guān)系呢？柯尼希定理反映了二者的關(guān)系，即質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能等于全部質(zhì)量集中于系統(tǒng)質(zhì)心的動(dòng)能與各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)能之和.

若求出一個(gè)物體相對(duì)于另一個(gè)物體的相對(duì)速度v′，則相對(duì)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能為

m1v′1=m2v′2v′=v′1+v′2

因此， 兩個(gè)物體相對(duì)于系統(tǒng)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能之和為

由此可見(jiàn)，一個(gè)物體相對(duì)于另一個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能等于兩個(gè)物體相對(duì)于系統(tǒng)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能之和，即一個(gè)物體相對(duì)于另一個(gè)物體的動(dòng)能等于兩個(gè)物體相對(duì)于系統(tǒng)質(zhì)心的動(dòng)能之和.

對(duì)于兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的桿連接體，在對(duì)系統(tǒng)應(yīng)用機(jī)械能守恒定律列方程時(shí)，關(guān)鍵是計(jì)算動(dòng)能，可有4種方法，下面進(jìn)行舉例分析.

【例1】如圖1所示，質(zhì)量均為m的兩個(gè)小球A和B，分別固定在一長(zhǎng)為l的輕桿中點(diǎn)和一端.整個(gè)裝置從水平位置開(kāi)始繞固定軸O自由轉(zhuǎn)動(dòng)，求桿運(yùn)動(dòng)到豎直位置時(shí)兩球的速度各為多大？

圖1 例1題圖

所以

辨析：對(duì)于質(zhì)點(diǎn)組的轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程，全部質(zhì)量集中于系統(tǒng)質(zhì)心的動(dòng)能不等于各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能之和.

解法1：利用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能公式

系統(tǒng)勢(shì)能減少量等于系統(tǒng)動(dòng)能增加量，即

由于二者做圓周運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)角速度相同，則有vB=2vA，而mA=mB，代入方程可得

解法2：利用剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能公式

對(duì)系統(tǒng)由機(jī)械能守恒定律得

連接體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

聯(lián)立方程可得瞬時(shí)角速度為

所以線(xiàn)速度大小分別為

解法3：利用兩個(gè)物體相對(duì)于系統(tǒng)質(zhì)心的動(dòng)能和柯尼希定理

對(duì)系統(tǒng)由機(jī)械能守恒定律可知系統(tǒng)轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)對(duì)地面的動(dòng)能Ek等于它在水平位置時(shí)的重力勢(shì)能EpC,又據(jù)柯尼西定理得

Ek=EpC=EkC+E′kC

即

化簡(jiǎn)得

由此得

所以

解法4：利用一個(gè)物體相對(duì)于另一個(gè)物體的動(dòng)能和柯尼希定理

由于在質(zhì)心參考系中質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量為零，即系統(tǒng)的總動(dòng)量保持不變，因此可認(rèn)為其中一個(gè)小球固定不動(dòng)，則另一個(gè)小球的折合質(zhì)量為

聯(lián)立各式得

由此得

所以

【例2】質(zhì)量不計(jì)的直角形支架兩端分別連接質(zhì)量為2m和3m的小球A和B，不考慮小球的形狀，支架的兩直角邊長(zhǎng)度分別為2l和l，支架可繞固定軸O在豎直平面內(nèi)無(wú)摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖2所示，開(kāi)始時(shí)OA邊處于水平位置，由靜止釋放，求小球A在下落過(guò)程中的最大速度.

圖2 例2題圖

解法1：利用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能公式

設(shè)支架轉(zhuǎn)過(guò)的角度為θ，根據(jù)系統(tǒng)勢(shì)能減少量等于系統(tǒng)動(dòng)能增加量有

2mg·2lsinθ-3mgl(1-cosθ)=

即

令y=4sinθ+3cosθ-3，取導(dǎo)數(shù)得

解法2：利用剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能公式

對(duì)于球桿轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)，當(dāng)各質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的力矩為零時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能分別同時(shí)達(dá)到最大.設(shè)支架轉(zhuǎn)過(guò)的角度為θ，根據(jù)杠桿平衡條件有

2mg·2lcosθ=3mglsinθ

對(duì)系統(tǒng)由機(jī)械能守恒定律有

連接體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

I=2m·4l2+3ml2=11ml2

解法3:利用兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能公式和柯尼希定理

如圖3所示，以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿兩桿方向建立直角坐標(biāo)系，且y軸正方向向下，則兩球的位置坐標(biāo)為A(2l,0)，B(0,l)，根據(jù)質(zhì)心公式可知系統(tǒng)開(kāi)始時(shí)的質(zhì)心位置坐標(biāo)為

圖3 小球和系統(tǒng)質(zhì)心在直角坐標(biāo)系中的位置

圖4 速度矢量三角形

因此兩球相對(duì)于質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能為

將兩球視為一個(gè)質(zhì)量為5m的球放在C點(diǎn)，當(dāng)桿轉(zhuǎn)過(guò)θ=53°時(shí)系統(tǒng)的質(zhì)心下降到O點(diǎn)正下方，系統(tǒng)的勢(shì)能最小，則兩球運(yùn)動(dòng)的速度最大.由機(jī)械能守恒定律有

解法4:利用兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能公式和柯尼希定理

在質(zhì)心參考系中，折合質(zhì)量為

可知二者相對(duì)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能為

即為兩個(gè)物體相對(duì)于系統(tǒng)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能之和.

所以小球A的最大速度為

總之，對(duì)于桿連接體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題，在應(yīng)用系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律求速度時(shí)，關(guān)鍵是求質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能，可有4種方法.在解題時(shí)應(yīng)用的物理規(guī)律主要有系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律、柯尼希定理、相對(duì)動(dòng)能的兩種等價(jià)形式以及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、折合質(zhì)量、杠桿平衡條件、質(zhì)心的性質(zhì)和相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí).多種方法所得結(jié)果相同，殊途同歸，從而驗(yàn)證了有關(guān)規(guī)律的正確性.