深層平板載荷試驗變形模量計算新方法

尚許雯 尚銀生 賈迎澤 楊進堂 孫存珠

(1.山西省交通規劃勘察設計院有限公司，山西 太原 030012；2.山西省勘察設計研究院有限公司，山西 太原 030013；3.山西省建筑科學研究院有限公司，山西 太原 030001)

隨著經濟的高速發展、科技水平的日益提高，越來越多的高層、超高層建筑物，這些建筑物常常具有體型復雜多變、高低層錯落、埋深較大、荷載不均勻等特點，出現在人們的視野中。隨之，建筑物的基礎深度越埋越深，采用一般的鉆探、靜探及物探等方法的測試結果，與實際存在一定的誤差，特別是將以上結果用于采用天然地基上的深基礎設計時更存在一定的風險。只有對深部持力層進行現場試驗，測試其實際承載力及變形狀況，才能對建筑物的安全設計提供可靠的保障。深層平板載荷試驗就可以解決該問題，其結果能夠如實反映深部基礎持力層的工程特性。既保證了建筑物的安全使用，又可以合理的進行地基設計。此外，建筑施工中，對于采用剛性樁的樁端持力層，其工程參數也可以利用深層平板載荷試驗的方法來確定，以此為依據可以確定合適的樁長，以免造成浪費，從而真正做到：技術先進、經濟合理、確保工程質量、提高投資效益。

載荷試驗可用于測定承壓板下應力主要影響范圍內巖土的變形模量等，深層平板載荷試驗適用于深層地基土，它與淺層平板載荷試驗的區別在于存在邊載、荷載作用于半無限體的內部。因此，目前確定深層平板載荷試驗的變形模量計算方法包括兩種途徑，其一：對淺層平板載荷試驗的變形模量計算方法進行修正，大多數的規范對此予以采用。它以GB 50021—2001巖土工程勘察規范[1](2009年版(以下簡稱《巖規》))最具代表性，其他諸如GB/T 50123—2019土工試驗方法標準[2]、JGJ 340—2015建筑地基檢測技術規范[3]、GB 50307—2012城市軌道交通巖土工程勘察規范[4]、TB 10018—2003鐵路工程地質原位測試規程[5]、工程地質手冊(第4版)[6](以下簡稱《手冊》)等基本沿用了《巖規》中這一方法。它循序建立在顧寶和先生等(2000)提出的修正系數I1[7]對淺層平板載荷試驗變形模量計算公式的修正、高大釗先生等(2002)提出的修正系數I1I2[8]在前者研究成果的基礎上進行修正。這一系列計算方法雖然有一定的理論分析、公式驗證等，但出發點主要在于對淺層平板載荷試驗變形模量計算方法的修正，而淺層平板載荷試驗變形模量計算方法以Bussinesq課題解析解為基礎，因而存在一定的理論缺陷；此外其建立過程不夠嚴謹。其二：根據Mindlin課題解析解，直接推導出均質、各向同性、半無限體彈性介質下，變形模量的計算公式。但受該解析解公式的繁復、試驗深度等因素的影響，Mindlin課題解析解一直未得到應有的運用。本文針對Mindlin課題解析解，結合《巖規》等對深層平板載荷試驗的尺寸確定及試驗深度要求，對其進行相應的簡化、推導，從而得出一個理論依據更為充分、建立過程更為嚴謹的變形模量計算新公式。

1 《巖規》變形模量計算方法

深層平板載荷試驗的荷載作用于半無限體內部[9]，《巖規》規定深層平板載荷試驗的試井截面應為圓形，承壓板直徑宜取0.8 m～1.2 m，GB 50007—2011建筑地基基礎設計規范規定承壓板直徑采用0.8 m。且其試驗深度不應小于5 m。《巖規》等深層平板載荷試驗的變形模量E0(MPa)按下式計算：

(1)

ω=I0I1I2(1-μ2)

(2)

其中，I0為剛性承壓板的形狀系數，圓形承壓板取0.785；μ為土的泊松比(碎石土取0.27，砂土取0.30，粉土取0.35，粉質粘土取0.38，粘土取0.42)；d為承壓板直徑,m；p為曲線線性段的壓力,kPa；s為與p對應的沉降,mm；ω為與試驗深度和土類有關的系數，可按表1選用。

表1 深層載荷試驗計算系數ω

其中：

(3)

(4)

其中，I1為與剛性承壓板埋深有關的系數；I2為與土的泊松比有關的系數；z為試驗深度,m。

式(3)由顧寶和等(2000)提出，以下簡稱顧氏修正系數；式(4)由高大釗等(2002)提出，以下簡稱高氏修正系數；現行《巖規》等計算變形模量的方法，建立在高氏修正系數的基礎上，令ω=I0I1I2(1-μ2)而來，因此對高氏修正系數的討論實質上也就是對《巖規》等變形模量計算方法的商榷。

2 幾點商榷

文獻[8]是現行《巖規》變形模量計算方法的建立基礎。由于深層平板載荷試驗的開口效應、承壓板上無介質存在，它和Mindlin課題假設是有所區別的，因此無論是用Boussinesq課題、還是Mindlin課題描述深層平板載荷試驗的特點都不是嚴格符合的，有一定的局限性。然而當前變形模量的確定方法基本上仍不能脫離Boussinesq解析解及Mindlin解析解。文獻[8]認為相對這兩種解析方法而言，有限元方法能夠較好的模擬深層平板載荷試驗，并且能夠模擬試驗過程中的卸荷過程，但遺憾的是：文中并未反映出與此相關實質性的內容，因此，該文賴以分析的a，b，c，d四條曲線中(見圖1，圖2)，a曲線即有限元與Boussinesq解比值，在不同泊松比的情況下隨z/d的變化，由于缺少應有的內容介紹，無法進一步與其他曲線對比分析，并且并非最終推薦修正系數所利用的擬合曲線，因而以下不予以討論。其他：b曲線為Mindlin解與Boussinesq解比值隨z/d的變化；c曲線為公式Ip=I0I1(1-μ2)隨z/d的變化；d曲線為建議公式IpI2隨z/d的變化。

2.1 b曲線不存在與c，d曲線對比分析的合理性

b曲線為Mindlin解與Boussinesq解比值隨z/d的變化。由于形狀系數與試驗深度無關，僅隨承壓板的形狀而變化，因此Mindlin解與Boussinesq解的比值已不包括形狀系數等(見式(7)，式(10))，而c，d曲線包括之，且形狀系數小于1，顯然兩者的對比不在同一個起點上。受形狀系數的影響，d曲線相對于b曲線的下移不能作為建議公式更為合理的依據，也不是修正系數I1I2正確來源的曲線。

2.2 c曲線不存在與d曲線對比分析的合理性

Mindlin解與Boussinesq解的比值已不包括(1-μ2)(見式(7)，式(10)),而c曲線包括之，且其值隨泊松比的增大而減小，因此文獻[8]“隨著泊松比的增大，公式Ip=I0I1(1-μ)2得到的值與理論值的差值逐步增大”并非c曲線真正不合理的理由，更不能將其作為建立高氏修正系數的基礎。

2.3 修正系數成立條件

總之，圖1各曲線不存在對比分析的合理性，并未滿足一定的假設條件，也未完全反映上述各自計算公式，因此不能根據圖1曲線進行所謂的回歸分析；根據圖1，圖2就認為以“建議公式得到的埋深修正系數與理論值擬合較好，建議公式更加合理”的結論并不嚴謹。

2)顧氏修正系數要求z>d時成立，而從現行《巖規》的尺寸確定：0.8 m～1.2 m及試驗深度z>5.0 m要求來看，即z>4.2d～6.3d，意味著其成立條件過于寬泛、已不符合現行規范相關數據要求。

3)對照圖1，當z≥4.2d～6.3d時，b,c,d曲線隨z/d的變化已趨于平緩，以z/d=10 m，5 m(變化1倍)為例，泊松比不變的情況下，顧氏修正系數、高氏修正系數增加4%。即它對修正系數及所謂的建議公式等影響可以忽略，以此，顧氏修正系數以d/z為因變量進行修正的必要性不大，因而顧氏修正系數及在顧氏修正系數基礎上再進行完善的高氏修正系數已然不夠嚴謹。再對照圖1a)與圖1b)可以看出，土的泊松比對修正系數的影響更為明顯，尤其是對b，d曲線；圖2也說明了泊松比對修正系數的影響，以μ=0.2，0.4(變化1倍)為例，高氏修正系數增加27%。對一個小變化的修正系數進行大變化的修正，意味著本末倒置。

因此z<4.2d～6.3d時，圖1曲線斜率大的部分無用；z>4.2d～6.3d時，z/d對b，c，d曲線的影響變化已趨于平緩，其作為修正系數的因變量必要性不大及土的泊松比對b，d曲線影響明顯，其應為修正系數的主要因變量是這組曲線的最重要特點。

3 變形模量計算方法

3.1 由Mindlin課題解析解推導出的變形模量計算方法

圓形均布荷載作用下，荷載作用于均勻的、連續的、各向同性的半無限體的內部z處，直徑為d的圓形區域，則荷載中心線上深度z0處的垂直位移計算公式為[8-11](即深層平板載荷試驗)：

(5)

參數意義同上。

式中：

對于式(5)，當計算承壓板下位移時，即有：

z0-z=0;

因此：

(6)

根據深層平板載荷試驗的尺寸確定及試驗深度要求，即試驗深度不小于5 m，承壓板直徑0.8 m～1.2 m，可以認為：

d/2?2z;

r1≈2z。

因此本文根據Mindlin課題解析解推導出的深層平板載荷試驗變形模量計算方法為：

(7)

它與《巖規》計算方法明顯不同，略去了試驗深度的影響等，并對照式(1),式(2)，可以令:

(8)

為對應于顧氏、高氏修正系數的部分(以下直接稱為本次修正系數)。

從式(7)及式(1)～式(4)進一步對比可以看出，計算變形模量不同方法間的本質區別在于顧氏修正系數I1、高氏修正系數I1I2及本次修正系數I的不同。

3.2 由Boussinesq課題解析解推導出的變形模量計算方法

圓形均布荷載作用下，荷載作用于均勻的、連續的、各向同性的半無限體的表面，直徑為d的圓形區域，則荷載中心線上深度z0處的垂直位移計算公式為[8-11](即淺層平板載荷試驗)：

(9)

參數意義同上。

對于式(9)，當計算承壓板下位移時，z0=0，即有：

EB=I0(1-μ2)pd/s

(10)

4 不同修正系數對比分析

4.1 不同修正系數的計算分析

根據式(3)：

當d=0.8 m～1.2 m，z=5.0 m,10.0 m及趨于無窮大時(工程意義上或d?z)：

I1=0.537～0.555,0.518～0.528,0.500。

即I1介于0.500～0.555；最小值為0.500。

根據式(4)：

當d=0.8 m～1.2 m，z=5.0 m,10.0 m及趨于無窮大時(工程意義上或d?z)：

μ=0.00,0.27,0.30,0.35,0.38,0.42,0.50時：

I1I2=0.534～0.555,0.621～0.642,0.642～0.664,0.684～0.708,0.714～0.739,0.762～0.788,0.868～0.902；

0.518～0.528,0.599～0.610,0.620～0.631,0.661～0.673,0.690～0.702,0.733～0.746,0.842～0.857；

0.500,0.578,0.598,0.638,0.665,0.707,0.812。

即I1I2介于0.500～0.902。

根據式(8)：

當μ=0.00,0.27,0.30,0.35,0.38,0.42,0.50，d/2?2z時：

I=0.375,0.450,0.459,0.473,0.481,0.490,0.500。

即I=0.375～0.500；最大值為0.500。

所有計算成果見圖3。

1)本次修正系數I與土的泊松比有關，隨泊松比增大而增大，并逐漸接近顧氏修正系數；而且當μ=0.00～0.50時，I=0.375～0.500。2)顧氏修正系數隨承壓板直徑和試驗深度的相對關系而變化；與土的泊松比無關。3)本次修正系數與高氏提出《巖規》采用的修正系數相同之處在于都考慮了土的泊松比所產生的影響，但泊松比所起的作用不同I≤0.500，對深層平板載荷試驗確定的變形模量，進行了相對更大程度的折減，有利于提高建筑工程的安全性；I2=(1+2μ2+2μ4)使顧氏修正系數得以放大、大于1的倍數。4)隨著試驗深度的加深，顧氏修正系數、高氏修正系數都略有減小，但后者相對幅度較大，本文修正系數無變化。無論顧氏修正系數，還是高氏修正系數，承壓板直徑對修正系數的影響幅值收窄；當z趨于無窮大時(工程意義上或d?z)，顧氏修正系數及高氏修正系數的幅值(承壓板直徑的影響產生)與本次修正系數(d/2?2z)一樣，收窄于各自的極限值、最小、幅值為0，承壓板直徑的影響已無反映。5)隨著承壓板直徑的增大，顧氏修正系數、高氏修正系數都略有增大。6)從圖2中b曲線可以看出，修正系數小于0.500，恰恰反映了本次修正系數的合理性。

總之，本次修正系數與顧氏、高氏修正系數最關鍵的一點在于：前者在不大于0.500的范圍內，隨泊松比的增大而增大，當土的泊松比為0時，前者修正系數最小為0.375；土的泊松比為0.5時，修正系數最大為0.500。后兩者的修正系數在不小于0.5的范圍內，隨泊松比的增大而增大，當測試深度趨于無限大(工程意義上或d?z)時，修正系數最小為0.500。當修正系數改變后，《巖規》推薦利用的表1亦應做相應的修改。

4.2 《巖規》采用的高氏修正系數進一步分析

文獻[8]根據彈性解析解理論分析和數值計算結果回歸分析，提出的高氏修正系數，由于并無相關的數值計算方法及具體如何回歸分析、回歸分析的效果說明，因而無法對此作出相應的評價，但這個修正系數與Mindlin課題圓形垂直均布荷載解理論上存在一定的矛盾性。盡管兩者都隨泊松比的增大而增大，但是，顧氏修正系數已經偏大，再乘以一個大于1的系數會使深層平板載荷試驗確定的變形模量過大而偏于不安全。

由于本次修正系數I來源于一定條件下的兩個理論解的比值，將之等同于圖1,圖2中的b曲線時，結合c,d曲線所代表的公式，可以認為所謂的“隨著泊松比的增大，公式Ip=I0I1(1-μ2)得到的值與理論值的差值逐步增大”“根據建議公式得到的埋深修正系數與理論值吻合得比較好，建議公式更加合理”的結論都不能作為d曲線更加合理的依據。

5 結論

1)從Mindlin課題解析解出發，結合深層平板載荷試驗的尺寸確定及試驗深度要求，從而推導出一個新的計算變形模量公式。2)本文提出的變形模量計算方法及相應的修正系數與《巖規》等變形模量計算方法及顧氏修正系數明顯不同，前者僅以泊松比為因變量，后者以承壓板的尺寸與埋深的比值為因變量。也與高氏修正系數明顯不同，前者利用泊松比更為調低了變形模量的計算值，有利于提高建筑工程的安全性；后者利用泊松比調高了變形模量計算值。3)相同的試驗條件下，當μ=0.00～0.50時，本次修正系數在I≤0.500的范圍內，隨土類的泊松比增大而增大，其值介于0.375～0.500，最大值為0.500；高氏修正系數在I1I2≥0.500的范圍內，隨土類泊松比的增加而增加，其值介于0.500～0.902,最小值為0.500；顧氏修正系數I1隨試驗深度的增加而減小，其值介于0.500～0.555，最小值為0.500。4)b曲線不存在與c,d 曲線對比分析的合理性，c曲線不存在與d曲線對比分析的合理性，它不應成為建立高氏修正系數的基礎；顧氏修正系數的成立條件明顯寬泛于現行《巖規》相關數據要求；當z<4.2d～6.3d時，曲線斜率大的部分無用；當z≥4.2d～6.3d時，土類的泊松比是修正系數的主要因變量，尺寸與試驗深度的相對關系所產生的影響可以忽略；因此，所謂的建議公式(考慮了高氏修正系數)與理論值擬合較好、建議公式更加合理的結論并不嚴謹；《巖規》利用高氏修正系數計算變形模量有待商榷。