基于Bell態的量子隱私比較協議

鄭 濤，張仕斌，李雪楊，邵婷婷

(成都信息工程大學 網絡空間安全學院，四川 成都 610225)

0 引 言

1984年，Bennett和Brassard利用單光子的偏振態共同研發了世界上第一個量子密鑰分發協議(quantum key distribution，QKD)，即BB84協議。隨后新的QKD協議及其相關的實驗研究也不斷出現[1,2]。為了滿足不同的實際應用場景需求，人們提出了量子身份認證(quantum identity authentication，QIA)[3,4]、量子秘密共享(quantum secret sharing，QSS)[5-7]、量子安全直接通信(quantum secure direct communication，QSDC)[8-10]等一系列應用性量子密碼協議[11-13]。隱私比較屬于經典信息安全領域的“百萬富翁”問題，即兩個富翁想知道到底誰更有錢，但是都不愿意透露自己的財富。在現實生活中，有如下應用場景：假設兩個誠實用戶Alice和Bob分別擁有一條秘密信息。Alice和Bob都想同時獲得對方的秘密信息，但雙方都擔憂對方在獲得自己信息后，拒絕提供他的信息給自己，并且都不希望自己的秘密信息泄露給第三方。為了在量子通信網絡中避免這種風險發生，學者們提出了一些基于量子理論的隱私比較協議，但是大都需要通信的某一方先公開部分秘密信息，才能完成隱私比較，而且協議過程中粒子的利用效率不高。

為了增強量子隱私比較過程的平等性，提高粒子傳輸效率，本文提出了一種基于稠密編碼的量子隱私比較協議。通過安全性分析，證明了本協議在外部攻擊、內部攻擊等多種攻擊策略下都是安全可靠且高效的。并且在隱私比較過程中，一比特的量子數目可以傳輸兩比特的用戶信息量。

1 基本原理

1.1 Bell態

單粒子量子態可以寫成 |φ〉=α|0〉+β|1〉， 其中α和β分別為粒子坍縮成 |0〉態和 |1〉 態的概率值。且滿足： |α|2+|β|2=1。 兩粒子量子糾纏系統由A粒子序列與B粒子序列組成，可以由以下4個Bell態描述

(1)

1.2 Pauli算符

在Hilbert空間中，存在線性算符(Pauli算符)，用來改變量子矢量的狀態。Pauli算符以Pauli矩陣為基礎進行構造，4個基本的Pauli算符與Pauli矩陣定義如下

(2)

單粒子量子態 |φ〉=α|0〉+β|1〉 經過4種Pauli算符后變為

σ00|φ〉→|φ〉σ01|φ〉→β|0〉+α|1〉σ10|φ〉→eiπ/2(-β|0〉+α|1〉)σ11|φ〉→α|0〉-β|1〉

(3)

4種Bell態粒子經過Pauli算符操作后，也有類似的狀態改變，以Bell態 |φ+〉AB為例，容易驗證以下關系成立

σ00|φ+〉AB=|φ+〉ABσ01|φ+〉AB=|ψ+〉ABσ10|φ+〉AB=|φ-〉ABσ11|φ+〉AB=|ψ-〉AB

(4)

1.3 Bell糾纏

將N對Bell態 |φ+〉AB粒子解糾纏，形成 |A〉i和 |B〉i兩個單粒子序列 (i=0,1…N)。 假設Alice對 |A〉i單粒子序列執行Pauli操作，Bob對 |B〉i單粒子序列執行Pauli操作；操作完成后Alice或Bob將 |A〉i和 |B〉i粒子序列按照它們的初始序列順序再次糾纏，具體的操作步驟可以簡要描述為：

Alice或Bob對 |A〉i和 |B〉i這兩個單粒子序列，按照它們在Bell態 |φ+〉AB粒子的初始順序，對其進行Bell態聯合測量，使得 |A〉i和 |B〉i再次糾纏形成新的Bell態粒子。對解糾纏后的兩個單粒子執行Pauli操作后，形成的Bell態粒子與Pauli操作之間的關系見表1。

表1 Puali操作與Bell態粒子的測量結果

2 協議描述

假設Alice擁有的秘密信息為X=(x0,x1…xn)， Bob擁有的秘密信息為Y=(y0,y1…yn)。 且有xi,yi∈(0,1)。 雙方秘密共享的信息編碼規則如下

σ00→00,σ01→01,σ10→10,σ11→11

(5)

為了減少協議的復雜度，降低Bell態粒子在制備和糾纏，以及解糾纏等量子操作過程中的錯誤率，本文引入不可信第三方(untrusted third party，UTP)進行Bell態粒子的制備分發等操作。協議具體步驟如下：

(1)UTP制備N對Bell態粒子序列 |φ+〉AB， 然后UTP抽取粒子序列中所有下標為A的粒子組成單粒子序列P1， 抽取所有下標為B的粒子組成單粒子序列P2； 為了防止外部竊聽，UTP在序列P1和P2中插入足量的誘騙粒子，并將P1通過量子信道發送給Alice，將P2發送給Bob。

(2)Alice和Bob按順序接收完粒子序列后，分別通知UTP公布他們各自接收粒子序列中誘騙粒子的位置，以及誘騙粒子使用的測量基。Alice和Bob對各自的粒子序列進行竊聽檢測：雙方根據UTP公布的位置信息，抽取出誘騙粒子，使用UTP公布的測量基進行測量并將結果公布。如果得到的測量結果錯誤率高于設定的閥值，說明粒子分發過程中有外部竊聽，協議取消。否則，協議進行到下一步。

(5)UTP按照接收順序，對完成竊聽檢測后的兩個單粒子序列執行Bell聯合測量，使其再次糾纏。并將得到的Bell態粒子序列結果公布。注意：得到的粒子狀態應該為4種 Bell態粒子的集合 (|φ±〉AB和 |ψ±〉AB)， 如果出現了其它的粒子狀態，說明發生了外部竊聽或協議參與者有不誠實行為，協議取消。否則，協議進行到下一步。

(6)Alice和Bob根據UTP公布的粒子態信息，結合自己對單粒子序列執行的Pauli操作，由表1和編碼規則(5)，雙方可以同時推出對方完成的Pauli算符集，進而獲得對方的秘密信息。Alice將自己的秘密信息X與推出的Bob秘密信息Y′進行異或，得到x=X⊕Y′， Bob同樣操作得到y=Y⊕X′， 雙方計算x=y是否成立，如果不成立，說明UTP公布了錯誤的貝爾態粒子狀態或者參與方有不誠實行為，協議取消。反之，雙方獲取對方的秘密信息。

3 協議分析

3.1 協議的效率分析與正確性分析

圖1 協議簡化流程

3.2 協議的安全性分析

通過分析協議步驟可以得知，協議面臨來自通信參與方和UTP的內部攻擊威脅，竊聽者的外部攻擊威脅。

3.2.1 對UTP的安全性分析

在本協議中，UTP需要完成的事情有：①制備并分發貝爾態粒子；②對Alice和Bob發回的粒子進行Bell聯合測量，并公布正確測量結果。因此UTP可以通過公布虛假的測量結果(即假信號攻擊)來試圖獲取Alice和Bob的秘密信息。但在本協議中，UTP將不會獲得任何有用信息。首先，由于編碼規則是由Alice和Bob秘密共享的，并且通信雙方不會公布任何與秘密信息直接相關的內容，因此UTP不會獲得任何直接的秘密信息。其次，如果UTP公布的是虛假的測量結果，Alice和Bob根據UTP公布的錯誤測量結果，通過表1和編碼規則推出對方執行的泡利操作是錯誤的，但是此時UTP依然不會獲得任何有用的秘密信息。如果通信雙方在獲取了對方的秘密信息后，將自己的秘密信息與推測出的對方秘密信息進行按位異或，并通過量子信道發送給對方，經過簡單判斷就可以發現UTP是否公布了錯誤的貝爾態粒子狀態。例如：因此，UTP執行假信號攻擊無法獲得任何與用戶秘密信息相關的內容。

3.2.2 對用戶的安全性分析

假設Bob試圖欺騙Alice，他在對粒子序列不按照秘密信息Y執行泡利操作。設Alice的秘密信息為11，Bob的秘密信息為10，他卻對粒子執行σ00操作試圖獲取Alice的秘密信息。Alice對自己的粒子執行了正確的σ11操作后，雙方將粒子發回給UTP。UTP完成Bell測量后公布粒子狀態 |φ-〉AB(Bob如果執行了正確的σ10操作，UTP公布的粒子狀態本應為 |ψ+〉AB)， 此時Bob根據UTP公布的 |φ-〉AB和自己的秘密信息，根據表1推出Alice的秘密信息為“11”，但是Alice推出Bob的秘密信息為“00”。當雙方在協議第(6)步驗證時，x=y將不會成立，Alice發現Bob的不誠實行為，并且協議立即取消。因此Bob不能獲得Alice全部的秘密信息。

3.2.3 截獲/重發攻擊

假設外部竊聽者想通過截獲/重發的攻擊手段獲取通信雙方的秘密信息。分析協議可知，在UTP分發粒子過程，以及Alice與Bob發回粒子給UTP的過程中，步驟(2)和步驟(4)都會抽取誘騙粒子進行竊聽檢測，因此外部竊聽者都會被檢測出來。因此截獲/重發攻擊手段對本協議將不會有作用。

3.2.4 附加粒子糾纏攻擊

假設Eve截獲UTP發送給Alice的粒子序列P1， 附加了糾纏操作Ue后，附加粒子序列E與P1組合態形成的希爾伯特空間存在如下變換

|a|2+|b|2=1 |a′|2+|b′|2=1ab*=(a′)*b′

根據上面的式子可以推出： |a|2=|a′|2， |b|2=|b′|2， 于是Eve通過附加粒子糾纏攻擊，被檢測出來的概率為p=|b|2=1-|a|2=|b′|2=1-|a′|2。 如果Eve想避免引入錯誤，則附加粒子與UTP制備的粒子構成的系統必定總是處于直積態；此時表明輔助粒子與UTP制備的Bell態之間沒有任何關聯。即Eve不能獲得任何有用的信息。

4 結束語

本文提出一種基于貝爾態的量子隱私比較協議，可以實現通信雙方平等的交換秘密信息。本協議可以防止一方欺騙另一方，從而獲得其秘密信息，通信的雙方通過第三方公布的消息同時獲得對方的秘密信息。本協議通過引入不可信第三方，減小了協議的量子操作復雜度。同時可以抵御外部攻擊，截獲重發攻擊，附加粒子糾纏攻擊，以及用戶的攻擊，確保信息的安全可靠，平等高效的互換。