稀疏梯度域非參數(shù)貝葉斯字典學(xué)習(xí)圖像去噪

朱 路，劉 松，曹賽男，劉媛媛

(華東交通大學(xué) 信息工程學(xué)院，江西 南昌 330013)

0 引 言

圖像去噪問題是各種圖像處理研究領(lǐng)域的主要內(nèi)容之一[1,2]。原始圖像在合適的字典下具有稀疏性而噪聲無這一特性，若能對含噪圖像進(jìn)行稀疏性重建，其結(jié)果便可實現(xiàn)去噪的效果[3]。近些年來，稀疏表示在圖像去噪中得到廣泛應(yīng)用，并成為當(dāng)前圖像處理領(lǐng)域的研究熱點[4,5]。

在圖像稀疏表示理論研究領(lǐng)域中，字典的構(gòu)造和產(chǎn)生是稀疏表示理論的重要研究內(nèi)容之一。K-SVD[6]字典學(xué)習(xí)方法能自適應(yīng)地對信號進(jìn)行稀疏表示，該方法的基本思想是采用奇異值分解代替了逆矩陣逐個更新字典原子和稀疏系數(shù)，減少了誤差。Ravishankar等[7]提出了DLMRI算法，該算法在局部結(jié)構(gòu)的重疊圖像塊上執(zhí)行稀疏性框架，并采用K-SVD字典學(xué)習(xí)算法從高度欠采樣的k空間數(shù)據(jù)中重建圖像。大部分圖像噪聲具有隨機(jī)性，而自然圖像通常在一些變換域中存在良好的稀疏特性，如梯度域，考慮這些特點，Liu等[8]提出GradDLRec算法，該算法分別從圖像的水平方向和垂直方向進(jìn)行全變分(total variation，TV)變換，在此稀疏差分域中采用K-SVD字典學(xué)習(xí)方法訓(xùn)練字典，該方法訓(xùn)練得到的字典的稀疏表示能力更好，所以可以重建出更高分辨率的圖像。雖然，基于差分域的K-SVD字典學(xué)習(xí)方法能有效地對噪聲圖像超分辨率重建。然而，該字典學(xué)習(xí)算法通常需假定噪聲方差，字典規(guī)模和信號稀疏度等，這些信息的先驗值獲取將直接影響圖像去噪的性能。目前在實際應(yīng)用過程中大部分憑借經(jīng)驗對這些信息進(jìn)行設(shè)置和調(diào)整。Zhou等[9]提出了基于貝塔過程因素分析(beta process factor analysis，BPFA)的非參數(shù)貝葉斯字典學(xué)習(xí)圖像重建算法，該方法結(jié)合貝葉斯學(xué)習(xí)框架，能自動推斷出字典規(guī)模，重構(gòu)誤差及正則化參數(shù)，解決了字典學(xué)習(xí)中參數(shù)選擇問題。

本文將全變分TV引入到圖像去噪重建模型中，提出了一種基于稀疏梯度域非參數(shù)貝葉斯字典學(xué)習(xí)圖像去噪方法。考慮該模型是多變量耦合且為非凸問題，采用交替迭代優(yōu)化方法將圖像去噪模型中的變量進(jìn)行分離，獲得多個子問題，經(jīng)過多次交替迭代求解各個子問題，獲得較高的圖像質(zhì)量。

1 稀疏表示和字典學(xué)習(xí)

1.1 信號稀疏表示原理

如果n

(1)

或

(2)

1.2 稀疏梯度域字典學(xué)習(xí)圖像去噪

對于采集或傳輸自然圖像V，通常包含加性噪聲，該噪聲圖像數(shù)學(xué)上可以表示為

V=I+e

(3)

I表示原始圖像，e表示均值為0，噪聲方差為σ2高斯白噪聲。I在梯度域(總體差分域)一般具有良好的稀疏特性，考慮整個圖像，尤其對于高分辨率圖像，直接構(gòu)造字典進(jìn)行圖像去噪，其運算代價非常大。在稀疏采樣條件相同的情況下，信號在合適字典下的稀疏表示系數(shù)的稀疏性越好，則信號的重建質(zhì)量越高。本文對圖像進(jìn)行分塊處理，利用全變分TV對分塊圖像稀疏變換，建立梯度域稀疏表示的字典學(xué)習(xí)圖像去噪模型

(4)

其中，D表示字典，αl表示所有圖像塊的字典稀疏表示相對應(yīng)的系數(shù)， Г=[α1,α2,…,αl]，αl非零元素的個數(shù)不超過T0，Rl表示對圖像進(jìn)行塊抽取操作，▽表示分別對圖像進(jìn)行水平或垂直方向的差分變換，v1正則因子。

(5)

(6)

其中，v2表示正懲罰參數(shù)。考慮式(5)是一個多變量耦合問題，難以直接求解。對于式(5)和式(6)，這里采用交替迭代方法(alternating direction method，ADM)對其進(jìn)行變量分離，得到Q1、Q2、Q3這3個不同的子問題。式(5)的解析解可以通過分別求解這3個不同的子問題而得到

(7)

(8)

(9)

這里采用最小二乘法對Q1問題進(jìn)行求解，先對Q1求導(dǎo)，然后令其導(dǎo)數(shù)為零可得

(10)

對等式(10)兩邊做傅里葉變換，式(10)可以轉(zhuǎn)化為

(11)

令p=v2/v1， 式(11)可以表示為

(12)

(13)

(2)求解Q2問題：對梯度圖像ω進(jìn)行更新。

這里采用最小二乘法對Q2問題進(jìn)行求解，先對Q2求導(dǎo)，然后令其導(dǎo)數(shù)為零可得

(14)

根據(jù)式(14)求解得

(15)

(16)

(3)求解Q3問題：更新字典D和稀疏表示系數(shù)矩陣αl，l=1,2,…,N

(17)

Q3子問題是一個典型的字典學(xué)習(xí)問題，其中閾值T0為控制表示圖像塊的稀疏度，傳統(tǒng)的K-SVD字典學(xué)習(xí)方法需預(yù)先設(shè)定T0的大小。本文利用分層BPFA(beta process factor analysis，BPFA)模型字典學(xué)習(xí)算法實現(xiàn)更新稀疏字典D和稀疏表示系數(shù)矩陣αl，該方法不需事先假定T0的大小和噪聲方差，其層次模型表示如下

(18)

該模型利用Beta過程作為先驗信息，其中⊙表示哈達(dá)瑪向量積。參數(shù)zl由貝塔-伯努利過程生成，其數(shù)值為0、1，可以有效選擇字典中的原子，不需事先假定圖像塊在字典中的稀疏度。上述模型字典中的原子dk(D=[d1,d2,…,dk,…,dK])、 非零權(quán)重sl、噪聲el分別由高斯分布產(chǎn)生；參數(shù)π服從Beta分布；參數(shù)γs、γe分別服從伽馬分布。Ip(Ik) 表示大小為P×P(K×K) 單位矩陣；a，b，c，d，e，f為超參數(shù)；K為字典原子個數(shù)。

為了將分層BPFA模型與優(yōu)化的方法聯(lián)系起來[11,12],分層BPFA模型可以利用后驗概率密度函數(shù)的負(fù)對數(shù)表示

(19)

其中，Θ表示未知模型參數(shù)η={Rlωk+1}l=1,…,N，fBeta-Bern({zl}l=1,…,N;H) 表示Beta-Bernoulli過程先驗信息，H表示模型超參數(shù) (a,b,c,d,e,f)， 采用L2范數(shù)分別約束對應(yīng)于高斯先驗分布的字典原子dk和非零權(quán)重sl，Constant表示常數(shù)。Beta-Bernoulli過程具有稀疏選擇性，其功能類似 K-SVD 字典學(xué)習(xí)的OMP，但不需事先假定T0的大小。

考慮式(19)整個模型非常復(fù)雜，模型參數(shù)難以直接求解。本文采用基于蒙特卡洛馬爾科夫鏈(Monte Carlo Markov chain，MCMC)的吉布斯(Gibbs)采樣，模型參數(shù)Θ可以用依次交替迭代方式求解，獲得具有較強(qiáng)稀疏表示能力的字典和稀疏表示系數(shù)。當(dāng)所有未知參數(shù)估計出來之后，Rlωk+1可由最大后驗(maximum a posteriori，MAP)估計得到。本文算法的具體步驟見表1。

2 實驗仿真及結(jié)果分析

在本節(jié)中，通過實驗仿真，有效地分析提出的圖像去噪算法性能。在實驗仿真中，如圖1所示，選用10張不同的灰度圖像作為實驗仿真對象，仿真實驗在MATLAB R2014a的軟件環(huán)境下完成，硬件條件是英特爾四核CPU，頻率3.30 GHz，內(nèi)存16 GB。分別使用本文算法、GradDLRec算法和DLMRI算法對含有噪聲的灰度圖像進(jìn)行去噪。其中，DLMRI算法參數(shù)設(shè)置[13]：字典大小P=n=36， 圖像塊大小P1/2=6， 圖像塊重疊抽取步長r=1，β=(P1/2/r)2=36，λ=140， 圖像塊的個數(shù)為200×n， 稀疏閾值T0=5； GradDLRec算法參數(shù)設(shè)置與DLMRI算法基本相同，添加參數(shù)λ1=60，v2=3； 本文算法中，除了BPFA字典學(xué)習(xí)模型參數(shù)之外，其它參數(shù)設(shè)置同于GradDLRec算法，提出的方法中的BPFA字典學(xué)習(xí)算法采用10次循環(huán)迭代，同于其它方法的字典學(xué)習(xí)算法循環(huán)迭代次數(shù)。為了獲得良好的圖像去噪效果，分別對3種整個算法進(jìn)行10次迭代計算。本文算法設(shè)置7個不同的噪聲標(biāo)準(zhǔn)差σ=5、10、15、20、25、50、100，依次仿真，采用峰值信噪比(PSNR)評價算法的圖像去噪性能。

表1 稀疏梯度域非參數(shù)貝葉斯字典學(xué)習(xí)圖像去噪算法

圖1 灰度圖像

表2和表3列出了本文算法、GradDLRec算法、DLMRI算法(縱向觀察表格數(shù)據(jù))對不同圖像去噪結(jié)果。從表2看出，本文算法相較于GradDLRec算法和DLMRI算法有明顯的效果改善。在噪聲標(biāo)準(zhǔn)差σ=5的情況下，本文算法和GradDLRec算法的去噪效果相當(dāng)。在噪聲標(biāo)準(zhǔn)差σ=10、15、20、25、50、100的情況下，本文算法的去噪效果明顯優(yōu)于GradDLRec算法和DLMRI算法。實驗仿真的原始圖像和含噪圖像如圖2所示，圖3和圖4表示采用3種去噪方法得到的去噪圖像。由圖3和圖4可以看出，基于3種算法得到了良好的去噪圖像視覺效果。其中，本文算法取得的視覺效果更好，可以說明本文算法在圖像去噪的過程中，能比較有效地從含噪圖像中保留有用信息，獲得良好的重建圖像。

表2 3種算法在不同圖像和噪聲標(biāo)準(zhǔn)差下的 去噪后峰值信噪比數(shù)據(jù)比較

表3 3種算法在不同圖像和噪聲水平下的 去噪后峰值信噪比數(shù)據(jù)比較

圖2 原始圖像和含噪圖像

圖3 3種算法對含噪圖像barbara的去噪效果

圖4 3種算法對含噪圖像house的去噪效果

由于GradDLRec和DLMRI算法采用了K-SVD字典學(xué)習(xí)方法，K-SVD字典學(xué)習(xí)方法需要事先設(shè)定或者采用交叉驗證的方式確定正則化參數(shù)、字典規(guī)模、稀疏度等信息。考慮在實際應(yīng)用過程中，這些參數(shù)難以進(jìn)行設(shè)置和調(diào)整。根據(jù)非參數(shù)貝葉斯字典學(xué)習(xí)模型具有良好的推斷能力，通過引入先驗信息并結(jié)合貝葉斯框架，能夠自動推斷出正則化參數(shù)、字典規(guī)模和重建誤差，有效地解決了參數(shù)選擇問題。具體來說，K-SVD字典學(xué)習(xí)方法中有若干個參數(shù)需要設(shè)置，例如稀疏度(每個空間塊向量使用的字典原子數(shù))和字典規(guī)模；并且K-SVD字典學(xué)習(xí)方法還需要合理設(shè)置初始值，這些參數(shù)將影響圖像重建的性能。同時，在有噪聲的情況下,K-SVD方法必須知道噪聲標(biāo)準(zhǔn)差，當(dāng)存在數(shù)據(jù)缺失時，噪聲標(biāo)準(zhǔn)差難以估計。一旦K-SVD字典學(xué)習(xí)方法未能設(shè)置適當(dāng)?shù)膮?shù)時,圖像去噪性能會受到影響。本文使用BPFA字典學(xué)習(xí)方法的一個顯著優(yōu)點是在學(xué)習(xí)字典時，該方法可以對噪聲標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行推斷；另一方面，BPFA利用Beta-Bernoulli過程可以自適應(yīng)更新稀疏模式。因此，在參數(shù)不確定的情況下，本文算法的去噪性能更優(yōu)。

3 收斂性分析

圖5和圖6表示3種算法對噪聲標(biāo)準(zhǔn)差σ=20的barbara圖像去噪結(jié)果，即峰值信噪比PSNR和高頻誤差規(guī)范HFEN(通過LoG濾波分別得到的去噪圖像和原始圖像誤差結(jié)果的L2范數(shù)來計算)隨迭代次數(shù)的變化關(guān)系。由本文采用這種變化關(guān)系度量本文算法、GradDLRec、DLMRI方法的收斂性。從圖中可以看出，這3種方法都具有良好的收斂性能，其中本文算法去噪效果更好。

圖5 3種算法的PSNR曲線

圖6 3種算法的HFEN曲線

具體來說，本文算法在更新變量之間交替進(jìn)行求解子問題，更新梯度圖像和稀疏表示子問題都是基于最小二乘方法。交替迭代求解子問題導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)單調(diào)減少，且目標(biāo)函數(shù)是非負(fù)的，最終可以收斂。從圖中仿真結(jié)果可以看出，隨著迭代次數(shù)的增加，去噪圖像Ik+1是收斂的。

4 結(jié)束語

針對K-SVD字典學(xué)習(xí)方法難以解決參數(shù)自動選擇問題，并且考慮自然圖像在總體差分域有較好的稀疏特性，本文將全變分TV引入到圖像去噪重建模型中，提出了一種基于稀疏梯度域非參數(shù)貝葉斯字典學(xué)習(xí)圖像去噪方法。由于該模型為多變量耦合問題，利用Bregman和ADM算法分解為3個子問題，然后分別求解這3個子問題實現(xiàn)圖像去噪。仿真實驗結(jié)果表明，基于稀疏梯度域非參數(shù)貝葉斯字典學(xué)習(xí)圖像去噪方法相比GradDLRec和DLMRI算法有更好的圖像去噪效果，得到了更高分辨率和清晰度的圖像。由于采用了Gibbs采樣更新字典、系數(shù)和相關(guān)參數(shù)，執(zhí)行整個算法時間較長。在接下來的工作中，我們將考慮圖像的結(jié)構(gòu)信息，利用小波+TV與聚類方法對圖像塊進(jìn)行稀疏和分類處理，期望實現(xiàn)有效提高整個算法的執(zhí)行效率和模型參數(shù)的最優(yōu)選擇。