一維量子卷積計算

閆茜茜，王鵬程，劉興云

湖北師范大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院，湖北 黃石435002

1 引言

作為一種新穎的計算模型，量子計算具有兩個突出的特點：其一量子態(tài)的疊加和糾纏等性質(zhì)可以完成并行計算處理加快數(shù)據(jù)的計算速率，具有代表性的是肖爾（Shor）大數(shù)分解算法[1]、波色取樣[2]、格羅夫爾（Grover）搜索[3]、量子退火算法等。其二n 個量子比特有2n個狀態(tài)即n 個量子比特可以存儲2n位信息，提高了信息存儲空間，例如運用在量子圖像處理中，量子圖像表示（QIMR）起著關(guān)鍵的作用[4-8]。

卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在數(shù)據(jù)信息處理方面有助于改進機器學(xué)習(xí)，例如在物體分類[9-13]、目標檢測[14-16]等領(lǐng)域已取得不錯成就。隨著社會的發(fā)展，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的計算數(shù)據(jù)愈加龐大，導(dǎo)致計算速率愈加緩慢，量子計算相比于經(jīng)典計算具有更高的優(yōu)勢[17-18]，因此需要借用量子計算的原理或概念計算卷積，以提高卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計算速率。許興陽、劉宏志[19]通過給出卷積算術(shù)線路定義，進而設(shè)計出了量子門組卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型（QGCNN）；Cong I 等[20]引入并分析了受機器學(xué)習(xí)啟發(fā)的量子線路模型Quantum Convolutional Neural Networks（QCNN），證明了QCNN 可以準確識別與一維對稱保護拓撲階段相關(guān)的量子狀態(tài)及對給定的未知錯誤模型優(yōu)化的量子錯誤校正方案，其性能優(yōu)于現(xiàn)有方法；Henderson M等[21]研究了在標準的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)體系結(jié)構(gòu)中添加量子卷積層，來設(shè)計量子卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

以上文獻通過經(jīng)典的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和量子計算的特性，來設(shè)計搭建量子卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并通過不同的實驗方法驗證量子卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的高效性，但是在文獻中只是借用酋算子搭建簡易線路，沒有設(shè)計出詳細的量子卷積線路，進而也沒有完整的量子卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)量子線路模型。為了研究通用量子卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的量子線路，使量子計算與卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)完美結(jié)合并且發(fā)揮兩者最大的優(yōu)勢，根據(jù)Yao等[8]和Cong I等[20]文章中的計算原理，將一維信息編碼為量子態(tài)，受控非門及Hadamard門完成量子卷積計算量子線路搭建，設(shè)計出了在任何實驗中通用的量子卷積線路模型。

2 量子信息處理

最近大量研究中，將量子計算與數(shù)字圖像處理相結(jié)合對于解決實際圖像處理應(yīng)用中的高精度和高實時性問題非常有效。Venegas-Andraca S E 等[5]提出一種基于“qubit lattice”的存儲，即對于一個輸入圖像，其中每一個像素點都有一個qubit 來表示，因此需要至少2n比特的存儲。Le P 等[6]提出一種FRQI 模型，該編碼方式將像素值和像素位置通過量子態(tài)張量積的形式進行了關(guān)聯(lián)，采用1 個量子比特編碼像素值，顏色信息編碼在概率幅中。Zhang Y 等[7]提出了一種NEQR 模型，同樣通過張量積的形式將像素值和像素位置進行了關(guān)聯(lián)，不同的是采用了d 個量子比特編碼像素值，灰度信息編碼在基態(tài)中。Yao 等[8]提出了QImR 模型，該模型用于將2D 圖像編碼為量子純態(tài)，圖像的像素值由量子態(tài)的概率幅表示，圖像的像素位置由量子態(tài)的基態(tài)表示。

運用到一維信息處理中，采用QImR模型編碼方式將信息的信息熵由量子態(tài)的概率幅表示，信息熵的位置由量子態(tài)的基態(tài)表示。一維信息展開得到一個列向量，將這個列向量映射為含有L=2l個量子比特的量子態(tài)

3 一維量子卷積計算

由經(jīng)典卷積計算過程知，兩個向量卷積的結(jié)果仍然是一個向量，以短向量長度向長向量截取對應(yīng)長度進行內(nèi)積計算，之后保持長向量不變短向量進行一步移位操作，直到短向量最后一個元素與長向量最后一個元素對齊并計算其內(nèi)積，最終得到卷積結(jié)果向量。卷積計算步驟可歸納為相乘、求和、移位，因此在用量子計算方法設(shè)計量子卷積線路模型時也有相同的計算步驟。如圖1所示為量子卷積計算流程圖，首先將經(jīng)典信息進行編碼處理轉(zhuǎn)化為量子信息，量子信息量子態(tài)輸入到量子線路模型中進行卷積計算，量子態(tài)張量積完成相乘過程，概率幅置換完成移位過程，加法計算完成求和過程，最后進行量子態(tài)提取得出卷積結(jié)果。

圖1 量子卷積線路模型流程

3.1 計算量子態(tài)張量積

通過采用上述編碼方式，將經(jīng)典信息P1、P2分別編碼為含有m-qbit、n-qbit 的 量 子 態(tài)其中M=2m、N=2n，若m ≥n 則以信息P2為卷積核，對信息P1進行卷積計算。在希爾伯特空間H1和H2中，量子態(tài)進行張量積運算即：

3.2 概率幅置換QL

QL運算是一個含有L=2l個量子比特的概率幅置換運算，由通用量子門多位受控非門（CNOT）構(gòu)成。CNOT 分為1 型受控非門和0 型受控非門，包括控制量子比特和目標量子比特，1型受控非門中當控制量子比特全為態(tài)時，目標量子比特由或由，0 型受控非門當控制量子比特全為0 態(tài)時才對目標量子比特起作用。如表1所示為對計算基矢的作用，其中雙量子比特門受控非門作用為，三比特受控—受控非門（CCNOT）稱為Toffoli門，作用為其中a、b、c=0 或1，⊕表示以2為模的加法。

表1 通用受控非門

圖2 3-qbit Q8 量子置換線路

表2 Q8 線路具體置換方法

3.3 加法運算

單量子比特H 門的定義為：

圖3 QL 量子線路置換圖

則

IM×M?H?n矩陣中，只有第1 行、第N+1 行、…、第(M-1)N+1 行相應(yīng)位置為1，其余行相應(yīng)位置都是1、-1穿插出現(xiàn)。如對量子態(tài)的1個量子比特執(zhí)行H 門，對剩余的量子比特即量子態(tài)的2個量子比特執(zhí)行單位矩陣，I4×4?H 矩陣表達式為：

3.4 輸出結(jié)果

當對量子態(tài)進行提取的瞬間，量子態(tài)坍縮到一個具體的態(tài)上，此時的卷積結(jié)果也將被破壞，Cong I 等[20]表明測量放在QCNN 線路中池化層和最后結(jié)果的輸出部分，用于確定量子比特受控旋轉(zhuǎn)及固定數(shù)量的輸出量子位，因此在以后的量子卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的量子線路模型設(shè)計中，無需對其量子卷積計算部分進行結(jié)果提取直接進行后續(xù)操作即可。如對量子態(tài)的量子比特進行結(jié)果提取，當此量子比特的提取結(jié)果為時，得到卷積結(jié)果由矩陣可知，一維量子卷積計算結(jié)果為矩陣當中概率幅全相加的行，即第1 行、第N+1 行、…、第(M-1)N+1行，因此需要對初始量子態(tài)的n 個量子比特進行提取，當n 個量子比特的結(jié)果為時，即卷積結(jié)果g 矩陣形式為式（10），進而得出量子卷積線路模型，如圖4所示。

圖4 一維量子卷積量子線路模型

4 結(jié)論

任意多量子比特運算線路都可以分解為雙量子比特門或三量子比特等一些單量子比特門，通常這些簡單的量子門數(shù)量表示對量子運算計算復(fù)雜度的估計。根據(jù)量子卷積算法線路模型可知，以n-qbit 量子態(tài)為卷積核對以m-qbit 的量子態(tài)為目標信息進行的量子卷積計算中，總的量子門數(shù)滿足，故量子卷積計算總的計算復(fù)雜度不超過O(n2)。

重點研究了在量子疊加態(tài)形式中，通過設(shè)計量子卷積線路模型來進行卷積計算，概率幅置換完成經(jīng)典卷積計算中的移位過程，加法計算完成經(jīng)典卷積計算中的對應(yīng)相加計算過程。在存儲上，經(jīng)典計算需要2l比特，量子計算需要l 量子比特即可；在計算上，經(jīng)典計算是移位相乘累加運算，量子計算是酉算子的演化。因此可以根據(jù)量子并行計算的特點計算卷積，并且該一維量子卷積算法大大減少了卷積計算步驟，提高了計算速率，增加了信息的存儲空間，為量子計算與人工智能的結(jié)合提出新的解決思路。