數學華章

范精華

心形線，獻給人類的愛心

誰說數學不浪漫？笛卡兒的極坐標方程式r=a（1-sinθ），代入不同的數值，繪成的圖就是一個標準的心形，又稱心形線或愛心函數，就是我們現在微信上經常使用的那個紅色心形的模樣，這是笛卡兒獻給他愛人的信物，也是他獻給人類的愛！

這個方程式現在是高二數學選學內容，在當代的測量、導航等領域有廣泛應用。

笛卡兒一五九六出生于法國，從小體弱多病，有個好習慣就是特別喜歡思考，也參過軍，但未曾建立什么功勛，最后卻成為了杰出的數學家和哲學家。

關于愛心函數，至今流傳著一個凄美動人的故事，這故事未必為真，但人們寧愿信其有，而不愿信其無。

歐洲爆發黑死病期間，笛卡兒流浪到了瑞典首都斯德哥爾摩。天涯孤旅，竟遇知音，五十二歲的笛卡兒在街頭邂逅了美麗的瑞典公主、十八歲的克里斯汀。這不僅僅是數學愛好者遇上大數學家，還是出身完全不同、年齡相差一代的兩個人的偶遇，這份新奇感是如此的強烈，讓人欲醉還休。很自然地，笛卡兒成了克里斯汀的數學老師，并向她介紹了自己創立的直角坐標系，就是我們現在初中階段學習的直角坐標內容，代數和傳統的幾何學結合了起來，這可是從來沒有見過的學問，克里斯汀表現了極大的興趣，數學水平也就如春潮下的約塔河，呼啦啦的猛漲。同時猛漲的還有兩人之間的那份感情，兩個高貴的靈魂走到了一起，他們相愛了。數學的天空是瑰麗的，那些圓、橢圓、半圓正如圓缺變化的月亮，那些符號和數字猶如星星閃耀著寶石般的光芒，那些曲線仿佛形狀千變萬化的云朵，那些直線、射線就是燦爛的星光。他們如同兩只美麗的夜鶯，在數學王國的夜空中鳴唱！

可是，高貴的愛情遇到了冰冷的現實，國王知道了這事，怒不可遏，豈不是癩蛤蟆想吃天鵝肉么？立即下令要送笛卡兒去見上帝，只因克里斯汀苦苦哀求才饒過一命，但被驅逐出瑞典，重返法國。而克里斯汀呢，因為壞了王室的規矩也受到了懲罰，被軟禁起來。笛卡兒重返法國不久就染上了黑死病，即便如此，他還是拖著孱弱的軀體堅持給克里斯汀寫信，以訴說無盡的相思，可是連續十二封信都落到了國王手里。寫第十三封信時，笛卡兒已病入膏肓，寄走信后就帶著他那刻骨銘心的愛悄然去世。第十三封信照樣落到了國王的手上，可是只有一個數學方程式r=a（1-sinθ），國王莫名其妙，請了好幾位數學家研究來研究去也都是一頭霧水，找不著北。這是笛卡兒新發明的成果，陽春白雪，和者蓋寡，誰可知耶？既然如此，國王便將信給了克里斯汀。

克里斯汀如獲至寶，明白這方程式就是笛卡兒的心聲。她忙將方程式的圖形繪制了出來，這是一顆心的形狀，是以數學為營養滋潤的愛之果，這是笛卡兒用數學公式在向她表達深深的愛。

幾年后國王去世，克里斯汀登基成了瑞典國王，她不忘前情，立即派人尋找笛卡兒，可是斯人已逝，多少愛，那堪言？“一寸相思一寸灰”，留下的只有這個表達大愛的方程式！不禁讓人們唏噓之際想起華滋華斯的詩：“在落葉薔薇的灌木叢中，一只被遺棄的鳥巢盛滿了白雪。”

祖沖之的圓周率和“馬拉松”

一九三二年清華大學的語文考卷中有一道簡單的題目：“已有上聯：孫行者；請寫出下聯。”這道題難住了許多考生，有的考生甚至怪罪出題老師刁鉆古怪，其實最佳的下聯便是“祖沖之”，他是我國南北朝時期的大數學家。

外圍一定的木頭能鋸多寬（最寬）的板子？這實際上就是一個圓周率的問題。木工們很有經驗，在實踐中總結出了一句口訣：“尺木三寸板”，即外圍（圓的周長）一尺的木頭，能鋸出最大寬度是三寸的板子，這里當然不包括加工時刨掉了板子的少許毛邊。換句話說，就是圓的周長是直徑的三倍多一點。于是引發一個問題，這“多一點”究竟是多多少？這個問題一直困擾人類幾千年，東漢張衡算出圓周率為3.162，三國時王蕃得出3.155，魏晉的大數學家劉徽發明“割圓術”，就是不斷倍增圓內接正多邊形的邊數求出圓周率的方法，用此法算出為3.14，邁出了重要的一步。難能可貴的是，關于圓周率，劉徽還有一個說明：圓周率比3.14還要略為大一點，但是大多少呢？劉徽也無能為力了。

歷史這部大書翻到南北朝，奇跡終于出現了，祖沖之，亦采用“割圓術”首次將圓周率精確到了小數點后面第七位，介于3.1415926和3.1415927之間，這可是一個偉大發現，直到公元十六世紀，阿拉伯的數學奇才阿爾·卡西才打破這一紀錄，祖沖之比他早了一千多年！

別小看了這個結果，它可是世界數學史上的一個重要節點。圓周率是人類認識世界、改造世界的一個強有力的工具，其應用非常廣泛，凡是涉及到圓的相關問題，都要用到圓周率，特別是在天文、歷法等科學領域有著極為重要的應用，用于宏觀的運算，其精確度尤為關鍵。西方數學界將其記為π，日本數學家為了表達對祖沖之的尊重，又將其稱之為“祖率”。

祖率π，它是一個無理數，即無限不循環小數；又是一個超越數，即不是任何代數方程的根。它既明朗又神秘、既淺顯又深奧、既簡單又無窮，就像一個永遠也探不到底的深澗，又像一個永遠也望不到盡頭的長河，然而它又是如此真切地擺在人們面前，真是“神龍見首不見尾”啊！恍兮惚兮，其中有象，讓人們神魂顛倒。它撩撥著數學家的神經，歷代許多數學家對它情有獨鐘，研究它的人趨之若鶩，正所謂因喜歡而關注，因熱愛而思考。

祖沖之，無意中推動了一場曠日持久的馬拉松大賽：德國數學家魯道夫·科伊倫在一五九六年將祖率算到了小數點后二十位，后來干脆心無旁鶩，專算祖率，花費畢生精力將祖率算到小數點后三十五位，人們稱其為魯道夫數；一七○六年，英國數學家梅欽計算祖率終于突破一百位小數大關；一九四八年，英國的弗格森和美國的倫奇共同發布了祖率的八○八位小數值……

計算機出現了，可“祖率”馬拉松的接力賽沒個完，真個是“路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索”：一九四九年美國馬里蘭州一個實驗室用計算機算到祖率二○三七位小數，首次突破千位大關；一九八九年美國哥倫比亞大學研究人員用兩臺巨型電子計算機計算出小數點后四點八億位數；二○一○年八月三十日，日本計算機奇才近藤茂利用家用計算機和云計算相結合，計算到小數點后五萬億位；而到了二○一九年的三月十四日，一位日本的女程序員已經算到小數點后三十一點四萬億位！這是一篇永遠也寫不完的壯麗史詩，續寫著人類追求圓周率精度的不朽詩行。

如此有什么實際意義嗎？現在還不太清楚，因為人類的認知總是有限的，也許在未來用得上，也許只是源于對它的好奇和興趣，也許在它身上藏匿著人類尚不可知的奧妙，誰知道呢？不過它的經歷形象地說明了一點：人類對未知世界的探求永無止境。

“糟了，一塊暗礁！”

古印度宰相西薩·班·達依爾發明了國際象棋，這可是一個好玩的東西，帶給了人們多少樂趣！可達依爾也是一個好玩的人，國王舍罕王因為他發明了國際象棋要獎勵他，問他要什么賞賜。達依爾作為宰相，什么沒有呢？愛情、榮耀、幸福、權力、地位等等，應該說是應有盡有了。也許是貪欲讓他失去了理智，也許是腦瓜子被門夾了，也許是為了開個玩笑，他說：“陛下您只要在棋盤的第一格放上一粒麥子，第二格放上兩粒……就這樣，后面一格的麥子數是前面一格的兩倍，一直放到第六十四格就可以了。”

舍罕王一聽不禁笑了起來，“你這個要求也太低了吧，無非就是幾粒麥子！”于是立即命人搬來幾袋麥子，按照達依爾的要求辦理。當然，麥子并不一定非要放到棋盤上，只要照此計數就行了。舍罕王也許忘了，達依爾是個數學家。

前面幾格的麥子加起來還不夠塞牙縫，到第十格的時候，也不過五百一十二粒，第十一格，也只有一○二四粒，雖然超過四位數，但用雙手捧一捧也就足夠了，于是繼續……

到二十八格的時候，已經超過億粒，就是以麻袋為計量單位來搬運也滿足不了要求……讓人恐怖的是，后面還有三十六格，那將是怎樣的一種結果？

有人作過粗略計算，如果照此擺放到第六十四格，將棋盤上的麥子累加起來，約一○○七億噸。要知道，我國二○一八年糧食總產量才一萬三千億斤，折合六億五千萬噸，其中還包括了水稻、小麥、玉米等作物的產量。如按當時生產能力估測，是印度出產小麥兩千年的產量，也是全世界五百年小麥產量的總和。

這是我們高中數學中的“等比數列”問題，公比為2。其結果在意料之外，卻是情理之中。因為前面十來項數值都很小，讓人麻痹大意，越往后數值越大，如同滾雪球，瞬間膨脹成龐然大物，感覺如滾滾向前的火車具有雷霆萬鈞之勢，讓人目瞠口呆。所以實際上是一個陷阱，讓人驚悚。舍罕王的尷尬讓我們明白了兩個字：多思。還給我們以下啟示：把握事物的發展趨勢是多么重要；小的開局未必會有小的結局；平靜表象下掩蓋的本質可能隱藏巨大的危機。

宰相的職位可是“一人之下，萬人之上”，但官職再大，國王還是你的領導，“領導不高興，問題很嚴重！”如此戲弄國王，無異于引誘國王的船往暗礁上撞哦，就是欺君之罪。推想結果只有兩種：要不你達依爾說明原理，道個歉，自己找個臺階下；要不舍罕王割下你的腦袋了事。

我們的靈魂是一艘三桅帆船，

尋它的伊加利亞，甲板上叫：“看哪！”

桅樓上的聲音熱烈瘋癲：

“愛情……榮耀……幸福！”

糟了，一塊暗礁！（波德萊爾《惡之花》）

數學好玩，有時候也不是那么好玩的。

大海忠魂

說起大名鼎鼎的畢達哥拉斯，那可是如雷貫耳，古希臘偉大的數學家、哲學家，還是杰出的思想家、科學家、占星師。對與他同時代巴門尼德及稍后的蘇格拉底、柏拉圖的哲學思想產生過重大影響，并創立了大名赫赫的畢達哥拉斯學派。其他的不說，單憑他發現的畢達哥拉斯定理，即勾股定理，雖說比中國晚了一、二百年，但也是獨立發現，在西方就影響巨大。

很不幸的是，畢達哥拉斯學派既是一個學術團體，又是一個政治和宗教團體，帶有濃厚的神秘主義色彩，規矩森嚴，對違規者處罰極重；更不幸的是，畢達哥拉斯認為世界上只存在整數和分數，除此之外不再有其他的數。

可以想見，如果這世界上只有整數和分數，很多問題是無法解決的，例如，一個邊長為1的正方形，它的對角線是多長？（現在用表示）無法用整數和分數表示，那它又是一個什么數呢？首先發現這個問題的是希伯索斯。

希伯索斯是畢達哥拉斯的杰出門生，生于公元前500年（相當于我國的戰國時期）的意大利南部的麥塔龐頓。他是個勤于思考又有主見的人，從不人云亦云，對角線長度的問題引起了他的特別關注，花了許多時間研究，終于得出了結論：這不是整數，也不是分數，而是另外一種此前尚未發現、尚未命名的數。

“另外一種數”的發現，對于畢達哥拉斯學派無異于大地震，動搖了整個學派的基礎，門徒們為了學派的威望和尊嚴，嚴密封鎖了消息，禁止任何人提及“另外一種數”，否則以極刑侍候，就是活埋。

這樣重大的新發現又如何能夠封鎖得了呢，“另外一種數”的理論不脛而走，且成星火燎原之勢，學派內部嚴查泄密者，竟然是希伯索斯本人。這還了得？！這不是背叛老師背叛自己的學派嗎？對可恥的叛徒必須嚴懲，門徒們開始了對希伯索斯的追殺。

希伯索斯知道大禍臨頭，好漢不吃眼前虧，倉皇出逃，在異國他鄉流浪了好幾年。可是思鄉心切，又偷偷潛回了家鄉。不幸再次光臨，在航行于地中海的一條船上，畢達哥拉斯的狂熱門徒發現了他……史料表明，希伯索斯被扔到了海里，我們可以設想這樣的場景：

船兒在夜色中行進，只有細浪在呢喃，一切安靜如常。在一個殘燈搖曳、陰暗潮濕的船艙里，幾個人悄悄地然而是迅猛地地朝希伯索斯撲了過去，兇狠地堵住他的嘴，又用繩索將他捆個嚴實，然后打開艙門，四顧無人，讓他順著船舷滑了下去，幾乎聽不到落水的聲響……

因為可恥的謀殺者，大都不敢在光天化日之下行兇，也不敢鬧出大的動靜，只能偷偷摸摸施行罪惡。

他們將人間最珍貴的寶石扔進了海里，將一個天才扔下去喂魚，地中海揚起了不絕的滔聲，是在哭泣，為邪惡對正義的摧殘，為謬論對真理的圍剿而哭泣！

科學每前進一步，都是異常艱難的，科學家的人生字典里從來沒有什么“歲月靜好”這幾個字，有的只是負重前行，甚至要付出生命的代價，即如布魯諾，因堅持和捍衛“日心說”，被燒死在羅馬鮮花廣場；伽利略曾長期受迫害，并被判終身監禁，難怪他要說：“追求科學需要特殊的勇氣。”

真理從來不會被湮滅，正義可能會遲到，但永遠不會缺席。“另外一種數”還是以不可阻擋之勢傳播開來。人們對于整數和分數已經使用了很久，也已經習慣了，又好理解，于是合到一起稱有理數，對于“另外一種數”還不好理解更不習慣，甚至還不太懂，于是干脆稱為無理數。

無理數的發現，使數學中許多問題迎刃而解。讓人大跌眼鏡的是，無理數比有理數還多。按常理希伯索斯應該還有著作，但人都被喂了魚，還會讓他的著作流傳下來嗎？所以至今，我們只知道他發現了無理數，找不到他的著述。

未曾想畢達哥拉斯一世英名，榮光萬丈，卻背上這個無法清洗掉的污點，看來萬事皆有度，對于自信也是，過則成殃。

“一筆畫”與七座橋

是否還記得我們的小學時代？某一天，你的同學會興沖沖地拿過一張紙，在上面畫一個圖來考你，說：你能一筆畫出這個圖嗎？圖是這樣的：矩形內有兩條交叉的對角線，在矩形上方兩個角之間連接一條折線，要求一筆畫出來。于是你饒有興趣，一遍又一遍地試驗，過了一會，你情不自禁叫了起來“哈，我畫出來了！”

不要以為這僅僅是我們少年時代用來好玩的東西，這是一個幾何學問題，叫做“一筆畫”，源于十八世紀的哥尼斯堡。

十八世紀的哥尼斯堡，是東普魯士一座不大的城市，位于普累格河兩岸。二戰以后，根據《波茨坦協定》，哥尼斯堡劃歸蘇聯，并更名為加里寧格勒，現為俄羅斯加里寧格勒州首府。

當時河中有兩個島，一個島的兩側分別有兩座橋與河的兩岸相連，另一個島的兩側分別有一座橋與河的兩岸相連，兩個島之間亦有一座橋相連，所以一共有七座橋。此處曲徑通幽，輕濤拍岸，又有絢麗的晚霞掠過城堡的尖頂，投射到河面上，波光粼粼；長嘴的白色鵜鶘在水面游弋，悠閑自在；其貌不揚的黑色鸕鶿則在圍獵水中的游魚，忙不迭將叼在嘴中的小魚吞下去。夕陽下游人如織，又有對對情侶在橋邊流連，真是個詩情無限的所在，“美得如一張明信片”。徜徉在旖旎風光中的人們忽發奇想：“一個散步者怎樣能一次走遍七座橋，每座橋只走過一次，最后回到出發點？”沒有人能回答這個問題，人們發現自己給自己找了個難題！

這個挺有意思的問題引起了大數學家歐拉的注意，不由得開動了他那天才大腦，可是他卻說起了日常的小經驗：現實中無論怎樣的走法，總可以用點和線來表達成一個網絡。如果我們從某一點出發，一筆畫出了某個圖形，到某一點終止，那么中間每經過一點，總有畫進那點去的一條線和從那點畫出來的一條線，所以除了起點和終點外，這個圖形的每一點應該和偶數條線相連，如果起點和終點重合，那么連這一點也應該與偶然條線相連，否則就畫不出來。于是催生了一筆畫定理：一筆畫必須是連通的，并且有奇頂點（指從這一點引出的線是奇數條）的個數是0或2（見姜伯駒《一筆畫和郵遞路線問題》），真是讓人茅塞頓開。

歐拉就這樣解決了哥尼斯堡七座橋的難題，結論是：這樣的走法不存在。歐拉將“一筆畫”問題及其研究起了個既形象又新鮮的名稱：位置幾何學，并由此創立了拓撲學。

別小看了“一筆畫”，在優化郵遞線路和規劃公交車路線上有著極大的優勢，運用得好，可大大提高效率并惠及民生。可見，數學家同樣可以“鐘情苦艾，醉眼星空”，在關注詩和遠方的同時，造福于民。我國管谷梅教授早在一九六○年即提出郵遞員問題，取得豐碩成果，在國際圖論界被命名為"中國郵路問題"，載入經典著作中，讓這個古老的難題煥發了青春，中華民族，又在世界幾何學上畫上了濃墨重彩的一筆！

概率論：歪缸里釀出的好酒

如果將數學比做一個百花園，那么概率論就是非常絢麗的一朵，并且越來越艷麗，可是這株燦爛之花卻是從骯臟之處長出來的！你信嗎？

月色下的島嶼朦朧又迷人，海浪正輕吻著島岸發出輕輕的呢喃，一艘三桅船停在島邊，桅尖上飄揚著黑色的旗幟，旗幟上白色的骷髏頭隱約可見……昏黃的光線從船艙里弱弱地蕩了出來，船艙里的人正光著膀子用骯臟的大手興奮地擲著骰子，有的人在豪飲著啤酒，但無一例外眼光里噴射出貪婪。骰子落到桌子上了，滾動著發出嗒啦嗒啦的響聲，緊接著驚叫聲、咒罵聲傳了過來，說不定還會有一場兇狠的斗毆。這就是海盜們在賭博，我們在一些外國電影中見過的場景。

賭博，似乎是人類遺傳的不良基因之一，也是源遠流長的社會痼疾。豈只是海盜賭博？從國王到平民，幾乎都有這一嗜好。即如十七世紀中葉，法國的宮廷里就盛行著擲骰子的賭博方法。就是到了當代，賭博仍風行于世界，只是在一些國家里，賭博視為非法，被嚴加禁止，然而如暗流涌動，偶爾也會翻出大浪。

既然賭博就會有輸贏，既然有輸贏那就誰都想贏或者多贏，于是，數學家就被請出來了。早在十六世紀，意大利的學者吉羅拉莫·卡爾達諾就開始研究擲骰子中的一些簡單問題，后來賭徒們又向法國數學家帕斯卡和費爾馬請教，“基于排列組合方法，研究了一些較復雜的賭博問題，他們解決了分賭注問題、賭徒輸光問題。”于是，概率論就產生了。

波德萊爾有一本詩集叫《惡之花》，是說從罪惡之地亦可開出絢麗的花朵來，亦如我們常說的一句熟語：“歪缸里釀好酒”，概率論的產生正是如此，它源于賭博。

大作家汪曾祺有一個重要的文學主張，就是“寫生活中的可能性”，在這一點上，概率論與汪論是一致的，是一門研究事件發生的可能性的學問。在一定的條件下必定會發生的事件概率為1，必定不會發生的事件的概率為0，可能發生的事件的概率則在0與1之間。在0與1之間，數值越大則表明事件發生的可能性越大，反之則可能性越小。

有意思的是，盡管每一次事件的發生是隨機的，似乎沒什么規律可循，即如我們拋擲硬幣，或許連拋幾次落地后都是正面朝上，反面一次都沒有，如果是打賭，你幾次連賭正面都中了，那只能說明你運氣好，瞎貓撞著了死老鼠，或者說祖墳冒煙了，并不代表這就是規律。那規律是什么呢？如果你拋的次數多了，例于兩萬次以上，那正面朝上的次數就必定是一萬次左右，很接近總數的二分之一，而且拋的次數愈多，愈接近二分之一，這時我們就得出規律性的東西了，硬幣正面朝上的概率是0.5。又如生男生女，幾乎每個國家的男女人數各占總人口的二分之一，所以，如果沒有外在因素干預，生男的概率就是0.5。

概率論的問世，發現了人類活動及自然界演變在數學上的一些規律，它與統計學相結合，又從對人類活動及自然界個別領域的研究拓展到全部領域，這無疑是一個了不起的進程，無不閃耀著人類智慧的光芒。概率與統計，已逐步發展成一門嚴謹且應用十分廣泛的學科。在自然科學、經濟學、醫學、金融學等領域尤其不可或缺，特別是對未來大局的數量預測大有用途，是國家制定政策的有功之臣。各國政府公布的許多數據，都是根據概率統計學推算出來的。當今已進入大數據時代，給概率統計學提供了極為廣闊的天地，深邃的天空、廣袤的大地、綠色的原野、湍急的河流、還有熙熙攘攘的人群、形形色色的野生動物等等都可成為它的研究對象，其作用和地位也將變得越來越重要。

“數學王子”高斯

德國，本來就是一個盛產數學家、哲學家和作曲家的國度。高斯一七七七年四月出生于德國中北部布倫茲維克的一個貧困家庭，父親是個小保險公司的評估師，對高斯十分嚴厲使其養成了誠實謙虛的性格，母親很有智慧卻沒有上過學但全力支持他“鼓搗”數學，聰明的舅舅對他的影響很大，引導他追求學問探究未知。

高斯的聰慧可以說是與生俱來的，或者說，他就是一個天才，一個偉大的天才，他那顆腦袋，是為數學而生的，也是為科學而生的。

高斯三歲時就能指出父親借債帳目上的謬誤，十歲時上小學三年級，因一道算術題讓他譽滿桑梓。一天，數學教師布特納要用“數字長蛇陣”教訓一下這些調皮的小家伙：求1+2+3+4+5+…+98+99+100的和，誰先做出來誰先回家。誰知他的話音剛落，高斯已將答案遞給了他，是寫在石板上的。布特納起初也沒在意，交得早并不等于你做得對啊。但看完全班五十余名學生的作業后，只有高斯的結果是對的。這倒也算不得過人之處，讓布特納大吃一驚的是高斯的解題方法，因為高斯發現了一個規律：1+100=101；2+99=101；3+98=101……就是說，共有50個101相加，即1+2+3……+98+99+100=101×50=5050。如此算法，古也有之，但從沒有誰教過高斯，只能說高斯與“古人暗合”，由此可知高斯的思維是何等的活躍。在相同的時間內，獲得比別人多的學問，那叫天賦；用比別人多的時間獲得和別人相同的學問，那叫刻苦。可見，高斯是有天賦的。

青青小草，迎風起舞。在數學的高原上，高斯已顯示自己的勃勃生機與靈性，可另一個世界幾何難題的解決，則讓高斯一夜之間變成了一棵大樹，從而讓人們發現了這個天才。

只用直尺和圓規作正十七邊形，這個故事頗有戲劇性。高斯的中學（一說大學）數學教師也是一位知名的數學家，對高斯自然是特別關心，常常借數學書給高斯研讀，還常給他數學難題做。有一天早晨，神情疲憊的高斯拿著一卷紙交給數學老師說，您這個題目真有點難，我也真笨，做了一個通宵才有了結果，也不知道解法對不？數學老師說，這段時間我沒有給你布置題目啊！高斯說，您借我的書里夾的紙條上就是這個題目哦。老師一聽，趕忙打開紙卷看起來，一會兒竟至于雙手都顫抖了：我說高斯，你太了不起了，你解決了一個世界難題！

原來，數學老師苦心鉆研只用直尺和圓規作正十七邊形有好多年了，可是沒有結果，他將這個世界難題寫在小紙片上隨意夾進了書里。高斯看到后以為是老師要他做的題目，于是便認真解答起來，可是這題目居然讓高斯皺起了眉頭，圓規在紙上舞蹈，曲線在圖上逶迤，直尺在紙上縱橫馳騁，直線射線在圖上貫通，從華燈初上到夜深人靜，毫無進展，又從萬籟俱寂到旭日初升才有所發現。而對于此時的高斯來說，意味著兩道曙光同時升起：晨曦初露是自然界的曙光，求解難題也摸到了竅門，看到了曙光。但他拿不準，便來找老師請教。

一個自古希臘以來兩千多年困擾諸多數學大師如阿基米德、牛頓等的世界難題就被高斯一夜之間破解了！時在一七九六年三月三十日，高斯十九歲。高斯后來回憶說：“如果有人告訴我，那是一道千古難題，我可能永遠也沒有信心將它解出來。”

高斯一生低調、緘默，有一百五十五篇論文，許多數學成果沒有發表。一八九八年偶然在高斯孫子保存的遺物中發現了一本筆記，上面記錄了一百四十六條新發現或定理的證明。所以有人評價高斯：“這個人，就像狐貍似的，把沙土上留下的足跡，用尾巴全部掃掉。”狐貍是狡猾的，但高斯卻是忠誠的，謹慎的，他擔心自己的研究成果不嚴謹，擔心謬種流傳，所以從不輕易發表。可事實與他想象的恰恰相反，他的推論和演算天衣無縫，無懈可擊，他還修正了其他數學家成果中論證不準確之處。由此，足可見高斯人格的偉大！偉大不必張揚，深刻何須表露！

“高斯和阿基米德、牛頓、歐拉并列為世界四大數學家。一生成就極為豐碩，以他名字“高斯”命名的成果達一百一十個，屬數學家中之最。他對數論、代數、統計、分析、微分幾何、大地測量學、地球物理學、力學、靜電學、天文學、矩陣理論和光學皆有貢獻。”

高斯曾在哥廷根大學就讀、執教并創立哥廷根學派，先后又有黎曼、狄利克雷、雅可比、希爾伯特、克萊因等大數學家在此任教，使哥廷根數學學派進入了全盛時期。至二十世紀初，哥廷根已成為世界數學的中心，成為數學家心中的燈塔，“打起你的背包，到哥廷根去”，一時宛若長鯨向海，旅鳥歸林。

高斯去逝后，哥廷根大學為他立的紀念碑的底座就是正十七邊形，高斯的頭像還曾印在德國鈔票馬克上。高斯是一面旗幟，永遠飄揚在數學珠穆朗瑪峰的尖頂，高斯是啟明星，永遠閃耀在數學的天空！

當哲學和數學結為伉儷……

“哲學雖無小用，但有大用；雖無近用，但有遠用；雖無淺用，但有深用”。哲學和任何一門科學的有機結合，都會使之發生翻天覆地的變化，哲學和文學的結合，常常催生出大作家大詩人，如薩特、泰戈爾等。而杰出的數學家幾乎個個都是哲學家。

哲學和數學結成伉儷，“金風玉露一相逢，便勝卻、人間無數。”生下了許多寶貝，其中的一個還是超級寶貝，這寶貝威力可大了，比中國神話傳說中的哪吒還厲害，比起孫悟空還神通廣大，這便是微積分。

在十七世紀微積分發明之前，初等數學對許多問題束手無策，比如運動物體的瞬時速度，曲線的長度，曲面的面積等等。

詩生澤畔，理出山丘，那微積分的靈思妙想又出自哪里？

用通俗的語言來準確表述微積分是困難的，只能說個大概：微分就是將研究對象依照一定的規律分割成無窮小的部分進行研究，而積分則是將無窮小的部分也依照一定的規律累加起來進行研究，這里所說的規律就是指函數關系，積分是微分的逆運算。

讓中華民族值得驕傲的是，三國時期的劉徽的“割圓術”其實就已包含微積分基本原理：當圓的內接正多邊形的邊數無限增加時，正多邊形的每條邊的長度無限接近對應的圓弧的長度，這就是極限的概念，如果用一個函數來表達，就是微分的概念；將正多邊形無限條邊累加起來，正多邊形的周長就無限接近圓的周長，這便是積分的概念。

但我們并不能以此為由，對劉徽沒有創建類似微積分的數學體系而求全責備，因為微積分理論的大廈，不是一蹴而就的，而是幾代數學家經年累月共同“砌筑”才建成并“裝修”好的，但大廈的設計者還是牛頓和萊布尼茲。

世間萬事萬物都在運動變化中，如朝暉夕陰，月圓月缺，山呼海嘯，江河奔流，春耕夏耘，秋收冬藏。無論是微分過程還是積分過程，也是一種運動的過程，研究的量都是“變量”，都在不停的變化之中。它研究運動中的數學問題，同時以運動的方法論研究數學問題。

微積分中的運動和變化的概念，有限和無限的概念，完全是基本的哲學思想，可見哲學在微積分的創立中扮演了多么重要的角色。

莊子說，“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，也就是說，這個棰是無限可分的；又如劉徽所說“割之彌細，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無所失矣。”這些都是極根的概念，而極限，正是微積分的基石。

牛頓和萊布尼茲同時發明了微積分，這是個讓人詫異的結論，難道真如中國流行的一句成語：“英雄所見略同”？世上真有如此巧合之事？由此大英帝國與歐洲大陸各國還爆發了一場長達一個多世紀的論戰，并指責萊布尼茲剽竊了牛頓的成果。而事實是，牛頓研究微積分在先，成果發布在后；萊布尼茲研究在后，成果卻發布在先。于是，后人干脆將微積分的關鍵公式稱為“牛頓—萊布尼茲公式”，這樣才算平息了這場戰火。

后來，又經過柯西、維爾斯特拉斯等數學家進一步整理并嚴格化、規范化，堵塞了許多漏洞，微積分理論終于周密完善，固若金湯，無懈可擊。

忽如一夜春風來，千樹萬樹梨花開！微積分大廈的建成，是世界數學史上的里程碑，也是人類值得驕傲的偉大發現！幾乎所有的自然科學，都要用到微積分運算，就是一些社會科學的研究，也離不開微積分。即如天氣預報，明天或者后天是風和日麗呢還是大雨滂沱呢抑或陰霾籠罩？俗有“天有不測風云”之說，可見并非易事，但用偏微分方程卻能搞定。

人類思維能夠達到的地方，也許就是數學能夠達到的地方，至少在目前，微積分是數學神器上的解碼器。

責任編輯：易清華