對橢圓周長精細(xì)化的探究

左茂雄

摘要：本文借助切筒法給出橢圓周線的展開線分布函數(shù)，用二次曲線高精度近似模擬橢圓周長線，給出一系列較高精度的橢圓周長公式，給出了N等分橢圓面積的方法，開辟了橢圓積分的最新方法。

關(guān)鍵詞：切筒法橢圓周展開線;高精度橢圓周長公式;N等分橢圓面積;橢圓積分新方法

0 引言

1827年挪威最為著名的天才數(shù)學(xué)家阿貝爾發(fā)表了橢圓函數(shù)，以此為出發(fā)點(diǎn)相繼展開了對橢圓周長、三類橢圓積分的研究工工作，后經(jīng)過雅可比、歐拉、勒讓德和高斯等著名數(shù)學(xué)家的艱苦卓絕的努力得以發(fā)展。

橢圓周長公式L=4a∫0π/2（1-e2sin2θ）0.5dθ，（e=c/a，a2=b2+c2）。

1 切筒法求橢圓函數(shù)

1.1橢圓方程

設(shè)一個(gè)圓柱，底部的圓半徑為b，正向傾斜切圓柱，切口高低點(diǎn)間距為2a，切口將形成長軸為2a，短軸為2b的橢圓。

設(shè)切口面與圓筒底面的夾角為α，則cosα=b/a，取長軸在底面的豎直投影為x軸，進(jìn)一步在圓筒底面建立y軸。由圓方程有x2+y2=b2①。

然后取切口低高點(diǎn)為x'軸，筒底圓面正上方建立y'軸，由空間幾何關(guān)系得

x'=x/（cosα）=x/（b/a）=ax/b，而y'=y，均代入①得（bx'/a）2+y'2 =b2②。

②變形得（x'/a）2+（y'/b）2=1③，切口為標(biāo)準(zhǔn)橢圓。

1.2橢圓函數(shù)

以圓筒最低切口點(diǎn)為起點(diǎn)，把圓筒切口帶圓筒對應(yīng)的側(cè)面沿著逆時(shí)針方向展開一周。本文以過圓筒切口的-y'軸為X軸，切口的展開線沿著圓柱側(cè)面豎直向上的方向?yàn)閅軸。

在過圓筒切口最低點(diǎn)的圓底面的坐標(biāo)系oxy系中，取一象限輻角θ，則底圓周一象限的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為（bcosθ，bsinθ），進(jìn)一步向上平移c（而a2=b2+c2）建立豎直向上的z軸，圓柱切口面在坐標(biāo)系oxyz系中，對應(yīng)的法向矢量n為（0，-c，b），取圓筒切口上頂點(diǎn)……