礦柱流變對采空區頂板穩定性的影響

巨未來，王文杰

(1.武漢科技大學資源與環境工程學院，湖北 武漢 430081；2.冶金礦產資源高效利用與造塊湖北省重點實驗室，湖北 武漢 430081)

0 引 言

為保障因地下開采所形成采空區的安全，生產礦山往往留有一定規模的保安礦柱或采區間柱[1-2]，采空區頂板在礦柱支撐作用下將保持一段時期的穩定。但隨著時間推移，采空區礦柱因自身流變、地下水侵蝕、爆破振動等因素影響，自身巖體強度大幅降低，易導致采空區頂板-礦柱體系局部破裂直至坍塌，造成采空區頂板冒落氣浪沖擊或地表塌陷等礦山安全事故[3-5]。因此，研究采空區頂板-礦柱支撐體系破壞的時效過程，預測采空區頂板-礦柱支撐體系的維穩時間，可為及時制定合理的采空區危害防治措施提供科學根據。

目前，針對采空區頂板破壞理論分析方面的研究多基于簡支梁[6-7]或彈性薄板理論[8-10]，這種簡化方式雖使計算簡化，但由于條件的簡化無法考慮到頂板的空間效應及頂板內的剪切變形，存在一定局限性。對于金屬礦采空區來說，因其地質條件、賦存環境等更為復雜，致使頂板厚度h同頂板寬度w的比例一般不滿足彈性薄板的要求(h/w<1/5時，稱為薄板)。相較于薄板理論，中厚板理論在分析板的受力變形過程中，既考慮了拉應力的作用，同時包含了橫向剪切的作用。因而應用中厚板理論來簡化頂板并研究頂板的變形過程更符合實際要求。此外，大量工程實踐表明，諸多巖石工程的失穩現象都與巖石流變特性有關[11]，礦體開挖形成的空區在初期階段會保持一定穩定性，但隨著時間推移，巖體在自身流變作用下發生蠕變變形，最終可能導致巖體工程的失穩破壞。基于此，本文以Reissner厚板理論構建采空區頂板礦柱力學模型，研究礦柱流變作用下頂板破壞的時效過程，分析并預測頂板維穩時間。

1 頂板-礦柱流變力學模型

基本假設：①頂板上覆巖層的自重視為均布荷載q0；②頂板近似看作矩形板；③考慮流變力學的復雜性，不考慮頂板的流變作用，頂板視為彈性厚板；④礦柱近似等距分布且數量n足夠多。采空區頂板簡化模型如圖1所示，頂板長邊為a，寬為b，板厚為h，頂板巖體彈性模量為E，泊松比為v，容重為r，頂板極限抗拉強度為[σT]。所有礦柱視為同性質同規格的黏彈性體，并用廣義Kelvin體表征其本構關系，礦柱高度為H，平均橫截面積為A，礦柱所承受的載荷按均布受荷處理。頂板礦柱力學簡化模型見圖2。

圖1 頂板簡化模型Fig.1 Roof simplification model

圖2 簡化的頂板-礦柱力學模型Fig.2 Simplified roof-pillar mechanics model

礦柱的應力應變關系用廣義開爾文[12](modified Kelvin)體描述，其本構方程見式(1)。

(1)

式中：σ為礦柱應力;E1為虎克體彈性系數;E2、η分別為凱爾文體的彈性和黏性系數;dσ/dt、dε/dt分別為應力對時間的導數和應變速率。

根據Reissner厚板理論[13]，采空區頂板的控制方程見式(2)。

(2)

式中：D=Eh3/[12(1-v2)]，為頂板的抗彎剛度；▽2為拉普拉斯算子；w為頂板撓度函數；h為板厚；q為頂板荷載；λ為礦柱總截面與頂板面積比。

考慮到q和λσ為均勻荷載，因此將式(2)簡化為式(3)。

D▽2▽2w=q-λσ

(3)

礦柱應變與變形位移的關系見式(4)。

ε=w/H

(4)

聯立式(1)和式(3)可得式(5)。

(5)

式(5)為基于厚板理論的采空區頂板-礦柱系統流變微分方程。

設頂板變形下沉撓度函數為w=wtf(x,y)，wt是頂板中央最大下沉量關于流變時間的函數。采用伽遼金法求解式(5)，則得式(6)。

(6)

根據式(7)可將式(6)簡化為式(8)。

?f2dxdy=α1,

?▽2▽2f2dxdy=α2,

?fdxdy=α3

(7)

(8)

求解式(8)得式(9)。

wt=ce-n1t+n2

(9)

式中：c為積分常數，可由初始變形條件確定;n1=m2/m1;n2=m3/m2。

2 頂板失穩破壞過程計算分析

1) 當采空區頂板未發生破壞時，頂板四邊都為固支，此時頂板的邊界條件見式(10)。

(10)

根據邊界條件，當頂板四邊為固支時，取撓度試函數見式(11)。

w=wtf(x,y)=

(11)

可以看出，f(x,y)滿足此固支頂板所有邊界條件，將式(11)帶入式(7)，積分計算可得：α1=0.165ab，α2=5.944/ab+5.202(b/a3+a/b3)，α3=0.285ab。

初始階段，礦柱在頂板自重及上覆巖層壓力作用下，首先會產生瞬時彈性變形，此時等效礦柱的有效剛度為k′，式(3)變為式(12)。

D▽2▽2w+k′w=q

(12)

求解式(12)得頂板變形下沉位移w0為式(13)。

(13)

根據Reissner厚板彎矩公式求得頂板四個邊的中點處彎矩最大，即在(a/2,0)和(a/2,b)處，Mx達到最大，見式(14)。

(14)

由最大彎矩公式可知，頂板長邊邊長a>b，|Mx|>|My|，頂板長邊將先于短邊發生破裂，采空區頂板長邊最大應力為式(15)。

(15)

當|σxmax|≥[σT],即頂板長邊最大應力大于頂板的極限抗拉強度時，頂板長邊發生破裂，此時，采空區頂板并未發生整體失穩，而在長邊邊界處形成塑性鉸，短邊依舊為固支，頂板由四邊固支狀態變為固支-簡支狀態，由頂板長邊最大應力和極限抗拉強度關系可求解頂板由四邊固支變為固支-簡支時的極限沉降位移。

2) 當采空區頂板由固支變為固支-簡支狀態后，此時頂板的邊界條件為式(16)。

(16)

根據頂板的邊界條件，取頂板撓度試函數為式(17)。

(17)

顯然，f(x,y)滿足頂板邊界條件，將f(x,y)帶入式(7)，可得

頂板在短邊中點處彎矩達到最大，即在(0，b/2)和(a，b/2)處彎矩最大，值的計算見式(18)。

(18)

則頂板短邊處最大應力為式(19)。

(19)

當|σymax|≥[σT],即頂板短邊最大應力大于等于頂板巖體極限抗拉強度時，頂板短邊發生破裂，此時頂板未發生整體性失穩，頂板短邊出現塑性鉸，頂板由固支-簡支狀態變為完全簡支狀態，可根據短邊最大應力關系求解頂板長邊破裂到短邊破裂過程的極限沉降位移。

3) 當采空區頂板四邊由固支變為簡支后，邊界塑性區開始向頂板內部延伸，當四邊塑性區在頂板內部匯聚時，頂板出現失穩，此時的頂板邊界條件為式(20)。

(20)

假設此時的頂板撓度試函數為式(21)。

(21)

對于四邊簡支的采空區頂板，在頂板中心處，頂板應力最大，即在(a/2,b/2)處，達到最大，分別為式(22)和式(23)。

(22)

(23)

當頂板中心最大應力滿足|σxmax|≥[σT]和|σymax|≥[σT]時，頂板中心發生失穩，可根據此時頂板中心最大應力關系求解頂板由簡支狀態到發生內部失穩破壞的極限沉降位移：沿x方向的位移wx、沿y方向的位移wy。

根據以上計算分析，采空區頂板發生破壞經歷了四個主要階段：固支階段、固支-簡支階段、簡支階段、中心破壞階段。 由上述公式可求解出各階段頂板沉降位移，代入式(9)即可求出各階段沉降時間。

3 案例分析

以貴州省某金礦為例，該礦采用全面法進行礦山開采，采場內留有支撐礦柱，空區上覆巖層厚度約為h1=150 m，上覆巖層平均容重為r1=24 kN/m3，頂板巖體為穩定性較差的軟質巖，厚度h=48 m，容重約為r=23 kN/m3，近似將采空區看作矩形區域，頂板長度約為120 m，寬度約為115 m，彈性模量為11.2 GPa，泊松比為0.28，頂板巖石極限抗拉強度為[σT]=4.08 MPa，礦柱平均高度約為H=2.2 m，礦柱總橫截面積占頂板總面積約為λ=34.4%,相關流變參數為E1=4.1 GPa，E2=261.21 MPa，η=26.25 GPa·d。計算過程如下所述。

1) 頂板上的均布荷載q=h1r1+hr=150×24+48×23=4.704 MPa；

2) 頂板的抗彎剛度D=Eh3/(12×(1-v2))=110×106MPa·m3；

3) 礦柱初始彈性變形階段頂板下沉位移由式(13)計算得w0=0.382 cm；

4 結 論

1) 基于Reissner厚板理論建立了采空區礦柱-頂板系統力學模型，結合礦柱流變本構方程推導出頂板變形下沉位移關于流變時間的公式，該力學模型能夠更好地反映頂板-礦柱體系的受力特征。

2) 根據各邊界條件計算分析結果，隨著礦柱流變變形，頂板在下沉過程中長邊邊界中點將最先發生破壞并向兩側擴展；之后短邊中點將發生破壞，并逐漸發展至頂板四周破壞，破壞區開始向內部延伸，直至頂板發生整體失穩。

3) 頂板下沉量隨礦柱流變時間增長而增加，計算所得頂板破壞時間可為采空區及時處理提供一定參考依據。