例說(shuō)導(dǎo)數(shù)解答題分類(lèi)討論時(shí)“界點(diǎn)”如何確定

■河南省許昌市第五高級(jí)中學(xué)

在高考試卷中,每年都要設(shè)計(jì)一道導(dǎo)數(shù)綜合型大題,主要涉及利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等問(wèn)題。導(dǎo)數(shù)已由解決問(wèn)題的輔助工具上升為解決問(wèn)題的必備工具,同學(xué)們應(yīng)熟練掌握這一工具,并將試題進(jìn)行分解,逐一突破,靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想、函數(shù)方程思想分析解決問(wèn)題。不少同學(xué)利用分類(lèi)討論思想解“界點(diǎn)”確定問(wèn)題時(shí)感到困難,下面舉例說(shuō)明“界點(diǎn)”如何確定,望對(duì)同學(xué)們能有所幫助。

一、根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)確定分類(lèi)“界點(diǎn)”

例1已知函數(shù)f(x)=lnx+x+1,g(x)=x2+2x。

(1)求函數(shù)φ(x)=f(x)-g(x)的極值;

(2)若m為整數(shù),對(duì)任意的x＞0 都有f(x)-mg(x)≤0成立,求實(shí)數(shù)m的最小值。

解析：(1)由φ(x)=f(x)-g(x)=lnx+x+1-x2-2x=lnx-x2-x+1(x＞0),得。

令φ′(x)＞0,解得0＜x＜;

令φ′(x)＜0,解得。

所以函數(shù)φ(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是,函數(shù)φ(x)的極大值是,函數(shù)φ(x)無(wú)極小值。

(2)設(shè)h(x)=f(x)-mg(x)=lnxmx2+(1-2m)x+1。

當(dāng)m≤0時(shí),因?yàn)閤＞0,所以2mx-1＜0,x+1＞0,h′(x)＞0,h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

又因?yàn)閔(1)=ln 1-m×12+(1-2m)+1=-3m+2＞0,不滿(mǎn)足題意,所以舍去。

當(dāng)m＞0 時(shí),令h′(x)＞0,得0＜x＜;令h′(x)＜0,得。

故h(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減。

所以h(x)max=。

令t(m)=-ln (2m)(m＞0),顯然t(m)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,且＞0,t(1)=(1-ln 16)＜0,故當(dāng)m≥1時(shí),t(m)＜0,滿(mǎn)足題意,整數(shù)m的最小值為1。

點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中含有二次三項(xiàng)式,需對(duì)最高項(xiàng)的系數(shù)分類(lèi)討論：

(1)根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)是否為0,判斷函數(shù)是否為二次函數(shù);

(2)由二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù),判斷二次函數(shù)圖像的開(kāi)口方向,從而尋找導(dǎo)數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)。

二、根據(jù)判別式確定分類(lèi)“界點(diǎn)”

例2已知函數(shù)f(x)=(1+ax2)ex-1,當(dāng)a≥0時(shí),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性。

解析：由題意得：

f′(x)=(ax2+2ax+1)ex。

當(dāng)a=0時(shí),f′(x)=ex＞0,此時(shí)f(x)在R 上單調(diào)遞增。

當(dāng)a＞0時(shí),方程ax2+2ax+1=0的判別式Δ=4a2-4a。

①當(dāng)0＜a≤1時(shí),Δ≤0,ax2+2ax+1≥0恒成立,所以f′(x)≥0,此時(shí)f(x)在R 上單調(diào)遞增。

②當(dāng)a＞1 時(shí),令f′(x)=0,解得x1=。

當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化情況如表1：

表1

所以f(x)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減。

綜上,當(dāng)0≤a≤1時(shí),f(x)在R 上單調(diào)遞增;當(dāng)a＞1時(shí),f(x)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減。

點(diǎn)睛：求導(dǎo)后,要判斷導(dǎo)函數(shù)是否有零點(diǎn)(或?qū)Ш瘮?shù)式子能否分解因式),若導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)或與二次函數(shù)有關(guān),此時(shí)涉及二次方程問(wèn)題,Δ與0的大小關(guān)系往往不確定,必須尋找分界點(diǎn)進(jìn)行分類(lèi)討論。

三、根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的大小確定分類(lèi)“界點(diǎn)”

例3已知f(x)=(x2-ax)lnx-+2ax,求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間。

解析：易得f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)。

f′(x)=(2x-a)lnx+x-a-3x+2a=(2x-a)lnx-(2x-a)=(2x-a)(lnx-1)。

令f′(x)=0,得x=或x=e。

(1)當(dāng)a≤0時(shí),因?yàn)閤＞0,所以2x-a＞0。

令f′(x)＜0,得0＜x＜e,所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,e)。

(2)當(dāng)a＞0時(shí)：

綜上所述,當(dāng)a≤0時(shí),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,e);當(dāng)0＜a＜2e時(shí),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為;當(dāng)a=2e時(shí),f(x)無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間;當(dāng)a＞2e時(shí),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為。

點(diǎn)睛：(1)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的“零點(diǎn)”劃分定義域時(shí),既要考慮導(dǎo)函數(shù)“零點(diǎn)”是否在定義域內(nèi),還要考慮幾個(gè)“零點(diǎn)”的大小問(wèn)題,如果幾個(gè)“零點(diǎn)”的大小關(guān)系不確定,也需要分類(lèi)討論;

(2)導(dǎo)函數(shù)“零點(diǎn)”可求,可根據(jù)“零點(diǎn)”之間及“零點(diǎn)”與區(qū)間端點(diǎn)之間的大小關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)討論,本題先根據(jù)零點(diǎn),e之間的大小關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)討論,再利用導(dǎo)數(shù)研究其函數(shù)的單調(diào)性。

四、根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)與定義域的關(guān)系確定分類(lèi)“界點(diǎn)”

例4已知函數(shù)f(x)=-alnx-+ax,a∈R。

(1)當(dāng)a＜0時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;

(2)設(shè)g(x)=f(x)+xf′(x),若關(guān)于x的不等式g(x)≤-ex++(a-1)x在[1,2]上有解,求a的取值范圍。

解析：(1)由題意知,f′(x)=--。

當(dāng)a＜0時(shí),ax-ex＜0恒成立。

所以當(dāng)x＞1時(shí),f′(x)＜0;當(dāng)0＜x＜1時(shí),f′(x)＞0。

故函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減。

(2)因?yàn)間(x)=f(x)+xf′(x),所以g(x)=-alnx-ex+2ax-a。

由題意知,存在x0∈[1,2],使得g(x0)≤+(a-1)x0成立。

也即存在x0∈[1,2],使得-alnx0+(a+1)x0--a≤0成立。

令h(x)=-alnx+(a+1)x--a,x∈[1,2]。

則h′(x)=+a+1-x=,x∈[1,2]。

①當(dāng)a≤1時(shí),h′(x)≤0,所以函數(shù)h(x)在[1,2]上單調(diào)遞減,h(x)min=h(2)=-aln 2+a≤0成立,解得a≤0,a≤0。

②當(dāng)1＜a＜2時(shí),令h′(x)＞0,解得1＜x＜a;令h′(x)＜0,解得a＜x＜2。所以函數(shù)h(x) 在[1,a]上單調(diào)遞增,在[a,2]上單調(diào)遞減。

又因?yàn)閔(1)=,所以h(2)=-aln 2+a≤0,解得a≤0,與1＜a＜2矛盾,舍去。

③當(dāng)a≥2時(shí),h′(x)≥0,所以函數(shù)h(x)在[1,2]上單調(diào)遞增,h(x)min=h(1)=＞0,不符合題意,舍去。

綜上所述,a的取值范圍為(-∞,0]。

點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)是否在定義域內(nèi)? 零點(diǎn)將定義域劃分為哪幾個(gè)區(qū)間? 若不能確定,則需要分類(lèi)討論。本題根據(jù)函數(shù)h′(x)的零點(diǎn)a是否在定義域[1,2]內(nèi)進(jìn)行討論,利用導(dǎo)數(shù)的工具性得到函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性,從而可得最值,判斷所求最值與已知條件是否相符,從而得到參數(shù)的取值范圍。