提高解決數列問題能力的幾個對策

■福建省龍巖市永定區城關中學 (特級教師)

一、重視基本量解題意識，厘清知識網絡，切實掌握數列的概念與性質

在高考試題中,選擇題和填空題主要考查等差數列、等比數列的性質,解答題主要考查等差數列、等比數列的通項與前n項和公式及簡單的遞推關系(主要是Sn與an的關系),一般是中檔題,注重通性通法。而等差、等比數列常涉及a1,an,n,d(q),Sn五個量和兩組基本公式,而這兩組公式可看作多元方程,利用這些方程可將等差、等比數列中的運算問題轉化為解關于基本量的方程(組),所以加強用基本量法解題是一種常用且行之有效的方法。

例1(2019年福建省高三畢業班質量檢測卷文科第3題)等差數列{an}的前n項和為Sn,且a8-a5=9,S8-S5=66,則a33=( )。

A.82 B.97 C.100 D.115

解法1：設等差數列{an}的公差為d。

所以a33=a1+32d=100,選C。

解法2：設等差數列{an}的公差為d。

因為a8-a5=3d,S8-S5=3a7,依題意解得d=3,a7=22。

所以a33=a7+26d=22+26×3=100,選C。

點評：先根據等差數列的定義,再利用已知條件列出首項和公差滿足的方程組并求解,即可解決問題;或者根據等差數列的性質,分別求出公差和a7,即可迅速求解。

二、重視公式的應用

數列的運算,高考中常見的是用有關公式和性質求解一些基本量的問題,an與Sn的關系也是高考考查的熱點。

例2已知等差數列{an}的前n項和為Sn,且a2=2,S5=15。數列{bn}的前n項和Tn滿足Tn=(n+5)an。

(1)求an;

解析：(1)設等差數列{an}的公差為d,依題意知。

解得a1=d=1。因此,an=n。

(2)由(1)得an=n,所以Tn=n(n+5)。

當n≥2 時,Tn-Tn-1=n(n+5)-(n-1)(n+4)=2n+4;

當n=1時,b1=T1=6也滿足上式。

所以bn=2n+4(n∈N*)。

當n=1時,P1=,也滿足上式。

綜上可得Pn=。

例3已知數列{an}滿足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2),求{an}的通項公式。

解析：因為an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2),所以an-1=a1+2a2+3a3+…+(n-2)·an-2(n≥3)。

兩式相減得an-an-1=(n-1)an-1,即=n(n≥3)。

因為a2=a1=1,所以an=n=。

又因為a1=1不適合上式,a2=1適合上式,所以an=。

三、合理選擇運算途徑

從多年高考對數列考查的趨勢看,兩類特殊數列基本量的計算、兩類特殊數列的定義與通項an的求法及數列求和方法等是考查的重點。同學們解題時只有合理選擇運算方法才能簡化運算過程(如,經常要把作為整體代換)。

例4(2019年福建省高三畢業班質量檢查測卷文科第12 題)數列{an}中,a1=2,且an+an-1=+2(n≥2),則數列的前2 019項和為( )。

解析：由題意得=n+2(anan-1),即。

兩邊配方整理得(an-1)2-(an-1-1)2=n。

由累加法可得(an-1)2-(a1-1)2=2+3+…+n(n≥2)。因為(a1-1)2=1,所以(an-1)2=(n≥2)。

又a1=2 也滿足上式,所以(an-1)2=(n∈N*)。

點評：只要通過去分母、配方將條件中的遞推關系轉化為(an-1)2與(an-1-1)2間的關系,用“累加法”求出(an-1)2的表達式,再利用“裂項相消法”即可求解。

四、強化合情推理的訓練

數列是按一定次序排列的一列數,這決定了數列解題中離不開規律性和技巧性的探究,故靈活應用合情推理方法解決數列問題就顯得尤為重要。

例5無窮數列{an}由k個不同的數組成,Sn為{an}的前n項和。若對任意n∈N*,Sn∈{2,3},則k的最大值為______。

解析：當n=1時,a1=2或a1=3。當n≥2時,若Sn=2,則Sn-1=2,于是an=0;若Sn=3,則Sn-1=3,于是an=0。從而存在k∈N*,當n≥k時,ak=0。其中數列{an}：2,1,-1,0,0,0,…,滿足條件,所以kmax=4。

點評：本題主要考查同學們的邏輯推理能力。從研究Sn與an的關系入手,推斷數列的構成特點,解題時應特別注意對“數列{an}由k個不同的數組成”和“k的最大值”的理解。

例6若a,b是函數f(x)=x2-px+q(p＞0,q＞0)的兩個不同的零點,且a,b,-2這三個數適當排序后可成等差數列,適當排序后也可成等比數列,則p+q的值等于_____。

解析：由韋達定理得a+b=p,a·b=q,則a＞0,b＞0。當a,b,-2適當排序后成等比數列時,-2必為等比中項,故a·b=q=4,b=。當適當排序后成等差數列時,-2必不是等差中項,當a是等差中項時,2a=-2,解得a=1,b=4;當是等差中項時,=a-2,解得a=4,b=1。

綜上所述,a+b=p=5,p+q=9。

點評：本題以零點為載體考查等比中項和等差中項等基礎知識,考查分類討論思想,也考查了邏輯推理能力。

五、關注數列的簡單應用

新定義題型是高考試題永不過時的創新題型,也是傳承高考試題革新的重要途徑和手段。在近幾年高考中以數列知識為背景滲透數學優秀傳統文化的題型經常出現,這類題以新課標教材內容為背景,給出某種新概念、新公式或新符號等,要求同學們在理解相關新概念、新公式或新符號之后,運用所學知識,結合已掌握的技能,通過推理、運算等尋求問題解決。

例7艾薩克·牛頓(1643 年1 月4日—1727年3月31日)英國皇家學會會長,英國著名物理學家,同時在數學上也有很多杰出的貢獻。牛頓用“作切線”的方法求函數f(x)零點時給出一個數列{xn},滿足xn+1=,把該數列稱為牛頓數列。如果函數f(x)=ax2+bx+c(a＞0)有兩個零點1,2,數列{xn}為牛頓數列,設an=,已知a1=2,xn＞2,則數列{an}的通項公式an=______

解析：因為函數f(x)=ax2+bx+c(a＞0)有兩個零點1,2,所以：

又因為an=,且a1=2,所以an+1=2an,即數列{an}為等比數列,且{an}的通項公式an=2n。

點評：本題的難點在于得到xn+1=后如何繼續下去。需要對問題有整體性的理解與把握,與后面的an=建立聯系,即可想到要計算xn+1-2和xn+1-1的值,體現了綜合法與分析法的結合。