分數階RLβCα帶阻濾波電路特性研究

周 瑞,李夢瓏,2,胡國珍,章 磊,關若飛

(1.湖北理工學院 電氣與電子信息工程學院, 湖北 黃石 435003; 2.武漢科技大學 機械自動化學院,武漢 430081)

0 引 言

分數階微積分理論由于長期缺少應用背景支撐而發展緩慢，沒有得到較多的研究和關注。直到Mandelbort[1]指出，在自然界以及許多科學技術領域存在大量的分數維事實，分數階微積分理論才得以迅速發展。21世紀，分數階微積分建模方法和理論在混沌系統[2-3]、信號處理與控制[4-6]等諸多領域已有較大研究發現和進展，凸顯了其獨特優勢和不可替代性，其理論和應用研究在國際上已成為一研究熱點。

非線性電路理論方面，研究結果表明分數階微積分建立的實際電容和實際電感的數學模型更能準確地反映其電特性，分數階的電容器與電感器相繼被制造出來，充分說明實際電感與電容元件的分數階本質特性[7-9]。目前，分數階非線性電路理論已取得初步研究成果[10-15]。但是，RLC濾波電路其中作為一重要帶阻濾波電路模型，分數階下電路特性與濾波性能仍尚待進一步研究。

本文將RLC帶阻濾波電路拓展至分數階領域，利用分數階微積分理論，建立新的分數階濾波電路模型，對其新的電路特性和濾波性能進行系統的理論演繹分析和數值仿真研究。

1 阻抗特性

由圖1，根據分數階電路理論，易知分數階RLβCα帶阻濾波電路阻抗表達式：

(1)

進一步，阻抗模

(2)

圖1 分數階RLβCα帶阻濾波電路結構圖

由式(2)，很難直觀獲得分數階階次α、β等系統參數對分數階濾波電路影響規律。因此，給出如圖2、3仿真實驗結果。

觀察圖2(a)，隨分數階階次α增大，分數階濾波電路阻抗先緩慢增大，后迅速減小;當且僅當α=2時，阻抗值取最小;當α<1.5時，α對阻抗影響微乎其微。觀察圖2(b)，阻抗隨分數階階次β增大迅速增大，即較小β可獲得較小的阻抗值。此外，阻抗隨頻率f增大而增大。

(a) β=0.8

(b) α=0.8

(a) C=0.1 μF

(b) L=0.1H

由圖3，分數階濾波電路阻抗隨L及C增大而增大，即阻抗與L、C具有正相關性。

2 阻抗靈敏度

據上分析，系統參數對阻抗影響程度大小不一。因此，非常有必要進一步探究電路阻抗值對系統各參數靈敏度變化規律。一方面，通過選擇高靈敏度系統參數可迅速獲得理想電路阻抗; 另一方面，電路阻抗優化也可通過高靈敏度系統參數選取迅速獲得。

根據相對靈敏度定義，可得:

(3)

圖4中α、β中心階次分別為0.7，0.8。對比觀察，隨分數階階次增大，阻抗靈敏度逐漸增大，且分數階濾波電路阻抗對β具有更大靈敏度值，該結論與圖2相互印證。

由圖5可知，分數階濾波電路阻抗對電感值L具有更高靈敏度，與圖3所得結論一致。

(a) β=0.8

(b) α=0.7

(a) C=0.1 μF

(b) L=0.1H

綜上說明，分數階RLβCα帶阻濾波電路阻抗對β、L具有更高靈敏度，即通過調整β、L可很容易獲得理想分數階濾波電路阻抗。

3 幅頻特性

由圖6知，分數階帶阻濾波電路傳遞函數為

(4)

因此，可得其幅頻響應為

(5)

對比圖7和表1可知，α對低截止頻率幾乎無影響。隨α增大，RLβCα帶阻濾波電路諧振頻率f0逐漸減小，帶阻寬度BW逐漸減小，說明濾波電路分辨力越來越強。此外，濾波電路品質因數Q逐漸增大，說明其頻率選擇性越強。根據Q與阻尼系數ξ代數關系，ξ越來越小，表明濾波電路能量衰耗也會隨α增大而減小。綜上所述，較大α可增大濾波電路頻率選擇性，減小其電路能量衰耗。

圖6 分數階RLβCα帶阻濾波電路輸入輸出關系圖

分析圖8和表2易知，β對高截止頻率無影響。隨著β逐漸增大，分數階帶阻濾波電路諧振頻率逐漸增大，而帶阻寬度變化微乎其微，表明β對濾波電路分辨力影響很小。此外，品質因數逐漸減小，阻尼系數逐漸增大。因此，較小的β可增強濾波電路頻率選擇性，減小其能量損耗。

圖7 不同α下，RLβCα帶阻濾波電路幅頻特性變化規律(L=0.1H，C=0.1 μF，R=10 Ω)

表1 不同α下，濾波電路性能參數表

β=0.8α=0.7α=0.9α=1.0α=1.3α=1.5低截止頻率fL/Hz34.2734.2734.2734.2734.23高截止頻率fH/Hz1.12×1088.81×1051.60×1054.81×1031096諧振頻率f0/Hz6.20×1045.49×1032.34×103406.00193.80帶阻寬度BW/Hz1.12×1088.81×1051.60×1054775.731061.77品質因數Q5.54×10-46.23×10-31.46×10-28.50×10-20.18阻尼系數ξ1.81×103160.5168.4911.765.56

圖8 不同β下，RLβCα帶阻濾波電路幅頻特性變化規律(L=0.1H，C=0.1 μF，R=10 Ω)

表2 不同β下，濾波電路性能參數表

α=0.8β=0.7β=0.9β=1.0β=1.3β=1.5低截止頻率fL/Hz60.8222.2615.887.705.31高截止頻率fH/MHz7.397.397.397.397.39諧振頻率f0/kHz21.212.810.87.546.26帶阻寬度BW/MHz7.397.397.397.397.39品質因數Q2.87×10-31.73×10-31.46×10-31.02×10-38.47×10-4阻尼系數ξ348.43578.03684.93980.391180.64

同樣，為了更好地探究系統參數L與C對RLβCα帶阻濾波電路幅頻特性影響，給出圖9。

(a) C=0.1 μF

(b) L=0.1H

對比圖9(a)與圖8，顯然，L與β對RLβCα帶阻濾波電路幅頻特性具有相同影響規律，即較小的L可增強濾波電路頻率選擇性。對比圖9(b)與圖7，C與α對分數階濾波電路具有相同影響規律，即較大的α可增大濾波電路頻率選擇性。

4 相頻特性

觀察圖10(a)，β、α對濾波電路相頻特性有決定性影響作用，即隨著β增大，濾波電路滯后相位差逐漸減小。分析圖10(b)，相對而言，L對濾波電路相頻特性有決定性作用，且隨著L增大，濾波電路滯后相位差逐漸減小。

(a) L=0.1H，C=0.1 μF

(b) α=0.8，β=0.5

5 結 語

非線性RLC電路作為一重要帶阻濾波電路，本文將其拓展至分數階域，嘗試探究分數階RLC帶阻濾波電路新特性與規律。分數階階次β與電感值L對分數階RLβCα帶阻濾波電路阻抗具有絕對性主導作用;較小β與L、較大α與C可優化濾波電路性能。研究結果表明，分數階RLβCα帶阻濾波電路在電路設計與分析方面具有更多可能性和自由度，不僅豐富了分數階電路理論，而且為電路優化設計提供了理論支撐。