SVM顆粒運動形態及其能量耗散的預測分析

徐志凱，尹忠俊，韓 天

(北京科技大學 機械工程學院，北京 100083)

0 引 言

顆粒阻尼(NOPD)技術是一種將一定數量的金屬或非金屬顆粒填充在振動結構體中，利用顆粒與顆粒以及顆粒與阻尼器內壁之間的碰撞及摩擦來消耗振動體能量的被動控制技術[1]，由于具有結構簡單、減振效果好等優點，廣泛應用于航空航天、機械工程以及土木建筑等領域[2]。

隨著NOPD技術應用領域的不斷拓寬，如何使阻尼器減振效果達到最大化已成為眾多學者研究的方向[3]。目前，絕大多數學者都是通過實驗或者仿真來研究顆粒系統能量耗散的變化規律，由于實驗成本高，仿真周期長，很難連續、快速地對其進行追蹤和分析。因此，如何建立有效的NOPD預測模型，用適當的研究方法實現顆粒系統能量耗散的定量預估就成為顆粒阻尼技術工程應用中的難點和急需解決的問題。

Veeramuthuvel等[4-5]將BP和RBF兩種神經網絡應用于鋁合金梁結構顆粒阻尼特性的預測，探究了阻尼器參數與阻尼因子之間的非線性關系；李來強等[6-7]利用改進的BP神經網絡算法對顆粒碰撞振動阻尼進行了預測，獲得了顆粒粒度、顆粒填充率和系統阻尼之間的關系；夏兆旺等[8]則采用支持向量回歸機的方法對懸臂梁減振結構的阻尼特性進行了預測。由于顆粒阻尼屬于開放性的復雜系統，在不同的激振條件下會表現出不同的運動形態，消耗的系統能量也是千差萬別，為了獲取顆粒運動形態及其能量耗散與激振條件之間的非線性關系，本文引入了基于結構風險最小化理論的支持向量機方法[9-10]。作為一種常用的非線性建模方法，支持向量機(SVM)很好地解決了以往困擾很多學習方法的小樣本、非線性、過學習、高維數、局部極小點等實際問題，具有很強的推廣能力，是目前針對小樣本分類、回歸等最常采用的方法。

本文以仿真獲取的有限數據樣本為研究對象，采用基于GS方法優化的SVM建立了顆粒運動形態及其能量損耗的分類和回歸預測模型，并通過預測模型揭示了顆粒系統在不同激振條件時的能量耗散的變化規律。

1 SVM非線性模型原理

1.1 SVM原理

SVM解決非線性問題的基本思想是：定義最優線性超平面，并把尋找最優線性超平面的算法歸結為求解一個凸規劃問題。進而基于Mercer核展開定理，通過非線性映射φ，把樣本空間映射到一個高維的特征空間(Hilbert空間)，使在特征空間中可以應用線性學習機的方法解決樣本空間中的高度非線性分類和回歸等問題。

SVM基本模型[11]的實質是定義在特征空間上間隔最大的二值分類器。為了充分利用SVM二值分類的泛化能力，本文采用一對多分類策略[12]把顆粒運動形態多分類的問題轉化為多個二值分類問題。對于顆粒運動形態的分類，必須解決以下優化問題:

(1)

式中:(xi,yi)是學習樣本;xi,xj∈Rd表示特征向量;yi,yj∈R={-1,1}表示樣本標簽;n為訓練樣本的數量;αi,αj為拉格朗日乘子;C為懲罰系數，表示對超出誤差樣本的懲罰程度;K(xi,xj)=φ(xi)·φ(xj)為將低維空間中的訓練樣本通過SVMφ轉化到高維特征空間的核函數。

結合KKT互補條件，求解上述的二次規劃問題，最終構造的SVM分類函數為

f(x)=sgn(x)=

(2)

為了解決回歸擬合的問題，在SVM分類的基礎上引入ε不敏感損失函數，構造了支持向量回歸機，其基本思想是尋求一個最優線性超平面使得所有訓練樣本離該最優線性超平面的誤差最小。對于顆粒系統能量損耗的回歸預測，必須解決如下的二次規劃問題:

(3)

仿照分類問題的求解思路解決上述優化問題，最終構造的支持向量機回歸函數為

(4)

式中:α=(α1,α2,…,αi,…,αn)T表示拉格朗日乘子的最優解向量;ε表示對回歸函數的誤差要求，ε越小表示回歸函數的誤差越小。

1.2 基于網格搜索法優化SVM參數

研究SVM的最優參數發現,懲罰系數c和核函數寬度g對預測模型的準確性具有重大影響[13]，所以如何優化SVM參數就顯得尤為重要，參數c和g的取值需要根據顆粒運動形態及其能量耗散的仿真數據進行分析與篩選。由于分類機與回歸機的參數優化過程極其相似，所以本文僅對支持向量分類機的參數優化過程加以介紹。

本文采用GS[14]對(c,g)進行參數尋優，該方法能夠高效地在規定的取值范圍內尋得最優值。為了避免系統誤差給(c,g)的尋優結果帶來不利影響，還采用了5重交叉驗證法，即每次取1/5的樣本作為測試集，4/5的樣本作為訓練集，并以分類正確率(Accuracy)判斷是否獲得最佳參數。圖1為參數(c,g)的尋優流程，圖2為基于網格搜索法優化支持向量機的顆粒運動形態及其能量耗散的預測分析的流程。

圖1 參數(c,g)的尋優流程

圖2 顆粒運動形態及其能量耗散預測分析流程

2 顆粒運動形態及其能量耗散預測模型

2.1 仿真模型建立

基于離散單元法建立的顆粒阻尼器的DEM仿真模型如圖3所示，將500顆直徑為3.5 mm的鋼質圓球填充在密閉的圓柱形有機玻璃容器(D×H=φ26 mm×78 mm)內，仿真中涉及的相關參數來源于參考文獻[15]中已被驗證的模型。給阻尼器施加豎直方向的正弦激勵，其激振頻率f為15～90 Hz，激振加速度Γ為1～30g。

2.2 顆粒運動形態及其耗能分析

通過仿真分析發現，在豎直激振條件下，阻尼器內的顆粒會呈現類固態、局部流化、全局流化、蹦床、對流、萊頓弗羅斯特效應(萊氏效應)以及浮力對流7種運動形態[3]，具體的運動形態如圖4所示。

圖3 DEM顆粒阻尼仿真模型

(a) 類固態

(b) 局部流化

(c) 全局流化

(d) 蹦床

(e) 對流

(f) 萊氏效應

(g) 浮力對流

當容器內的顆粒與顆粒以及顆粒與容器內壁之間沒有發生相對運動時，顆粒系統表現為類固態(見圖4(a))，此時，整個阻尼器的減振效果僅相當于一個附加質量塊，所以其能量損耗幾乎為零。

當觀察到阻尼器中底部顆粒未發生相對運動，而頂部顆粒層中部分顆粒產生輕微運動時，顆粒系統就處于局部流化狀態(見圖4(b))；隨著這種運動擴散至阻尼器內的所有顆粒層時，顆粒系統整體上進入了全局流化的狀態(見圖4(c))。此時，顆粒之間以及顆粒與阻尼器內壁之間碰撞次數的急劇增加會使系統耗散的能量出現大幅度的提升。

蹦床狀態(見圖4(d))出現時，阻尼器內的顆粒以整體的方式進行上下周期往復運動，除上層少許顆粒發生流化現象外，其余顆粒之間幾乎無相對運動。由于此時產生的倍周期分岔現象不利于系統減振[16]，所以蹦床狀態下的能量損耗往往維持在一個較低的水平。

發生對流現象(見圖4(e))時，顆粒間不但會產生劇烈的相對運動，而且不同層間的顆粒還會出現互換位置的現象。由于顆粒系統的方向發生了周期性變化進而增加了顆粒碰撞的可能性，所以系統損耗的能量往往比全局流化狀態時略大一點。

萊氏效應(見圖4(f))表現為阻尼器底部稀疏的顆粒層發生劇烈的振蕩，像蒸汽一樣托起一簇具有六角密排結構的密集顆粒簇，它會以較低的速度在初始位置附近來回浮動。由于使顆粒簇懸浮時需要消耗額外的能量，所以顆粒系統耗散的能量會出現較大的提升。

浮力對流(見圖4(g))除了會出現萊氏效應現象之外，還會在懸浮的顆粒層中產生對流運動，因而被視為萊氏效應與對流現象的疊加。因為懸浮層中的顆粒發生對流時需要消耗額外的能量，所以浮力對流狀態下的系統能量損耗往往要高于萊氏效應。

進一步研究發現，不同的激振條件會使顆粒表現出不同的運動形態，由于不同運動形態下的顆粒系統的耗能方式各不相同，從而導致系統的能量損耗也是千差萬別。分析仿真數據發現，激振頻率與激振加速度在不同區域時對顆粒系統的運動形態及其能量耗散的影響程度不一樣，即兩者之間存在著某種多元強非線性關系。為了準確地表征這種非線性關系，建立一個精確的顆粒系統運動形態分類預測模型與能量損耗回歸預測模型對在工程應用中及時掌握顆粒系統能量耗散變化規律并實現定量預估具有非常重要的意義。

2.3 分類與回歸預測模型

顆粒系統運動形態及其能量損耗與激振條件之間的函數關系如下:

Y=F(x)=F(f,Γ,…)

(5)

式中:f為激振頻率;Γ為激振加速度。對于分類問題，Y為顆粒呈現類固態、局部流化、全局流化、蹦床、對流、萊氏效應、浮力對流時對應的標簽號1～7；對于回歸問題，Y為衡量系統能量耗散的損耗因子。

按照顆粒系統仿真時表現出的運動形態，將每一種激振條件xi=(f,Γ,…)作為SVM的輸入向量，將顆粒運動形態標簽號或者損耗因子yi作為輸出向量，組成(xi,yi)的學習樣本。將學習樣本隨機分成訓練集與測試集，利用SVM對訓練集進行訓練并建立顆粒運動形態的分類預測模型以及能量損耗的回歸預測模型，通過測試集對訓練模型的準確性加以驗證，其模型結構如圖5所示。

圖5 顆粒運動形態或能量損耗預測模型

3 顆粒運動形態及其能量耗散預測分析

3.1 樣本分類及處理

選取上節基于離散單元法的1 829組仿真數據作為學習樣本，影響顆粒運動形態及其能量損耗的因素考慮f和Γ。仿真時的激振頻率為15～90 Hz，間隔為2.5 Hz；激振加速度為1～30g，間隔為0.5g，圖6給出了顆粒運動形態及其損耗因子的部分數據分布。為了避免人為因素對預測模型的準確率造成干擾，采用隨機選擇的方式對學習樣本進行分類。其中訓練樣本為1 600組，測試樣本為229組，訓練集與測試集中7種不同的顆粒運動形態的樣本數量統計如表1所示。為了減少計算的復雜性并準確地選擇SVM的參數，本文選用了高斯徑向基(RBF)核函數，并對學習樣本進行了歸一化預處理，歸一化的區間為[-1,1]。

(a) 顆粒運動形態

(b) 損耗因子

表1 訓練集和測試集樣本分類

顆粒運動形態及標簽號類固態局部流化全局流化蹦床對流萊氏效應浮力對流訓練集樣本數2918158322726327290測試集樣本數227762746447

3.2 預測模型優化與檢驗

在使用SVM對顆粒運動形態進行分類以及對系統能量損耗進行擬合時，本文選用網格搜索法對參數c和g進行優化。其中，c和g的搜索范圍均為[2-8,210]，步長均為2-0.5，K=5，將顆粒運動形態與損耗因子的訓練樣本分別代入式(2)與(4)中，然后計算每組(c,g)對應的Accuracy與回歸均方差(MSE)，進而獲得最優(c,g)組合。最佳分類對應的c=256,g=27.857 6，其Accuracy高達96.31%；最佳擬合對應的c=2.828 4,g=362.038 7,其MSE低至0.024 7。

依據顆粒運動形態分類結果，圖7給出了229個測試樣本的可視化混淆矩陣圖，混淆矩陣的每一列表示顆粒運動形態的預測類別；每一行代表其真實類別。由混淆矩陣計算得到顆粒呈現類固態、局部流化、全局流化、蹦床、對流、萊氏效應、浮力對流時的分類精確率分別為：1、1、0.934 2、0.963 0、0.872 3、0.666 7、1；召回率分別為：1、1、0.934 2、0.963 0、0.891 3、0.5、1；綜合評價指標分別為：1、1、0.934 2、0.963 0、0.881 7、0.571 4、1。由于各個類別的分類精確率、召回率和綜合評價指標在[0,1]范圍內均取得了較大值，由此可見，基于網格搜索法的支持向量機在對顆粒運動形態分類時取得了十分理想的預測效果。

圖7 可視化分類效果

圖8(a)和圖8(b)分別為測試樣本損耗因子預測值與真實值的對比與損耗因子預測值的誤差分布。從圖中可以看出，測試樣本損耗因子的預測值與真實值高度吻合，其相對誤差主要分布在[0,0.01]。由此表明，基于支持向量機的顆粒系統能量損耗回歸預測模型不但具有很強的推廣泛化能力，而且能夠準確地表達系統能量損耗與激振條件之間的非線性關系。

(a) 預測—真實結果對比

(b) 預測結果相對誤差

3.3 顆粒運動形態及其能量耗散預測分析

為了快速地對顆粒運動形態及其能量損耗實現準確預估進而實現阻尼效果最大化，本文利用上述建立的SVM預測模型，構建了如圖9所示的顆粒運動形態分布云圖與損耗因子曲面圖。

(a) 顆粒運動形態預測分布

(b) 損耗因子預測數值

從圖中可以看出,當激振加速度小于1g時，顆粒系統在整個研究的激振頻率范圍內均表現為類固態，此時系統的損耗因子幾乎為零，顆粒阻尼器并未發揮阻尼效果。

隨著激振加速度幅值的增大，顆粒的運動形態逐漸向局部流化和全局流化發生轉變，此時系統的損耗因子呈現線性增長的趨勢。當激振加速度增加到3.4g時，系統的損耗因子均達到了流化狀態下的峰值，其峰值集中在[0.37,0.59]。繼續增加激振加速度至5.3g時，顆粒運動突破了固體流化狀態而進入了氣體流化狀態，此時顆粒間的相互摩擦作用將隨激振加速度的增大而迅速減小,于是損耗因子就呈現快速下降的趨勢，最小的損耗因子低至0.065，由預測模型得到的損耗因子的變化規律與文獻[17]中研究的結果高度吻合。

當激振加速度增加至10g左右時，顆粒系統逐漸出現了對流現象。此時，顆粒間不但會產生強烈的相對運動，而且不同層間的顆粒還會互換位置，因此，系統的損耗因子會較氣體流化狀態時有一個較大的提升，其損耗因子的峰值將在激振加速度到達7.2g左右時出現，約為0.21。

當激振加速度低于22g時，由于此時的顆粒系統運動程度很低，而且相對運動很差，致使顆粒間碰撞與摩擦耗能較少，因而系統的損耗因子幾乎維持在0.17左右。當激振加速度繼續增大時，顆粒從外界獲得較大的動能，并以整體的方式與容器的上下端面頻繁地發生劇烈的沖擊，從而使系統的損耗因子逐漸增加至峰值，該值為0.614 7。

對流出現的區域并不像蹦床那樣集中，它會與全局流化現象在較寬的頻率范圍內隨著激振加速度的增大交替出現，少許的對流現象發生在7～10g的寬頻范圍內，大部分的對流現象主要集中在40～80 Hz以及11～26g的激振區域，該區域內的損耗因子會隨著全局流化現象與對流現象的交替出現而在[0.1,0.2]范圍內產生相應的交替波動。

萊氏效應只發生在激振頻率高于75 Hz且激振加速度集中在12～15g的狹小區域內，由于其耗能方式除了顆粒間的相對運動外，還需消耗額外的能量來維持懸浮顆粒的來回浮動，因此，其損耗因子較對流現象有一個較小幅度的提升，約為0.24。

與萊氏效應相比，浮力對流的發生需要提供更大的激振加速度，其分布的激振頻率范圍也更廣。當激振加速度增加至25g以上時，系統的損耗因子會在高于55 Hz的寬頻范圍內出現多個交替變化的波峰與波谷，并且最低的損耗因子也能保持在0.25，最高的損耗因子已高達0.59,這充分表明處于浮力對流狀態下的顆粒阻尼器具有良好的減振效果。

分析比較上述各種運動形態下的能量耗散變化規律發現，類固態下的顆粒阻尼器未能發揮阻尼效果；氣體流化、對流、萊氏效應以及低激振加速度下的蹦床都具有一定的阻尼減振作用，且其減振效果相當；固體流化、浮力對流以及高激振加速度下的蹦床效應都具有很強的阻尼減振效果，其損耗因子的峰值均能達到0.59。其中，激振頻率為20 Hz、激振加速度為25g的蹦床現象能夠實現最大的阻尼減振效果，其損耗因子高達0.614 7。

4 結 語

本文以基于離散單元法仿真獲取的有限數據樣本為研究對象，采用基于GS優化的SVM分別建立了顆粒運動形態及其能量耗散的分類與回歸預測模型，利用優化后的SVM預測模型，研究了阻尼器內顆粒在不同激振條件下的運動形態及其能量耗散的變化規律，得到的主要結論如下：

(1) GS方法能夠選取較優的SVM參數，基于GS方法優化的SVM能夠建立一個預測準確度很高、推廣泛化能力很強的分類和回歸預測模型，其顆粒運動形態分類準確率Accuracy高達94.32%，系統損耗因子的回歸均方差MSE低至9.8×10-5,平方相關系數R2高達0.997 75。

(2) 阻尼器內顆粒在不同運動形態下的阻尼減振效果各不相同，其中固體流化、浮力對流以及高激振加速度下的蹦床減振效果最好，氣體流化、對流、萊氏效應以及低激振加速度下的蹦床的減振效果次之，類固態下的顆粒阻尼器未能發揮阻尼效果。