微型同位素輻射能收集器二維懸臂梁機電建模

楊 柳,彭建設,孫付春,曹文繼，李曉曉，孫豐云

(成都大學 機械工程學院, 成都 610106)

0 引 言

數十年來，微機電系統(Micro-Electro-Mechanical-Systems, MEMS)在航空航天、通信、醫療、生物、汽車等領域發揮著巨大作用[1-5]。由于微型設備的尺寸達到了亞μm級，其能量供應成為了制約微器件和微系統發展的重要因素。為了解決微能源供給問題，各國學者展開了廣泛的研究，目前微能源解決方案大致可分為微型化學電池[6]、微型環境能量收集器[7]和微型同位素輻射能量收集器[8-10]。微型化學電池易受環境溫度和燃料濃度及流量的影響，在某些惡劣環境中無法正常使用。微型環境能量收集器極大地受限于環境因素，可靠性較低[11]。微型同位素輻射能量收集器是一種以同位素輻射能為能量源的收集裝置。由于同位素材料具有衰變周期長、釋放能量密度大、釋放能量穩定性高和不易受外界環境影響的特點，因此可為微能源提供高能量密度、長壽命、穩定的能量源[12]。Li等[13]首次制備出一種“放射能-機械能”循環的直接轉換型同位素輻射能量收集器，并利用一維機電模型對其進行性能分析。然而，一維模型過于簡化，導致其無法完整描述微型同位素輻射能量收集器的各項性能。

本文基于歐拉-伯努利梁理論，提出一種更切合實際的二維微懸臂梁機電模型?；贚i等的實驗裝置和數據，本文模型的準確性得到了充分驗證。同時，利用新模型解決了一維模型無法解釋的問題。

1 裝置原理及等效電路

“放射能-機械能”循環的直接轉換型同位素輻射能量收集器原理如圖1所示[13]，微懸臂梁收集由63Ni放射的β粒子。由于電荷守恒，放射源上會留下等量相反的電荷。因此，微懸臂梁與放射性同位素薄膜之間會形成一個靜電力，此靜電力會使微懸臂梁向同位素薄膜方向運動。一段時間之后，微懸臂梁最終會與薄膜相接觸，通過電荷轉移而發生電荷中和。電荷發生中和的同時，微懸臂梁與薄膜之間的靜電力消失，微懸臂梁自身的彈性回復力會使其回到初始位置，并開始下一個周期。微懸臂梁在自主往返運動過程中相當于一個電荷積分器，將核能儲存然后轉換成機械能與電能。圖1同時給出了整個裝置的等效電路，由電流源、電阻器和可變電容器3部分構成。電流源用來等效由放射性同位素薄膜發射出的電荷，電阻器用來等效漏電路徑，可變電容器用來等效微懸臂梁與同位素薄膜。

圖1 放射性同位素供能的自主往返式微懸臂梁系統的原理圖和等效電路圖

等效電路中的電流源取決于同位素薄膜的放射性活度N，63Ni放射的是β粒子，則其等效電流為：

I= 1.6×10-19×N

(1)

式中：N為放射性活度，Bq；I為等效電流，A。

等效電路中的電阻器用來描述所有可能的漏電路徑，如：β粒子使氣體分子電離(Ions)；β粒子撞擊微懸臂梁發射出次級電子(Secondary electrons)等。

等效電路中的空氣隙電容器由微懸臂梁電極和放射性同位素薄膜電極構成，其電容會隨著電極距離的改變而改變。

2 二維微懸臂梁機電模型

根據基爾霍夫第一定律，有：

(2)

式中：u為微懸臂梁和薄膜源之間的電壓；R為漏電阻；ε0為真空介電常數；A為電容器的有效面積；t為時間；g為微懸臂梁和薄膜源之間的距離；a為收集系數(a<1)，用來表示發射的總電流中被微懸臂梁收集的部分。

在大氣壓下，收集的電荷很容易被電離和極化的空氣分子中和，導致式(2)中的R很小，從而導致微懸臂梁與薄膜之間的漏電流很大，這已經被實驗現象所證實。為了獲得一個大的R值，裝置必須在真空條件下工作。當壓力減小到0.4～67 mPa時，R達到1015～1014Ω的量級。因此，式(2)可以簡化為：

(3)

由于微懸臂梁與放射源之間的間隙和漸近角都很小，可假設構成平行板電容器，電容器的電容C和能量Wc分別為：

(4)

根據電勢能和虛位移原理，綜合考慮式(3)、(4)，微懸臂梁與放射源薄膜垂直運動方向的靜電力為[14]：

(5)

根據實驗現象，微懸臂梁從初始位置下拉到與放射源薄膜相接觸的過程可合理假設為一個準靜態過程?；跉W拉-伯努利梁理論，微懸臂梁的控制方程為：

(6)

同時，微懸臂梁的邊界條件為：

(7)

(8)

式中:E為微懸臂梁彈性模量；I0為微懸臂梁橫截面慣性矩；w為撓度；L為微懸臂梁長度；F(x,t)為微懸臂梁單位長度所受的靜電力，其表達式為：

(9)

式中:LS為放射源薄膜的長度；l0為坐標原點到放射源的距離；H(x-l0)為亥維賽函數(Heaveside function)，其定義為：

(10)

因此，微懸臂梁的控制方程可重寫為：

(11)

根據式(7)、(8)和(11)，可得到微懸臂梁的剪力方程、彎矩方程、轉角方程和撓度方程分別為：

(12)

(13)

(14)

(15)

由式(15)可得微懸臂梁自由端撓度為：

w(L,t)=

(16)

當自由端撓度從0開始增大到g0時，微懸臂梁與放射源薄膜相接觸放電，意味著一個往返周期結束，所用時間為：

(17)

式中，g0為微懸臂梁和放射源薄膜之間的初始距離。因此，影響往返周期的因素有微懸臂梁的幾何尺寸、微懸臂梁的抗彎剛度、微懸臂梁的收集效率、放射源的放射強度、放射源的相對位置、微懸臂梁和放射源薄膜之間的初始距離等。

模型中微懸臂梁能把63Ni薄膜發射出的核能轉換成機械能和電能存儲于其中。由于微懸臂梁的下拉過程可近似認為是準靜態過程，因此微懸臂梁中存儲的機械能可近似等于其應變能。根據彈性力學理論，應變能為：

(18)

微懸臂梁中存儲的電能為：

(19)

63Ni薄膜在一個周期內發射出的總能量為：

wall=N×Wa×T

(20)

式中：Wa=17.4 keV為63Ni放射電子的平均能量；T為一個往返周期。由于在周期末尾，微懸臂梁與放射性薄膜接觸，梁上的電能為零，因此，最終輸出的能量形式為微懸臂梁的最大機械能WS,max。在一個周期內，裝置能量轉換效率為：

η=WS,max/Wall

(21)

3 結果與討論

為了驗證二維機電模型的有效性和準確性以及相對于一維模型的優勢，下面將進行各種算例結果的比較。注：本文中所采用的實驗裝置數據參考文獻[15]：微懸臂梁長L=4 cm，微懸臂梁寬b=3 mm，微懸臂梁厚h=90 μm，初始間隙g0=118 μm，微懸臂梁彈性模量E=108 GPa，收集系數α=29%，放射性活度N=3.59×107Bq，放射源薄膜長度LS=1 cm，真空介電常數ε0=8.854×10-12F/m。

圖2繪出了梁自由端與放射源之間的距離隨時間變化的曲線，其中實心點為實驗數據，虛線為一維模型理論計算結果，實線為本文模型理論計算結果?？梢钥闯?，兩種模型解都能較好地解釋實驗結果，實驗數據中下拉周期為161 s，一維模型的下拉周期為163 s，而本文模型的下拉周期為160 s。需注意，為與實驗結果更接近，一維模型中的初始間距與實際情況并未完全相符，而本文模型中的初始間距選取與實際情況完全一致。由以上數據結果可以看出，相對于一維模型，本文模型能更好的解釋實驗結果。

圖2 微懸臂梁自由端與放射源之間的距離隨時間變化曲線

圖3給出了不同初始間隙條件下微懸臂梁的往返周期變化曲線，其中實心方點為實驗數據，虛線為一維模型理論計算結果，實線為本文模型理論計算結果。同樣可以看出，兩種模型都能較好地解釋實驗結果，相比之下，本文解與實驗結果更一致，進一步體現出了本文模型的優勢。

圖3 不同初始間隙條件下微懸臂梁的往返周期

圖4 能量隨時間變化的曲線

圖5～7分別給出了微懸臂梁上不同位置的等效剪力Q/φ0、彎矩M/φ0和轉角θ/φ0分布圖。可以看出，微懸臂梁上剪力呈線性分布，從固定端到3 cm處剪力保持恒定且最大，隨后剪力線性減小，在懸臂端時剪力減為0；微懸臂梁上固定端處彎矩最大，隨后線性減小，3 cm之后呈非線性狀態減小直至最終在懸臂端處降為0；微懸臂梁上轉角呈非線性分布，從固定端處的0開始增至懸臂端處的最大值。需要指出的是，剪力、彎矩和轉角分布關系無法從一維模型中得到，這是因為一維模型把梁簡化成彈簧-質量塊，丟失了許多力學參數。而本文的二維模型能避免此問題，使模型計算結果與實驗結果更吻合。

圖5 微懸臂梁上不同位置剪力分布圖

圖6 微懸臂梁上不同位置彎矩分布圖

圖7 微懸臂梁上不同位置轉角分布圖

4 結 語

研究結果表明：相對于一維模型，二維機電模型能更有效地分析微型同位素輻射能收集器各項性能；影響下拉時間的因素包括：微懸臂梁的幾何尺寸、抗彎剛度、收集效率和放射源的放射強度、微懸臂梁和放射源薄膜之間的初始距離。