計算連續型隨機變量線性組合分布的Laplace變換法

趙書銀 張禮剛 馬麗紅 張 新 武小云

(河北建筑工程學院理學院，河北 張家口 075000)

0 引 言

隨機變量的函數的分布是概率統計中的重要知識點.連續型隨機變量的函數的概率密度的計算的通用方法是使用定義先求其分布函數，再求導得到概率密度，計算量較大.特殊情況是，多個相互獨立的連續型隨機變量的和的概率密度可以通過卷積運算實現.文獻[1]利用Fourier變換提供了一種算法,能計算多個相互獨立的連續型隨機變量線性組合的概率密度而且避免計算卷積.但是Fourier變換不僅要用到復數，而且很多常見的函數的Fourier變換都是廣義函數.本文對相互獨立的有界連續型隨機變量的線性組合和非負連續型隨機變量的正系數線性組合，使用Laplace變換及其逆變換，得到了計算效率更高的一種計算方法.

1 主要結論

因為Laplace變換要求函數在(-∞，0)上取值為0，所以要對概率密度函數的支集包含負數的函數進行處理，以使得其含于[0，+∞].為此需要對隨機變量進行平移和縮放的操作.這里考慮Y是X的一次函數的結果，給出以下定理.

定理1 設隨機變量X的概率密度為f(x),則Y=kX+b(k≠0)的概率密度為

(1.1)

證明以k<0為例,此時Y的分布函數

于是有

當k>0時同理.證畢.

所以當有界隨機變量X的概率密度函數的支集含有負數時，因X有界，設f(x)在(-∞,b]上等于0，則可以通過變換Y=X-b，使得Y的概率密度函數fY(y)=f(y+b)在y∈(-∞,0]上等于0，這樣就可以對fY(y)使用Laplace變換，如果需要還原X的概率密度，只需把fY(y)中的y替換成x-b就行了.

(1.2)

或寫為

(1.3)

證明當n=2時,

其中*表示兩個函數的卷積運算.由Laplace變換的卷積性質，有

可見(1.2)成立.

(1.4)

兩邊取Laplace逆變換，就得到(1.4).

(1.5)

2 算法的意義和應用

在文獻[1]中，給出了這個問題的Fourier變換法，Laplace變換法和Fourier變換法對相互獨立的有界連續型隨機變量和非負隨機變量都能有效且可靠地求出它們的線性組合的概率密度.但是三者的計算效率差距很大，在符號計算軟件maple中取n=300時，計算相互獨立的參數都是1的指數分布之和的概率密度，所用的時間見下表.

表2-1 三種算法用時表

從表中可見使用Fourier變換的計算速度是直接使用卷積運算速度的163倍還多，這得益于Fourier變換能夠把卷積運算變為乘法運算.而這里給出的Laplace變換法在此基礎上進一步提高了運算效率，又把速度提高了5.5倍.所以在求解相互獨立的隨機變量的線性組合的概率密度時，如果能使用Laplace變換，那么Laplace變換的計算效率是最高的.

3 算法的局限性

求相互獨立的連續型隨機變量的概率密度，原始的方法是進行卷積運算.Fourier變換和Laplace變換都能把卷積運算變為乘積運算，從而提高計算效率.但是Laplace變換只能對支集非負的函數運算.對連續型隨機變量而言，要求其取值也非負.Fourier變換則沒有這種局限性.本文提供的算法可以避免這種約束，保證對有界的情形也能使用Laplace變換，但是連續型隨機變量的取值沒有下界時還是無法使用.