由“非負整數(shù)”概念爭議想到的

■錢德春

一、問題的由來

筆者發(fā)現(xiàn)：一些初中數(shù)學輔導書和測試卷中頻頻出現(xiàn)“非負整數(shù)”這個名詞。如某測試卷中有這樣的題：

非負整數(shù)集合：{ …}。

教材中本無“非負整數(shù)”概念，教師為了應對諸如此類教輔練習和各種測試，只能在教學中補充“非負整數(shù)”這個概念，但效果適得其反。如不少學生將除“-3”外的所有數(shù)都填入了集合，這顯然有違試題本意。此時教師還需要花大力氣糾正：“非負整數(shù)，非負——整數(shù)，即不是負數(shù)的整數(shù)”，這給教與學帶來了額外的負擔。前不久，某QQ群針對“非負整數(shù)”概念進行了激烈的爭論。

本文擬通過學生認知錯誤和教師爭議原因分析，對“非負整數(shù)”概念考證，談談對數(shù)學概念研究及教學的思考。

二、學生認知錯誤的原因探討

研究發(fā)現(xiàn)，學生對“非負整數(shù)”理解產(chǎn)生錯誤的原因主要有兩個：一是生活化語言的影響。“非負整數(shù)”的本意是“非負的整數(shù)”，強調(diào)“非負”；而生活化語言的側(cè)重點在“非”字上，將“非負整數(shù)”理解為“非——負整數(shù)”。二是教學負遷移的影響。有理數(shù)中有“非負數(shù)”概念，“非負數(shù)”即“不是負數(shù)的數(shù)”，進而機械類比得出“非負整數(shù)”即“不是負整數(shù)的數(shù)”，出現(xiàn)錯誤就不足為奇了。

用集合論來解釋，問題就是將“非負整數(shù)”作為子集時，它的全集是什么。教師心中約定為“整數(shù)集”，故在整數(shù)“+5，0，-3”中去掉負整數(shù)“-3”；而學生所理解的全集是“題目所給的所有數(shù)（即有理數(shù)）”，故在所給的數(shù)中去掉負整數(shù)“-3”。可見，“‘非負整數(shù)’的全集是什么”是引起歧義的根源。

三、教師對“非負整數(shù)”的爭論

不少教師糾結(jié)于“非負整數(shù)”概念“要不要補充”“如何向?qū)W生解釋清楚”“規(guī)范的試卷會不會出現(xiàn)”等問題。筆者在某影響力較大的QQ教研群拋出了這樣的話題：請問對“非負整數(shù)”如何理解？立即引起了眾多數(shù)學教師、教研人員的關(guān)注和討論。主要觀點如下：

一種觀點認為，“非負整數(shù)”只在教輔中出現(xiàn)，教材上沒有這個概念，甚至連“非負”都未提及。一是該名稱容易引起歧義。“非負整數(shù)”表示不是負整數(shù)？非負的整數(shù)？不是負整數(shù)的整數(shù)？“非負——整數(shù)”還是“非——負整數(shù)”？是不是靠語氣停頓來區(qū)分？如此有爭議的問題盡可能回避。二是學生認知未到火候。正如對江蘇2017年高考應用題中“沒入水中”的理解，命題者意圖為“浸入水中”，但不少考生則理解為“沒有進入水中”。三是數(shù)學概念一般不用否定性語言來定義。

另一種觀點認為，“非負整數(shù)”沒有歧義。一些版本教材有“非負數(shù)”與“非零數(shù)”的說法，如湘教版七年級上冊第3頁在第一章“有理數(shù)”的“相反意義的量”中，引入了“正數(shù)和負數(shù)”之后有這樣一段文字：“我們也把正數(shù)和0統(tǒng)稱為非負數(shù)”，說明引入“非負整數(shù)”也無不妥，學生能夠接受。誠然學生水平有差異，教育水準也存有區(qū)域差異，要根據(jù)區(qū)域?qū)嶋H辯證地看待各版本教材，以“對”與“錯”來評判會走向極端。

還有一種觀點認為，“非負整數(shù)”屬于約定俗成，如左宗明教授認為“這是一個約定，指正整數(shù)與0”。作為教育任務的數(shù)學，從學術(shù)上說有一種局限性。教學中要淡化形式、淡化概念，許多概念有時不必嚴格定義或不做定義。

由此可見：教師對“非負整數(shù)”名詞的認識并不統(tǒng)一，存在一定的爭議。

四、“非負整數(shù)”概念考證

目前，各種版本中小學數(shù)學教材及中考數(shù)學試卷均未涉及“非負整數(shù)”概念。談到“非負整數(shù)”必然要聯(lián)系“自然數(shù)”。

事實上，從教學大綱、課程標準再到數(shù)學教材，“自然數(shù)”概念內(nèi)涵發(fā)生了變化。1998年版《中華萬有文庫教育卷·中學代數(shù)詞典》對“整數(shù)”的一種分類方式為：

這說明自然數(shù)就是正整數(shù)，而不包括0。2002年版《數(shù)學辭海》中的定義是“非負整數(shù)（nonnegative integer）即‘自然數(shù)’”，“自然數(shù)（natural number）亦稱非負整數(shù)。”具體解釋是：“數(shù)系中最基本的一種數(shù)。即0，1，2，3…表示的數(shù)，它是從數(shù)數(shù)過程中產(chǎn)生的。”“自然數(shù)集（set of natural numbers）一種特定的集合，指全體自然數(shù)的集合。”“在數(shù)學理論的發(fā)展中自然數(shù)集的定義并不包括0。”這種定義與“自然數(shù)”的產(chǎn)生有關(guān)。在遠古時代，人類在狩獵、捕魚、采集果實時是用藤條打結(jié)計數(shù)。比如捕獲1個獵物就打1個結(jié)，捕獲2個獵物就打2個結(jié)……這樣逐漸形成的數(shù)就是原始的“自然數(shù)”。顯然，自然數(shù)由若干個“1”組成。在他們看來，如果沒有收獲就“不打結(jié)”，也就“沒有數(shù)”，因此自然數(shù)就不包括“0”。用群里網(wǎng)友的話說：《數(shù)學辭海》的定義說明“名可名，非常名”，“非負整數(shù)”定義有一定的依據(jù)，但并非常用的名稱。

1986年版《全日制小學數(shù)學教學大綱》明確要求“理解自然數(shù)和整數(shù)的意義”。1983年第一版、1987年再版的人教版小學數(shù)學教材第八冊對“自然數(shù)”定義如下：“我們在數(shù)物體的時候，用來表示物體個數(shù)的1，2，3，4，5，6……叫做自然數(shù)”，并補充：“一個物體也沒有，就用0表示。0不是自然數(shù)。自然數(shù)和0都是整數(shù)。”教材還明確：“在講‘數(shù)的整除’時，我們所說的數(shù)，一般只指自然數(shù)，不包括0。”這里，“非負整數(shù)”與“自然數(shù)”有本質(zhì)的區(qū)別。

“1993年開始的新國家標準定義自然數(shù)集N含0。這樣做一方面是為了推行國際標準化組織（ISO）制定的國際標準，以便與之早日相銜接；另一方面，0還是十進位數(shù)字{0，1，2，…，}9中最小的數(shù)，有了0，減法運算a-a仍屬于N，其中a∈N”。

2001年制定的《義務教育數(shù)學課程標準》（實驗稿）在第二學段（4～6年級）具體目標中只有“知道整數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)”，沒有自然數(shù)的概念。

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》除了上述要求外，明確要求“了解自然數(shù)、整數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)（素）數(shù)和合數(shù)”。現(xiàn)行數(shù)學教材均將“0”看作自然數(shù)。2018年人教版小學數(shù)學四年級上冊教材明確規(guī)定：“表示物體個數(shù)的1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11……都是自然數(shù)，一個物體也沒有，用0表示，0也是自然數(shù)。最小的自然數(shù)是0。”這樣，0和正整數(shù)統(tǒng)稱“自然數(shù)”，“非負整數(shù)”與“自然數(shù)”指向相同。

然而，無論是“教學大綱”、課程標準，還是中小學數(shù)學教材均沒有“非負整數(shù)”的概念。如蘇科版教材七年級上冊第2章“有理數(shù)”的正文和教材練習的“將數(shù)填入相應集合”的問題，供填寫的集合只有“正數(shù)集合”“負數(shù)集合”“有理數(shù)集合”“無理數(shù)集合”等，沒有出現(xiàn)“非……”的文字表述。至于湘教版教材七年級上冊引入“非負數(shù)”這一概念，其教學參考書第5頁明確說明這“是為今后學習如何去掉|a|中的絕對值做準備”，并非要求在“非負數(shù)”的概念上做文章。

由此可見，課程標準的制定和數(shù)學教材的編寫遵循了數(shù)學發(fā)展規(guī)律和學生認知規(guī)律而導致學生對“非負整數(shù)”的“模糊認識”，則完全是人為改變教學內(nèi)容、拔高教學要求所致。

五、幾點思考

思考對“非負整數(shù)”的爭議問題，本質(zhì)上是數(shù)學學術(shù)、教師素養(yǎng)與數(shù)學教育之間關(guān)系的問題。一些問題教師可以爭鳴，但教學要適度。數(shù)學教師必須具有一定的研究能力，提升自身專業(yè)素養(yǎng)，這是做好數(shù)學教學工作的前提；而數(shù)學教學要理解教材編寫意圖、把握學生認知基礎(chǔ)與結(jié)構(gòu)，將學術(shù)的數(shù)學轉(zhuǎn)化為教育的數(shù)學；數(shù)學教學不能只關(guān)注知識，更要增強學生的數(shù)學情感，讓學生感悟數(shù)學的理性精神。

1.學術(shù)的數(shù)學：要研究爭鳴，追本溯源。

從學術(shù)的角度來看，教師要潛心研究、相互探討甚至爭鳴。數(shù)學就是伴隨著爭論、爭議而發(fā)展的。如“無理數(shù)”之所以稱為“無理數(shù)”，是因為希帕索斯發(fā)現(xiàn)了這樣的數(shù)不能表示為兩個整數(shù)的比，挑戰(zhàn)了數(shù)學家們“任意兩個量都可以公度”的理論，認為這是“毫無道理”的數(shù)，達·芬奇稱之為“無理的數(shù)”。但事實上像這樣的數(shù)是看得見、摸得著的數(shù)，最終得到了人們的承認，從而使數(shù)學度過了第一次危機，并讓數(shù)學有了新的發(fā)展。就“自然數(shù)”而言，傳統(tǒng)教學大綱和教材指正整數(shù)。因此，為了便于表示“正整數(shù)和0”集合而給出“非負整數(shù)”概念在情理之中。但當將0納入了自然數(shù)后，數(shù)的概念得到了發(fā)展，“非負整數(shù)”概念的存在價值就不大了。

作為數(shù)學教師，有必要了解數(shù)學概念的內(nèi)涵及其發(fā)展，研究概念形成與變化的原因及其背后的數(shù)學文化。有時可通過爭論、爭辯和研討，弄清事物的本來面貌，直達問題的源頭和本質(zhì)，真正體現(xiàn)研究與求真的學術(shù)精神，提升自己的專業(yè)素養(yǎng)，讓自己的數(shù)學理解更加深刻，只有這樣教學才能高屋建瓴、居高臨下。

2.教育的數(shù)學：要尊重教材，基于認知。

教學要將學術(shù)的數(shù)學轉(zhuǎn)化為教育的數(shù)學，要尊重教材，基于學生認知，在存在爭議的問題處理上要慎重。

一方面，數(shù)學教學要理解教材、尊重教材。我們提倡“用教材教而不是教教材”，教學不拘泥于教材，但前提是守住教學底線，不突破教學的邊界。另一方面，數(shù)學教學要遵循學生的認知規(guī)律，把握學生的認知能力，而不是灌輸機械的知識、晦澀難懂的概念甚至是已經(jīng)被取代的內(nèi)容，更不能人為拔高教學要求、設置理解的障礙。

以“非負整數(shù)”為例。重新定義“自然數(shù)”之后，“非負整數(shù)”就是“自然數(shù)”，這也是教材為什么不出現(xiàn)“非負整數(shù)”概念的原因所在。因此教學中不宜隨意補充，在數(shù)學命題中盡可能回避。還有些數(shù)學概念在不同階段有不同的表述與定義方式。如函數(shù)概念在初中階段是基于運動變化的描述性定義，側(cè)重變化與變量，旨在以形象、直觀的方式讓初中學生理解；而高中階段則是基于映射與對應的定義，側(cè)重對應和符號化，更加抽象、嚴謹，這適應了高中學生更為抽象的思維能力。教學中要根據(jù)學生認知，把握好教學要求，選擇適合的教學方法，讓學生認知從“不嚴格”到“嚴格”，從“認識”到“理解”，進而達到深度理解。

3.文化的數(shù)學：要激發(fā)情感，體現(xiàn)價值。

現(xiàn)實中，許多學生學習了十幾年的數(shù)學，刷題之后，剩下的只有對數(shù)學的厭倦。他們感覺到數(shù)學只是枯燥的定義、法則、公式、定理的堆砌。事實上，數(shù)學的價值不只是知識，還有文化和精神，漫長的數(shù)學發(fā)展史及這個過程中的思想方法和精神就是數(shù)學的文化。數(shù)學教學應該引導學生了解數(shù)學知識背后的文化。

特級教師孫維剛在聽“有理數(shù)”一節(jié)課時，有學生問：“‘有理’是有道理的意思，我不明白，整數(shù)和分數(shù)這兩種數(shù)有什么道理呢？”老師回答：“這是數(shù)學上的規(guī)定，沒有為什么。”如此，學生對數(shù)學除了機械記憶還有何興趣可言？孫維剛說：“科學上的任何規(guī)定都有‘為什么’，數(shù)學尤其如此，一個數(shù)學符號為什么這么寫都有它的理由。世界上沒有‘沒有為什么’的事。”“將整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)”是翻譯上的一個差錯。日本人將“rational number”錯譯為“有理數(shù)”，我們又進行了簡單移植。“rational number”本意是指“可以表示為兩個整數(shù)比的數(shù)”。分數(shù)是整數(shù)之比，如是4∶7，整數(shù)3是3∶1，所以整數(shù)和分數(shù)總稱為“rational mumber”（有理數(shù)）。

如“數(shù)”的教學，可引導學生了解各種數(shù)如何產(chǎn)生，為何這樣定義，背后有何故事，有些數(shù)的概念為何變化，有理數(shù)為何稱為“有理數(shù)”，“無理數(shù)”真的“沒有道理”嗎，不同的數(shù)系之間有何關(guān)系，數(shù)的發(fā)展對數(shù)學的發(fā)展有何影響等。通過數(shù)學文化的熏陶，學生數(shù)學的情感必然會得到激發(fā)，對數(shù)學探究的興趣自然會增強，對數(shù)學規(guī)律的認識、對數(shù)學本質(zhì)的感悟能力也會大大增強，只有這樣，才能真正體現(xiàn)數(shù)學在教育中應有的價值。