用久期微擾理論將彈簧振子模型退化為耦合模理論*

朱存遠 李朝剛 方泉 汪茂勝 彭雪城 黃萬霞2)?

1) (安徽師范大學物理與電子信息學院, 蕪湖 241002)

2) (復旦大學, 應用表面物理國家重點實驗室, 上海 200433)

盡管耦合模理論在過去幾十年內已經被廣泛研究, 但它的理論來源還是困擾著廣大研究者.在這里, 基于久期微擾理論, 將經典彈簧振子模型退化為耦合模理論, 并將該理論用于解釋音叉耦合的實驗現象.研究表明這種方法將耦合模理論中每一項的系數都與經典力學中的相關物理量建立關聯, 且理論和實驗結果符合得很好.該研究為耦合模理論中每一項的來源提供了一種較嚴謹的推導方法, 在線性耦合體系的理論研究方面有一定的指導意義.

1 引 言

振動是物質最基本的運動形式, 包括聲波、機械波、電磁波等.最初從樂器、時鐘單擺等研究振動的基本規律, 工業革命時蒸汽機、內燃機的研究進一步推動了振動的發展, 到如今應用到信號中的時頻傅里葉變換, 研究原子、分子團振動拉曼散射光譜等等, 使對振動的研究達到了前所未有的高度.不過對線性振動和非線性振動的研究直到19世紀后期才引起重視.其中被用來分析簡諧振動的彈簧振子模型是物理學中的經典模型[1].因為擁有廣泛的適用性, 被應用在各個領域, 特別是振子耦合[2,3]在微納光子學領域中產生了各種各樣的奇異現象, 例如振動模式的耦合產生的透明現象[4]、Fano共振[5]和Rabi振蕩[6]等, 這些現象都可以用彈簧振子模型來解釋.

在光學中, 振子又稱為模式, 常用耦合模理論(coupled-mode theory, CMT)[7,8]來解釋兩個或多個模式之間相互作用.從19世紀50年代被人提出, 最初該理論僅用來解釋微波間的相互作用, 之后在眾多學者的研究下, 該理論被擴展到了許多領域, 尤其在光學和電學中大放異彩.早在19世紀70年代, Marcuse[9]和 Snyder[10]就把耦合模理論擴展到了光學波導領域, 并在理論上和模擬上都比先前的耦合公式具有更高的精確度[11].該理論已經成功地應用到光波導和光纖器件的模型和理論分析中, 如原子陣列中的光纖耦合[12]、鎖相激光陣列[13]、實現單向無反射光學超材料[14]、耦合腔陣列中的高階EP點[15]、Fano共振在光子學中的應用[16]、絕熱控制拓撲能量轉移[17]、納米尺度的光機械晶體中的可調光學延遲[18]等.該理論還被用來分析非線性介質中的耦合現象, 例如調制不穩定性[19]、波導器件中產生的諧波[20]等.

在近期, 耦合模理論被應用到了電路分析中,由于波的耦合導致的誘導透明現象在電路中有著無線能量傳輸的新穎應用, 吸引了許多人的目光,得到了快速發展.誘導透明主要包括電磁誘導透明 (electromagnetically induced transparency,EIT)[21], 等離激元誘導透明[22]和光機械誘導透明[18],其本質都是源于耦合出現的相干相消.2007年Kurs等[23]在充分研究EIT的基礎上, 認為電路中也存在類似的透明現象, 以耦合模理論為基礎, 建立了電路學的耦合理論模型, 并搭建了一個通過線圈耦合共振的能量無線傳輸系統, 結果表明, 理論模型與實驗數據的誤差在5%以內, 得到了能在2 m內達到40%能量傳輸效率的無線傳輸系統.說明耦合模理論能夠精確地描述電路中的耦合現象, 將耦合模理論拓展到了電學領域中, 此后得到了迅速發展, 包括無線傳輸中產生的繼電效應[24]、無輻射傳輸[25]、超材料耦合共振[26]等.

不難發現, 彈簧振子模型和CMT理論都是研究模式的耦合, 那么兩者之間必然有一定的聯系,如何把彈簧振子模型的二階微分方程轉化到CMT理論的一階微分方程, 一直困惑著科研工作者.Haus[27]在《Waves and fields in optoelectronics》一書中, 用最簡單的LC簡諧振動回路, 通過變量代換將二階微分方程轉化為一階微分方程, 但由于是最簡單的LC耦合回路, 不包含損耗項和輸入項, 這些項他是通過定性分析加入的.從物理角度沒有任何問題, 可是從數學角度還是不夠嚴謹的.在本文中, 先建立耦合體系的彈簧振子模型的動力學方程, 再利用久期微擾理論, 將二階的彈簧振子模型簡化為一階的CMT的動力學方程, 并且損耗項和輸入項自然包含在方程中, 物理意義更清楚.最后用音叉耦合實驗來驗證CMT理論, 結果表明理論和實驗符合得很好.該方法為振動耦合體系的理論研究提供了一定的指導意義.

2 從彈簧振子模型到CMT

不失普遍性, 在此從兩個音叉耦合體系入手建立彈簧振子模型.兩個音叉用勁度系數為k的彈簧連接, 設 m1和 m2分別為兩個音叉的等效質量,和分別為兩音叉的橫向位移, γ1和 γ2為音叉的阻尼系數, ω1, ω2分別是兩個音叉的固有頻率,表示為外來的周期性驅動力,為源頻率.其原理圖如圖1(a)所示.該耦合體系的動力學方程為[1]

(1)式和(2)式組成一個二階微分方程組, 忽略阻尼項(即損耗項), 可以得到其解析的近似解[28],但是阻尼項包含很多重要的信息和功能.Haus[27]在Waves and Fields in Optoelectronics一書中,將最簡單的簡諧振動的二階微分方程拆成兩個一階微分方程, 然后通過線性組合的方法將兩個一階微分方程合成一個一階微分方程, 其他的損耗項和輸入項都是通過定性分析引入的.在此, 我們基于非線性方程中的久期微擾理論[29], 從彈簧振子模型的二階微分方程出發, 嚴格求出CMT.為了求解的方便, 令 m1=m2=m , 選 ω0為頻率參考點,則因此一般 為 了 討 論 方 便, 取 ω0?min(ω1,ω2) ,分別是每個音叉的固有頻率和頻率參考點的平方差, 描述的是參考點頻率與音叉固有頻率的頻率失諧相關量.為了使方程組具有普適性和簡化計算,進一步進行無量綱化, 令方程(1)和(2)可以改寫為:

圖1 雙模耦合體系的相關參數示意圖 (a) 彈簧振子模型; (b) CMT 模型Fig.1.Parameters’ sketch of two-mode coupled system: (a) Spring oscillator model; (b) CMT model.

將相對平衡位置的位移 x1, x2對小量 ε 做展開, 設試探解為[29]

其中 j =1,2 , i2=?1 , c.c.表示對前一項取共軛復數, T =εt 是時間慢變量, 分離出隨時間周期變化的項之后, 余下的項為隨時間緩慢變化的復振幅A(T)和更高階小量.將(7)式對時間求導可得

其中 j =1,2.將(7)和(8)式代入(5)式可得

同理可得

(10)式和(11)式右手邊正比于 eit的項稱為久期項,作用相當于力, 在驅動左邊簡單線性諧振子在它共振頻率處共振, 所有久期項必須消失, 以便微擾糾正不會發散[29].因為久期項如果不為 0, 振子將做受迫振動, 振幅會逐漸增大, 這與是高階小量的題設相矛盾.當久期項為0后, 得到慢變振幅的方程, 即

根據前面的推導, 并考慮到 ω =1+?ε , ε β1= α1,則 (13) 式簡化為

將(15)式代入(14)式, 得到

同理也可以得到

方程組(18)是描述模式耦合的一階常微分方程組.其中方程(18)的右邊表示外界驅動信號源的貢獻,類 比 于 Haus[27]在 Waves and Fields in Optoelectronics中的表示方法, 外界輸入信號改寫為其中表示輸入端口I, 在 此 表 示 驅 動 信 號 源 的 輸 入 端, γej( j =1,2 )表示為第I個輸入端口與第j個振子的耦合系數,它為第j個振子除內部吸收損耗之外, 由于其他方式耗散功的外部損耗率, 例如電路中由導線傳輸到輸出端口的損耗率.一般來說第j個振子與輸入端口的耦合系數和第j個振子與輸出端口的耦合系數相等[8,9,27], 此處不做區分, 統一寫成 γej.為振子的總損耗, 取 γj/(2m)≡ γej+γoj,(j=1,2) ,其中 γoj表示為第j個振子的吸收損耗率, 例如電路中的歐姆損耗率以及微納光子學中金屬的內部吸收損耗率等.另外, 設 κ =k/(2mω0) 為耦合體系的交叉耦合系數.去掉方程組(18)中變量的“~”,因此, 方程組(18)改寫為

方程組(19)是標準的CMT的兩個動力學方程[29],輸出端口方程為

設x1(t)=x10eiωt,x2(t)=x20eiωt, 代 入 方 程(19)可得

同上述解法類似, 同理解得

將(22)式代入(20)式可得

為了更好地描述音叉耦合系統的輸出結果, 定義ζ為音叉耦合體系的傳輸效率

(24)式描述了雙模耦合體系的強度譜, 即為雙模CMT的傳輸公式.當兩個音叉沒有耦合時, 即κ=0, (24)式變為如下

(25)式描述了單模體系的強度譜, 即為單模CMT的傳輸公式.

3 實驗驗證

為了驗證推導的CMT公式(24)式和(25)式的正確性, 搭建了兩音叉耦合實驗裝置, 裝置圖如圖2(a)所示.兩個用來輸入、輸出信號的HZDH4615受迫振動與共振實驗儀(用R1, R2表示)和兩個帶有音叉的FD-VR-A受迫振動與共振實驗儀(用F1, F2表示)用三根傳輸線連接, 兩個音叉間用兩根彈簧連接, 并用小磁鐵將彈簧的連接端固定在音叉臂, 為了匹配音叉兩臂上的質量, 在二音叉的外側音叉臂于相同的位置放置了同一規格的兩塊小磁鐵.實驗裝置原理圖如圖2(b)所示, 單個振動的音叉可視為受迫振動的諧振子, 通過彈簧連接的兩個音叉可視為耦合的諧振子.R1產生驅動信號并把信號輸入給F1的輸入端, F1輸入端接有一線圈, 線圈會隨著驅動信號的交變電流產生變化的磁場, 驅動音叉F1的一個臂振動, 由于音叉一個臂振動, 另一個與彈簧相連的臂就同步反方向振動,并通過彈簧把機械振動傳送給F2, F2在振動后又會通過彈簧反過來作用于F1, 音叉F1受到兩個方面的作用, 一個是驅動信號, 另一個是音叉 F2, 當這兩個作用正好反相位時, 出現干涉相消, 從而使R1測量的振幅譜中出現一個谷, 即一個振幅峰因耦合劈裂成兩個振幅峰.

為了系統地研究耦合音叉的屬性, 首先分別測量了音叉F1和F2單獨存在時的振幅譜(測量無耦合的實驗裝置比較簡單, 在此就不贅述了), 如圖2(c)所示, 其中紫色圓圈表示音叉F1的實驗測量譜, 紅色五角星表示音叉F2的實驗測量譜.從圖中可以看出, F1 的共振頻率 f1= 243.5 Hz,F2 的共振頻率 f2= 243.8 Hz.音叉的品質因子一般定義為

其中 j =1,2 , 其 中 ? f 為強 度 譜 的 半 高 寬, 基 于(26)式, 計算出音叉F1和F2的振幅譜的品質因子分別為304.3和325.1.根據(25)式對兩個實驗譜進行擬合, 在圖2(c)中深紫色實線為F1的擬合譜, 紅色虛線為F2的擬合譜.其中擬合參數分別為ge1= 0.198 × 2π Hz, go1= 0.2 × 2π Hz, w1= 243.5×2π Hz, ge2= 0.182 × 2π Hz, go2= 0.18 × 2π Hz, w2=243.85 × 2π Hz.因此無耦合理論中的圓頻率與音叉共振圓頻率相對應.從圖2(c)中可以看出實驗和理論符合得很好.誤差來源于兩個方面, 一方面,實驗中無法避免的誤差, 如接觸損耗、傳輸損耗、數值波動和實驗環境影響.另一方面, 是因為CMT描述的是局域效應, 在遠離共振位置時誤差增大.

圖2 (a) 兩音叉耦合實驗裝置圖; (b) 實驗系統工作原理的示意圖; (c) 音叉單獨振動時的實驗譜和擬合譜; (d) 雙音叉耦合下的實驗譜和擬合譜Fig.2.(a) Experimental device diagram of our two tuning forks’ coupled system; (b) schematic diagram of the experiment system;(c) measured and fitted spectra of two tuning forks without coupling; (d) measured and fitted spectra of two tuning forks with coupling.

利用圖2(a)所示的實驗裝置圖, 測量耦合體系的實驗振幅譜, 結果如圖2(d)所示.對于這樣的耦合體系具有非線性現象[30], 即升頻和降頻譜線不一致的現象, 為此分別按照頻率由小到大和由大到小的測量方法, 記錄升頻(用F表示)和降頻(用R表示)兩組數據, 其中綠色實心菱形為降頻時測得的實驗譜, 橘色實心三角形為升頻時測得的實驗譜.從圖2(d)的實驗譜中可以看出, 相比于無耦合情況下單音叉振動的單個峰, 在耦合情況下,由一個峰劈裂成兩個峰, 頻率較低的峰值較高, 在232.4 Hz 達 到 0.45, 頻 率 較 高 的 峰 值 略 低 , 在241.9 Hz 達到 0.3.在兩峰中間出現一個谷, 即在236.3 Hz時振幅幾乎為零, 此時 F1不再振動,F2的反作用力和驅動源相位差180°, 兩者作用在F1上的力大小相同方向相反.從圖2(d)中也可以看出, 升頻譜和降頻譜幾乎完全重合, 說明該體系在該條件下給出的只有線性效應(關于非線性的效應我們后續會有相關文章專門研究).根據理論推導出的耦合下的效率公式(24)式, 對實驗譜進行擬合, 并繪出擬合譜, 如圖2(d)中紫色實線所示, 相關的擬合參數分別為: γe1=0.1× 2π Hz,γo1=0.57× 2π Hz, ω1=238.5× 2π Hz, γe2=0.245×2π Hz, γo2=0.4×2πHz , ω2=236.4× 2π Hz, κ=4.8×2π Hz.理論和實驗符合得很好, 其中誤差主要來源于實驗誤差和CMT是一個局域效應.相比于無耦合情況下的單音叉在243.8和243.5 Hz的振動峰, 耦合下的峰值都明顯降低, 頻率也明顯向低頻移動; 同時兩個模式的內部吸收損耗明顯變大, 為無耦合時內部吸收損耗的兩倍以上.對于音叉受迫振動的體系, 其周期的平方與音叉質量成正比.相對于無耦合體系, 耦合體系增加了固定彈簧的四片小磁鐵和兩根彈簧, 它們都是有一定質量的, 導致耦合體系的兩個音叉的固有頻率減小, 同時阻尼損耗等內部吸收損耗也相應增大.

4 總 結

在本文中, 首先利用久期微擾理論, 對彈簧振子模型的二階微分方程進行了理論研究, 研究結果表明, 二階微分方程自動退化為包含損耗項和輸入項的一階微分方程, 即CMT, 并且這種方法使得CMT中每一項系數的物理意義更清晰明了.隨后為了驗證理論的正確性, 實驗上和理論上研究了彈簧連接的音叉耦合受迫振動系統, 研究結果表明理論和實驗符合得很好.該研究為CMT推廣到機械振動體系提供了一種方案, 在設計機械振動耦合體系方面具有一定的指導意義.