弱Soret效應混合流體對流系統的分岔與非線性演化*
2020-04-30 08:33:30鄭來運趙秉新楊建青
物理學報 2020年7期
鄭來運 趙秉新 楊建青
1) (寧夏大學機械工程學院, 銀川 750021)
2) (寧夏大學數學統計學院, 銀川 750021)
3) (寧夏科學工程計算與數據分析重點實驗室, 銀川 750021)
混合流體Rayleigh-Bénard(RB)對流是研究非平衡耗散系統的自組織斑圖及非線性動力學特性的典型模型.本文利用高精度數值方法模擬了底部均勻加熱的矩形腔體中混合流體RB對流, 研究了具有極微弱Soret效應(分離比 ψ =?0.02 )的混合流體對流的分岔特性及斑圖的形成和演化, 給出了分岔曲線圖.獲得了行波交替閃動的Blinking狀態、局部行波對流和定常對流(SOC)三種穩定狀態, 討論了狀態之間的過渡.研究發現從Blinking狀態到局部行波對流狀態的過渡存在遲滯現象, 過渡時行波頻率、對流振幅和對流傳熱Nusselt數等均有明顯的跳躍.在Blinking狀態存在的Rayleigh數區間下界附近, 外部施加的不對稱初始擾動是形成該狀態的誘因.隨著Rayleigh數增大, 臨界SOC狀態經過多次分岔并形成多個具有不同波數的SOC狀態后過渡為混沌狀態.
1 引 言
非平衡系統在遠離熱平衡態時就會產生復雜的自組織時空結構, 對其機理和穩定性等的研究是目前涉及非平衡現象科學技術問題的重要課題之一[1].混合流體Rayleigh-Bénard(RB)對流作為研究非平衡耗散系統自組織斑圖及非線性動力學特性的一個典型系統, 近年來得到了廣泛的關注.由于溫度和濃度場之間的Soret耦合效應, 混合流體RB對流中的斑圖結構比單組分流體中更為有趣和復雜.特別令人關注的是具有負分離比( ψ <0 )的混合流體中發生在對流臨界點附近的對流狀態, 這里 ψ 值表征了Soret耦合效應的強度, 其符號決定了混合流體的行為.ψ <0 表示熱對浮力的貢獻和濃度對浮力的貢獻彼此相對, 導致系統經歷亞臨界Hopf分岔并最終發展成為各種可能的對流狀態.早期的實驗研究取得了很多重要的成果, 如首次觀察到了局部行波對流狀態(localized traveling wave, LTW)[2,3]和行波左右交替閃動的Blinking狀態[4,5]等, 這些原始發現對之后的研究工作具有重要的意義, 但其機理并不十分清楚.為了深入理解和探討復雜流動斑圖及其非線性特性, 人們開展了基于流體力學基本方程組或其擾動方程組的直接數值摸擬研究, 分析了行波對流狀態(traveling wave, TW)的參數依賴性[6], 解釋了LTW漂移緩慢的原因[7,8], 討論了Blinking狀態以及“重復過渡”狀態(repeated transients)的起源以及長高比的影響[9], 也獲得了局部定常對流 (localized stationary overturning convection, LSOC)[10]、 擺動行波對流 (undulation TW, UTW)[11]和含缺陷行波對流[12,13]等有趣的流動斑圖.近年來,Mercader等[14]在中等長高比的腔體中, 采用不同的邊界條件觀察到了多種LSOC對流結構及其多重穩定現象, 并發現當上壁面邊界改變時奇宇稱LSOC狀態整體以一定的速度移動, 且速度大小依賴于Biot數[15].王濤等[16]采用高階緊致差分方法求解渦量-流函數型的擾動方程, 模擬了矩形長腔內 LTW的形成過程.Watanabe等[17]和 Taraut等[18]模擬了大長高比矩形腔體內LTW狀態之間以及與LSOC狀態碰撞的情形, 發現碰撞后的對流結構完全依賴于碰撞前LTW狀態的特性.趙秉新[19]對水平流作用下具有正的小分離比的混合流體行進波對流進行了模擬研究, 討論了物性參數對流動的影響.最近, Shevtsova 等[20]介紹了在國際空間站進行的實驗結果, 與模擬結果進行了對比,反駁了微重力環境總是影響擴散控制過程的推測,并討論了實驗裝置上下壁面溫度不均勻對Soret效應的影響[21]; Alonso等[22]模擬了準垂直圓柱體內具有正Soret系數的混合流體對流, 重點討論了小傾角對斑圖形成的影響; Smorodin等[23]通過線性穩定性分析, 研究了高頻振動下水平層中混合流體的對流, 分析了振動強度和方向對空間周期行波解的影響; 學者們還模擬研究了流體參數和長寬比[24]、實驗裝置的傾斜角度[25]對流動的影響, 討論了從上向下加熱的負分離比混合流體對流的開始和非線性狀態[26], 以及分離比和長高比對缺陷結構的影響[27,28].
可是, 關于混合流體對流中解的分岔及流動沿著分岔圖上部分支的演化過程則研究比較少.文獻[24]利用固壁邊界條件對矩形腔體內分離比為ψ=?0.1的混合流體進行了模擬研究, 給出了解的分岔圖; 文獻 [29,30]對 ψ =?0.2 和–0.6 的混合流體進行數值模擬, 獲得了幾種行波解.對于極微弱分離比下混合流體對流中解的分岔及沿分岔分支演化過程的研究則鮮見報道.綜合前人研究成果,我們知道: 在微弱分離比下, 系統中存在Blinking狀態和repeated transients等弱非線性對流結構;在 ψ ??0.1 的情形下, 系統沿弱非線性分支從Blinking到LTW對流過渡時對流振幅發生了很大的跳躍, 且存在遲滯現象[11], 但對于如?0.04?ψ??0.01的極弱分離比, 人們并沒有發現遲滯現象, 認為過渡是光滑的[5].造成這種差異的原因之一是從Blinking分支到LTW分支的跳動可能很小, 實驗無法觀察到[11]; 另一方面, 考慮到數值方法的低分辨率, 數值模擬中可能將其歸結為一種數值誤差[8].本文利用文獻[19,24]中的高精度高分辨率數值方法求解流體力學基本方程組, 對極弱分離比 ψ =?0.02 下混合流體RB對流進行直接數值模擬, 給出解的分岔圖, 并探討系統沿著非線性分支出現的各種行波對流斑圖及其演化過程.
2 數學物理模型與數值方法
2.1 數學物理模型
一薄層雙流體混合物(如酒精與水)封入長為L, 高為 d的矩形腔體之中(長高比記為 Γ =L/d ),如圖1所示, 考慮二維區域 ( x,z)∈[0,L]×[0,d]上的對流運動.整個裝置處在一個均勻的重力場g=?gez中, g 為重力加速度, 方向豎直向下, ez為 z 方向的單位矢量.腔體底部和頂部表面都保持均勻一致的溫度 T hot 和 T col , 且 T hot>Tcol.二者之間存在溫度差 ? T=Thot?Tcol, 它由一個反映浮力與黏性對比的特征量Rayleigh數來表征.這里 α 是熱膨脹系數, κ 是熱擴散系數, ν是動力黏性系數.隨著 Ra 的增大, 浮力效應突出,當 R a 增大到臨界值時, 系統中便發生了對流運動.
圖1 對流模型示意圖Fig.1.Sketch of the two-dimensional convection model.
基于布辛涅斯克(Boussinesq)假設, 選取d,d2/κ, κ /d 和 ρ0κ2/d2分別為長度、時間、速度和壓力的特征尺度進行無量綱化, 并定義無量綱溫度和無量綱濃度如下
其中下標為0的量是對應物理量的平均值, 則描述該問題的無量綱控制方程組為[24]:
其中 v (u,w),θ,c,p,t 分別為速度場, 溫度, 濃度, 壓力和時間; 方程組中除 Rayleigh 數 Ra 外, 還包含了其他三個無量綱參數, 即
分別為 Prandtl數, Lewis 數和分離比.其中 ST為Soret系數, β 和D分別是體積膨脹系數和溶質擴散系數.對于純流體, Rayleigh-Bénard 對流系統初始不穩定的臨界Rayleigh數是=1708 , 為方便起見, 通常采用約化的Rayleigh數r=Ra/作為控制參數.在室溫下, 酒精與水混合液的Lewis數 Le 在 0.01 附近, Prandtl數介于 5 —20 之間.分離比 ψ 是表征流體非線性特性的參數, 表示溫度場對濃度場的Soret耦合效應.對于室溫下酒精與水的混合物, ψ 值介于? 0.5—0.2 時, 實驗容易控制[6].本文選取與文獻[6?8]研究行波對流TW和LTW時相同的參數, 即 P r=10,Le=0.01 ,考慮極微弱負分離比 ψ =?0.02 , 對長高比Γ=12的腔體中對流情況進行直接數值模擬.
求解方程組時必須給出合理的邊界條件.腔體所有壁面為無滑移, 濃度不可穿透; 上下壁面恒溫,左右壁面絕熱.相應邊界條件的表達式如下:
其中 ? ? 表示腔體的四個壁面.
2.2 數值方法和特征參數
本文采用具有四階精度和高分辨率的緊致差分方法數值求解方程組(1)和(2), 該方法已成功用于我們以前的數值計算工作[19,24].該方法采用具有高分辨率的四階組合緊致迎風格式[19,31]離散非線性對流項, 利用四階對稱Padé緊致格式離散黏性項; 壓力泊松方程采用文獻[32]中的四階緊致差分方案進行離散; 使用多重網格方法進行計算以加快迭代過程.文獻[24]對數值方法的正確性和網格無關性等進行了驗證, 針對本文考慮的極弱分離比情況, 我們也進行了網格無關性檢驗, 發現241×21網格和精細網格 7 21×61 下特征參數(Nusselt數 N u 、流體混合參數 M和對流振幅|w|max)的最大相對誤差均小于3%.在保證計算準確的前提下, 為了減少計算量, 本文采用241×21的網格進行數值模擬.相應地, 我們也進行了時間步長無關性檢驗, 在 r =1.13 時采用多個不同時間步長 ? t 進行了計算.比較發現 ? t=4×10?5步長和小時間步長 ? t=1×10?7下各個特征參數的最大相對誤差均小于1%.于是選擇前者作為本次模擬研究的時間步長.
為了定量表征對流特性, 對模擬結果進行深入分析, 我們使用如下特征參數:
1) 對流振幅: 以最大垂向速度| w |max來表征對流振幅的大小.
2) Nusselt 數: 用于度量系統的傳熱特性, 定義為[6]
其中尖括號 ??? 表示在垂直方向上求和.Nu表示垂直通過流體層的熱通量與熱傳導狀態下的熱通量 之 比, 在 熱 傳 導 狀 態 下, 滿 足 N u=1 , 所 以Nu?1反映了對流對傳熱的貢獻.特別地，當取值上壁面(冷壁)時, (3)式簡化為
3) 流體混合參數 (mixing parameter): 用于表征濃度場相對于傳導狀態時的變化, 其計算公式為[6]
其中尖括號和上劃線分別表示側向和垂向平均.
4)對于周期為 τ 的非定常流動, 考察上述特征參數在一個周期上的平均值 F ,
其中F代表 | w |max,Nu 和M.
3 結果與分析
3.1 解的分岔
對于本文討論的負分離比 ψ =?0.02 , 對流發生的臨界Rayleigh數為 rc=1.035 , 傳導狀態的首次不穩定為振蕩不穩定, 這種不穩定導致了一個亞臨界分岔[1,33](當 r
圖2 ψ =?0.02 時 Nusselt數 N u?1 關 于 Rayleigh 數r的分岔曲線.SOC n 表示具有n個渦卷的SOC狀態Fig.2.(a) Bifurcation diagram for ψ =?0.02.(b) close-up view of the part of the bifurcation diagram delimited by the straight dashed lines depicted in (a).Where SOC n represents the SOC solutions with n rolls.
從對流臨界點 rc出發, 不穩定行波對流狀態分支向上彎曲與穩定Blinking狀態分支在點處連接.沿著穩定Blinking狀態分支,逐漸增大Rayleigh數, Blinking狀態的對流強度逐 漸 增 大, 在時過渡到穩定的LTW狀態(詳細討論在3.2小節); 繼續增大r, 隨著對流強度的增大, Nusselt數和對流振幅均逐漸增大, 系統在 r?=1.022 時過渡為含有12個對流渦卷、波數為3.14的臨界SOC狀態–SOC12.之后,若沿著 SOC12分支進一步增大 Rayleigh數, 則SOC12分支經數次分岔形成具有不同波數的SOC分支, 這與弱分離比 ψ =?0.1 下有相似的結論[24].若 從 r?出 發 , 沿 著 SOC12分 支 逐 漸 減 小Rayleigh 數, 則 Nusselt數隨之減小, 但系統仍處于穩定的SOC12狀態, 直到SOC狀態的鞍結分岔點在之下, 隨著對流振幅的急劇減小, 系統最終回到了傳導狀態.
對流發生的臨界Rayleigh數 rc、SOC狀態的鞍結分岔點、LTW向SOC狀態過渡點 r?等由表1 給出.為便于比較, 我們給出了 ψ =?0.1 下的結果.與 ψ =?0.1 時不同, 極弱分離比? 0.02 下不存在穩定TW狀態, 且在SOC12分支下端不存在UTW狀態.然而, 此分離比下存在Blinking狀態的解, 該狀態穩定的 Rayleigh數范圍為1.013?r<1.0172, 位于對流發生的臨界Rayleigh數 rc=1.035 之下的亞臨界區域.沿 Blinking狀態分支向下, 流動從Blinking狀態過渡到傳導狀態,沿此分支向上則成長為LTW狀態.LTW狀態位于 對 流 臨 界 Rayleigh數 rc之 下, 其 存 在 的Rayleigh 數范圍為 ? r=0.005 , 較 ψ =?0.10 時更窄.從 LTW狀態向下到 Blinking狀態和從Blinking向上到LTW狀態過渡的Rayleigh數是不相等的, 表明二者之間過渡存在遲滯現象.
表1 分 離 比 ψ =?0.10 和 –0.02 時 , 各 狀 態 臨 界Rayleigh數的比較Table 1.Comparison of critical Rayleigh numbers for each state, ψ =?0.10 and? 0.02.
3.2 交替閃爍(Blinking)狀態
這里討論極弱分離比下的穩定Blinking狀態,重點關注Blinking形成與穩定機理、閃動頻率和行波頻率隨Rayleigh數變化以及向LTW狀態過渡.
3.2.1 Blinking 狀態的時空結構
在 r =1.015 時, 給溫度場施加如下初始微小擾動[24]:
速度和濃度初始值均為零, 從 x0=2Γ/3 的非對稱擾動開始, 流場經長時間的演化和發展形成了穩定的Blinking狀態, 其流場的時空結構如圖3(a)所示.可以看到, 隨著時間的發展, 流場中左行波和右行波交替成長和衰落, 斑圖結構由左行波和右行波交替控制.當左行波逐漸加強時, 缺陷(左行波和右行波的連接處)的中心向腔體右側移動, 右行波的成長空間被壓縮, 強度逐漸減弱; 當缺陷的中心靠近右端壁時, 在壁面的反射作用下發生轉向后向左側移動; 此后右行波逐漸成長而左行波逐漸減弱, 直到缺陷中心靠近左端壁; 然后在左端壁面的反射作用下再次發生轉向, 進入下一個循環, 形成了左右閃動的對流現象.從觀測點一 ( 0.13Γ,0.5) 處速度w隨時間的變化(圖3(b)) 可以看出, 伴隨著對流振幅的逐漸增大流場經歷了長時間(?t≈3500) 的對傳波 (counterpropagating waves, CPW)狀態, 當對流達到一定強度便轉變為穩定的Blinking狀態.相應的功率譜密度 (圖3(c)) 表明Blinking狀態具有兩個主頻, 即閃動頻率 ω1和行波頻率 ω2.
圖4給出了 4 000?t?4600 時段內兩個觀測點處垂向速度的變化情況.靠近左側壁面的觀測點一和靠近右側壁面觀測點二 ( 0.87Γ,0.5) 的速度w分別反映了左行波和右行波振幅的變化情況.可以看到, 左行波的振幅增加的時段對應于右行波的振幅衰減的時段, 反之亦然.在左行波振幅較大的時段, 流場主要由左行波控制, 腔體的左半邊對流較強; 相應地, 在右行波振幅較大的時段, 流場主要由右行波控制, 腔體的右半邊對流較強.
圖3 r =1.015 時 (a) 流場時空結構, (b) w (0.13Γ,0.5) 的時間序列和 (c)功率譜密度Fig.3.(a) Spatio-temporal structure, (b) the time series of w (0.13Γ,0.5) and (c) power spectral density for r =1.015.
圖4 r =1.015 時, 兩個觀測點處垂向速度 w 隨時間的發展Fig.4.The time series of the vertical velocity w at two monitoring points (a) ( 0.13Γ,0.5) and (b) ( 0.87Γ,0.5) for r =1.015.
3.2.2 Blinking 狀態的特性
前人研究結果表明, 兩端壁面的反射作用在形成和保持Blinking狀態中起到了一定的作用, 那么, 端壁反射作用是不是惟一原因, 有沒有其他因素在起作用呢？我們知道, 前述 r =1.015 時Blinking狀態是從不對稱初始擾動出發計算得到的, 此時我們會想到不對稱初始擾動或許是形成Blinking狀態的原因之一.為了證實這一點, 在相同的Rayleigh數下, 我們從對稱的擾動(即在(6)式中取 x0=Γ/2 )開始計算, 最終獲得了與非對稱擾動初值時相同的Blinking狀態.但是當r=1.013時(為Blinking狀態穩定區域下端點),結果卻不同: 從非對稱擾動出發可獲得穩定的Blinking狀態, 而對稱初始擾動未能發展起來, 流場回到了傳導狀態.由此可見, 在Blinking狀態存在的Rayleigh數范圍的邊界附近, 非對稱的初始條件是誘發Blinking的原因之一, 在該范圍的內部, 其誘發作用減弱.在獲得穩定的Blinking狀態后, 若改變兩側壁邊界條件為周期性邊界條件后繼續計算, 流場便回到了傳導狀態, 這表明兩端壁面反射作用是維持Blinking狀態的重要原因[9,11].
圖5給出了 r =1.0171 時Blinking和LTW兩種狀態中, 腔體水平中心線上瞬時垂向速度、溫度和濃度波的波形, 以及濃度場斑圖結構.可以看出,兩種狀態濃度波與速度波和溫度波之間均存在相位差, 這是導致波動向前傳播的直接原因.圖5(a)和圖5(c)為Blinking狀態行波向左壁面傳播的情形, 此時處于對流成長的中間階段, 其對流強度依然明顯較弱, 與LTW狀態的強非線性對流結構(圖5(b)和圖5(d), 其濃度波為帶尖角的臺型結構, 且其振幅遠大于Blinking狀態的振幅)不同,是一種弱非線性結構.有趣的是, 由于此Rayleigh數位于Blinking狀態穩定區域的上界附近, 行波成長起來后最強處可達到LTW狀態的水平, 其濃度波形具有與LTW狀態類似的臺型結構, 但該狀態極不穩定, 對流振幅迅速衰減, 之后又再次成長.
在Blinking狀態穩定的Rayleigh數范圍內,其閃動頻率 ω1和行波頻率 ω2隨Rayleigh數的變化如圖6所示.為了比較, 圖6(b)中同時給出了LTW狀態行波頻率隨Rayleigh數的變化.隨著Rayleigh 數 的 增 大 , 閃 動 頻 率 ω1先 減 小 , 在Ra=1734.9(r≈1.01575)處取得極小值, 在此之后逐漸增大并在 R a=1735.8(r≈1.01628) 達到極大值, 最后再次減小.行波頻率 ω2隨 Rayleigh 數的增大開始緩慢遞減, 在 r =0.015 之后迅速減小, 行波傳播速度逐漸減緩.當Ra=1737.3(r≈1.0172)時, 行波不再左右閃動, 伴隨著行波頻率的再次調整, 系統從 Blinking 過渡到 LTW.過渡時, 行波頻率的變化是不連續的, 存在明顯的跳躍, 突然提升到1.5倍以上的水平 (如圖6(b)).
從Blinking到LTW狀態過渡時, Nusselt數也有明顯的跳躍, 如圖7所示.相比于強非線性的LTW狀態, 弱非線性Blinking狀態的對流振幅相對較小, 對流強度較弱, 反映對流傳熱貢獻的Nusselt數較小.過渡時, 伴隨著對流振幅的急劇增長, 對流傳熱Nusselt數快速增大, 流動達到強非線性對流的水平并維持下來, 便形成了跳躍.通過大量的模擬計算和分析, 我們進一步發現從Blinking到LTW狀態的過渡是不光滑的, 存在遲滯 現 象.沿 Blinking 分 支 增 大 Rayleigh 數, 從Blinking狀態到LTW狀態的過渡點為 r =1.0172 ,而沿LTW分支減小Rayleigh數直到 r =1.0171 ,系統才從LTW過渡到Blinking狀態.可以看到,這種滯后非常微小, 僅為 ? Ra～ 10?1, 以致在實驗中未能觀察到[5].可以預測, 在充分小的分離比下,Blinking和LTW狀態之間過渡的遲滯現象就會消失, 從而實現光滑過渡.
圖5 r =1.0171 時, Blinking 狀態與 LTW 狀態流場典型波形和濃度場的比較Fig.5.Comparison of the lateral profiles and concentration fields between the Blinking and LTW states at r =1.0171 : (a) The lateral profile and (c) concentration field of the Blinking state; (b) The lateral profile and (d) concentration field of the LTW state.
圖7 Blinking 和 LTW 狀態的 N u?1 隨 r的變化情況.(b)為 (a)中虛線標注矩形區域的局部放大Fig.7.The variation of N u?1 of the Blinking and LTW states as a function of r.(b) Close-up view of the part delimited by the straight dashed lines depicted in (a).
3.3 LTW狀態
本研究獲得的LTW狀態的流場結構如圖8所示, 它是一種行波前緣與壁面接觸(稱為Wallattached, LTW)[24]的局部行波對流狀態, 其對流區域寬度約為 9.0 , 不隨Rayleigh數改變而變化.行波傳播方向可能是向左也可能向右, 這依賴于流場的初始結構, 但兩者Nusselt數 N u 、混合參數M、振幅 | w |max及行波頻率等特征參數完全相等, 在分岔圖圖2中不做區分.事實上, 將左(右)行LTW狀態的解沿 Γ /2 做對稱投影 x ? Γ?x , 即可獲得相應的右(左)行LTW狀態.由于濃度場和速度場之間存在相位差, 從而導致了一個覆蓋整個對流區域的大尺度時均濃度環流, 在前緣和壁面之間形成了一個與大尺度環流反向的二次環流(圖8(b)和圖8(c)).大尺度濃度環流引起的濃度再分配使得LTW狀態穩定下來; 反向二次環流降低了行波對流的速度, 在環形實驗裝置中(計算中為周期性邊界), 它降低了局部對流區域整體漂移的群速度.關于LTW狀態的穩定機理等前人已做了大量研究, 我們的結論與前人并無明顯不同, 本文不再贅述.
3.4 SOC狀態
3.4.1 SOC12狀態的形成
圖8 LTW 狀態的流場結構Fig.8.Structures of the flow field of LTW state: (a) Spatio-temporal structure; (b) a large-scale concentration current; (c) a transient structure of the concentration field.
圖9 r =1.13 時流場時空發展和典型時刻的瞬時結構Fig.9.The spatio-temporal development and transient structures of the flow field at typical times for r =1.13.
從零場開始計算, 在 r =1.13 時我們獲得了臨界SOC狀態–SOC12.圖9(a)給出了腔體水平中心線上垂向速度的時空結構, 展示了對流從零場開始到發展為SOC12狀態的整個過程, 幾個關鍵時刻的流場瞬時結構如圖9(b)所示.流場瞬時結構為流線和溫度擾動(溫度值 θ 減去熱傳導狀態的解,表現了溫度偏離傳導狀態的大小)云圖的疊加圖,其中實(點)線為正(負)值, 對應渦卷逆(順)時針旋轉, 粗虛線標出了腔體中心 x =Γ/2.從初始零場開始, 隨著對流振幅的線性增長, 大約到了t=30時, 腔體中心位置的渦卷率先發展起來并逐漸向兩側擴散, 形成了微弱的CPW狀態, 該狀態的中心駐波位于腔體的中心; 伴隨著對流振幅的持續增長, CPW 狀態持續到 t ≈40 ; 之后, 壁面反射波與CPW的左行和右行波在壁面附近產生碰撞和抵消, 使得兩側壁面附近的對流強度降低, 而CPW中心駐波得到了很大的發展( t =46 ); 壁面反射波經過碰撞后進一步向腔體中心傳播, 與駐波進行疊加并在中心處湮滅, 使得腔體內對流渦卷數量減少, 在 4 2 對流傳熱Nusselt數和流體混合參數M隨時間的發展如圖10(a)所示, 觀測點一和觀測點三(0.5Γ,0.5)處垂向速度的時間序列由圖10(b)給出.在SOC12狀態的形成過程中, Nusselt數曲線整體上呈現先振蕩增長后振蕩衰減之后再快速增長的變化形式, 期間的振蕩由反射波與CPW波之間競爭(有抵消也有疊加)所致; 當二者這種競爭結束后, 腔體中對流渦卷快速發展起來, 系統在短時間內達到飽和狀態SOC12, 對應于 t >50 后Nusselt數曲線的指數增長.相應地, 對流快速增強使得流體的混摻程度升高, M值迅速減小并最終達到一固定值. 因SOC12是偶宇稱的, 該狀態的解滿足對稱性[34]Rx:(u,w,θ,c)(x,z)=(?u,w,θ,c) ( Γ?x,z) ,觀測點一和觀測點二的垂向速度w相等, 故這里只給出觀測點一的時間序列.觀測點一靠近壁面(如圖10(b)上), 該點處垂向速度的振幅先增長后衰減, 分別對應于CPW波的線性增長和壁面附近反射波與CPW波的碰撞, 振蕩則反映了行波經過觀測點時相位和振幅的變化.振蕩結束時, 在腔體中心區域形成了由兩對渦卷構成的駐波結構, 其他區域處于熱傳導水平, 如圖9(b) 所示 t =50 時.之后對流渦卷只在原地滾動, 不再向外移動; 由于沒有競爭, 駐波對流振幅快速增長, 這些原地滾動的渦卷逐漸帶動其附近流體發生對流, 使其內側(靠近腔體中心)渦卷得到增強從而達到飽和狀態(渦卷寬度為1, 一個波長內包含一對渦卷), 在其外側則產生旋轉方向與之相反的新渦卷; 新渦卷逐漸成長又帶動該新渦卷附近流體產生對流, 如此重復直至對流渦卷填滿整個腔體.新渦卷從產生到達到最終飽和狀態的成長過程中, 由于新渦卷逐漸變大,它與舊渦卷之間的擠壓必然導致其自身向外側移動, 即渦卷在壯大的同時伴隨著移動.另外, 觀測點一的垂向速度序列顯示, 在振蕩過后出現了一個單獨波動, 這是因為: 大約在 t =65 時刻, 該觀測點右側出現了順時針旋轉的新渦卷, 此時觀測點處于該渦卷的左側邊緣, 垂向速度w方向向上(w>0)但其值很小; 隨著該渦卷的成長和向左移動,w在 t ≈73 時刻達到最大值; 渦卷進一步向左移動,其中心逐漸移向觀測點, 于是w逐漸減小, 并在中心經過觀測點時( t ≈80.6 時刻)為 w =0 , 期間該渦卷左側又產生了逆時針旋轉的渦卷; 原順時針渦卷中心經過觀測點后, 觀測點處垂向速度方向向下 ( w <0 ), 在 t ≈84 時刻 w 達到極小值; 之后左側新產生的逆時針渦卷逐漸成長并接觸到左側壁面, 固壁的約束作用使其在成長過程中將原來的順時針渦卷向右擠壓, 原順時針渦卷改變方向, 向右移動且中心經過觀測點后固定下來(觀測點最終位于該順時針渦卷的中心略偏左處), 對應于垂向速度w經過調諧后達到一固定值 w =0.166.觀測點三位于幾何中心, 該點處垂向速度的變化較為簡單, 其振幅先振蕩增長后衰減而后再增長, 最后達到一固定水平: 開始的增長體現了CPW中心駐波對流振幅的線性增長; 衰減是由反射波對中心駐波的干擾造成的, 對應于 4 2 圖10 r =1.13 時 (a) N u?1 和 M 的變化及 (b) 觀測點處垂向速度的時間序列Fig.10.The variation of (a) N u?1 , M, and (b) the vertical velocity at the monitoring points for r =1.13. 3.4.2 SOC12狀態的特性 保持 r =1.13 , 到 t =358.56 時刻, 我們得到了穩定的 SOC12狀態, 其流場結構如圖11所示, 通過對比垂向速度、溫度和濃度的波形發現, 三者是同相位的, 不存在相位差; 濃度場的波形呈現有尖角的特殊情形, 沿腔體的長度方向, 尖角呈現向上向下的交替分布.尖角位于相鄰對流渦卷的交界面處, 尖角向上對應左側順時針(左順)和右側逆時針(右逆)的一對渦卷之間 (圖11(b)), 左順右逆的旋轉形式將腔體上部的低溫高濃度組分向下運輸,使該點的濃度高于、溫度低于其臨近區域.從波形圖也可以看出, 當溫度場內出現波峰時, 濃度場內即出現波谷, 這一特點與溫度高的地方濃度反而低的現象是符合的.從濃度場的分布來看(圖11(c)),流體得到了充分混合, 濃度均勻分布. 模擬發現, 沿著SOC12狀態分支逐漸增大Rayleigh數的過程中, 系統會經歷數次分岔, 并產生多條具有不同渦卷數的SOC狀態.這些SOC狀態在波數-Rayleigh數空間 ( k,r) 上較大的范圍內共存, 其穩定性及向混沌狀態的過渡等另文討論.不同分離比下, SOC12狀態 Nusselt數關于Rayleigh數變化如圖12所示(注意: 在同一坐標尺度下兩條曲線靠得很近, ψ =?0.02 曲線略位于ψ=?0.1的上方.為便于區分, 將 ψ =?0.02 曲線向左平移了0.5個r單位, 其橫軸坐標數值標在圖上方).可以看到, Nusselt數隨 Rayleigh 數指數增長, 當 r ∈[1.008,7.59]時, SOC12狀態是穩定的; 在此范圍之上, 對流發生二次不穩定并過渡為混沌狀態, 不存在與之對應的穩定UTW狀態.這與分離比 ψ =?0.1 下的結論不同: 此分離比下的SOC12狀態在 1.064?r?5.69 內穩定, 在該區域的兩端均存在穩定的UTW狀態. 圖11 r =1.13 時 SOC12 狀態的流場結構Fig.11.The structure of flow field for the SOC 12 state at r=1.13: (a) The lateral profile on the horizontal centerline of the cavity; (b) the streamlines and the structure of the associated temperature field; (c) the structure of the concentration field. 圖12 SOC 12 狀態 Nusselt數隨 Rayleigh 數的變化Fig.12.The variation of N u with r for the SOC 12 state. 本文利用高精度數值方法求解流體力學基本方程, 模擬研究了極弱分離比 ψ =?0.02 下, 長高比 Γ =12 的腔體內混合流體RB對流解的分岔,Blinking和SOC12等對流結構的形成與特性, 以及各種對流狀態之間的過渡.研究發現Blinking狀態僅在較小的相對Rayleigh數范圍?r=0.004內穩定; 從Blinking狀態向LTW狀態的過渡存在遲滯現象, 但這種滯后非常微小, 僅為 ? Ra～10?1,可能實驗中未能發現這種現象, 但Kolodner和Surko[5]預測了極微弱分離比下可能存在遲滯現象.本結果從數值計算的角度說明了預測是正確的, 遲滯現象是存在的, 當然這一結論還需實驗和理論的進一步驗證.系統在 Blinking狀態和LTW狀態之間過渡時, 行波頻率、對流振幅以及Nusselt數等特征參數的變化是不連續的, 有明顯的跳躍.在Blinking狀態存在的Rayleigh數區間下界附近, 外部施加的不對稱初始擾動是形成該狀態的誘因, 而在其他區域, 系統的振蕩不穩定足以導致Blinking狀態的形成.沿對流分岔的定常對流SOC分支, 隨著Rayleigh數的增大, 臨界SOC12狀態經歷數次分岔, 形成多條具有不同波數的SOC狀態的分支, 最終過渡到混沌狀態.與分離比ψ=?0.1時[24]不同, SOC12分支的兩端均不存在穩定UTW狀態.
4 結 論
