一維化學勢調制的p波超導體中的拓撲量子相變*

武璟楠 徐志浩? 陸展鵬 張云波

1) (山西大學, 理論物理研究所, 太原 030006)

2) (量子光學與光量子器件國家重點實驗室, 太原 030006)

本文研究了一維公度勢和非公度勢調制下的p波超導量子線系統的拓撲相變.在公度勢調制下, 通過計算 Z2 拓撲不變量確定系統的相圖, 指出系統的拓撲相變強烈地依賴于調制參數 α 和相移 δ.在非公度勢調制下, 以為例, 計算系統的低能激發譜、 Z2 拓撲不變量以及逆參與率等, 發現 p 波配對強度 ? ∈(0,0.33) 時, 系統存在拓撲非平庸超導相, 拓撲平庸超導相和拓撲平庸局域相的轉變.而當p波配對強度 ? >0.33 時, 系統存在拓撲非平庸超導相和拓撲平庸局域相的轉變.

1 引 言

早在上世紀30年代, Majorana求解了Dirac相對論協變的電子運動方程, 發現了一種不帶電荷的費米子, 它的反粒子是其自身.人們為了尋找它的蹤跡一直在不懈地努力, 然而最終Majorana零模在凝聚態物理中被發現, 并成為重要的研究課題[1?5].超 導 體 系 中 U (1) 規 范 對 稱 性 的 破 缺 為Majorana費米子的產生提供了可能性, 人們已經在具有強自旋-軌道耦合的半導體納米線[6?10], 磁性原子鏈[11?13], 平面約瑟夫森結[14?16]以及常規超導體和拓撲絕緣體[17?19]的界面等體系中發現了它的存在.另一方面由于Majorana費米子具有局域性且滿足非阿貝爾統計[20?22]等特性, 使得它成為實現容錯拓撲量子計算[5,23]最有力的競爭者.由于拓撲量子計算的巨大應用前景, 使得Majorana費米子相關性質的研究越來越被人們重視.特別是近年來, 隨著冷原子技術的發展, 人們發現通過周期驅動光格子可以實現物質拓撲態[24?26], 通過周期驅動具有p波配對的超導量子線, 有可能會產生額外的π模[27].通過多個時間周期驅動的Kitaev鏈產生了可以支持Majorana零模的新區域, 對Majorana費米子的尋找提供了理論基礎[28].拓撲相最初是在厄密系統中發現的, 但人們對非厄密系統中拓撲相的研究也存在很大的興趣[29?33].由于Majorana零模可以在非厄密體系中出現且可以持續存在, 其對環境具有很強的魯棒性, 為更好地研究 Majorana 費米子提供方法.最近, Wu 等[34]闡述了實現非阿貝爾編織的一種新途徑, 利用Jackiw-Rebbi零模也可以實現非阿貝爾編織,Jackiw-Rebbi零模不具有Majorana零模的自共軛特性, 其可以出現在非超導體系中.Jackiw-Rebbi零模的研究為拓撲量子計算提供了新的思路.有趣的是, Majorana零模可以被認為是Jackiw-Rebbi零模在具有粒子-空穴對稱性時的特例[35,36].

Kitaev鏈是研究Majorana費米子的重要模型, 在此基礎上人們意識到通過對Kitaev鏈的調制可以極大地改變系統的拓撲相變過程.如Lang和Chen[37]研究了周期性調制對Majorana費米子產生的影響, 他們發現隨著調制強度的增大, 拓撲非平庸超導相可能會被破壞.由于Majorana零模的穩定性受到超導能隙的保護, 因此在加入周期調制化學勢的情況下Majorana費米子可能是不穩定的, 會隨著調制化學勢強度的增大而消失.然而在某些特殊參數下, 調制強度無法改變Majorana費米子的存在性.與此同時, Cai等[38]討論了非公度調制對拓撲相變的影響, 發現隨著非公度調制強度的增加系統將經歷從拓撲非平庸相向平庸的安德森局域相的轉變.隨后相當多的工作對調制的Kitaev鏈進行了深入的研究[39?41].本文將討論(準)周期調制的p波超導量子線系統中的拓撲量子相變.

2 理論模型與方法

考慮一維具有(準)周期調制的p波超導量子線, 其哈密頓量可以寫為

其中 V 是化學勢的強度, δ 是任意的相移.α 控制系統的調制周期, 若 α =p/q 是有理數(p和q是互質的整數), 則 Vi是公度勢; 若 α 是無理數, 系統則具有非公度調制.化學勢是參數b的連續函數, 其中 b ∈[0,1).在沒有超導配對的情況下, 即 ? =0 ,當 b =0 時, 若 α 為有理數, 系統處于拓撲非平庸相, 由非零整數的陳數所標記[42]; 若 α 為無理數,模型退化為著名的AA模型[43], 此時如果 V <2t ,系統中所有的單粒子本征態為擴展態并且具有非平庸的拓撲性質, 而當 V >2t 時, 所有的本征態都為局域態, V =2t 是擴展到局域相的轉變點, 此時所有的本征態展現多分形的特性, 而這一系統中并不存在遷移率邊[44]; 對于 b0 且 α 為無理數的情況[45], 系統具有能量依賴的自對偶特性, 其遷移率邊可以解析地表示為 Ec=(2t?V)/b.對于存在超導配對的情況, 即 ?0 , 若 α 為有理數, 模型哈密頓量為周期調制的p波超導量子線, 已經被廣泛地研究[37], 文獻[37]中指出此系統的拓撲相變依賴于相移 δ , 而在某些特殊 δ 點系統一直處于拓撲非平庸相不會受周期調制強度V所控制; 對于非公度調制, Cai等[38]指出隨著非公調制強度的增大, 系統經歷一個由拓撲非平庸相到安德森局域相的轉變, 轉變點在 Vc=2t+2? 處.由此可見, 在b=0的情況, 模型具有豐富的拓撲及局域化特性,已經引起了廣泛的興趣.在這篇文章中我們關注分別為有理數和無理數情況下系統的拓撲相變, 以及在 α 為無理數時系統的局域化特性.

通過 Bogoliubov-de Gennes (BdG)變換[46?48]把系統的哈密頓量(1)對角化, 定義一組準粒子算符:

其中L是系統的格點數, n是能級指標且n=1,···,L.由于在哈密頓量(1)中所有的參數都選為實數, un,i和 νn,i也均為實數.哈密頓量可以用準粒子算符表示為其中En是準粒子的本征能量.由對角化關系得到下面的BdG耦合方程:

通過求解BdG方程, 可以得到準粒子的本征能量及其相應的本征波函數.由于BdG方程滿足電子-空穴對稱性, 即系統的能譜關于零點對稱.系統的基態對應于所有負的準粒子的能級被填滿的情況.在下面的分析中取 b =0.5.

3 結果分析與討論

3.1 周期調制的p波超導線

這一小節討論 α 為有理數情況下, 系統的拓撲相變.在開邊界條件下, 我們通過數值求解BdG方程(4)得到準粒子的本征能量 En, 若系統處于拓撲非平庸相, 能譜中會出現零能的Majorana邊緣態, 而當系統處于拓撲平庸相,Majorana零模將消失.圖1計算了在 b =0.5 ,?=0.2, V =1.5 和 δ =0 時, 能譜隨參數 α 變化的情況, 即Hofstadter蝴蝶譜[49,50], 其中紅色點表示非平庸的零模.隨著 α 的增加, 系統表現出復雜的拓撲相變過程.作為具體的例子, 我們將分別討論α=0, 1 /2 , 1 /3 的情況.

圖1 Hofstadter蝴蝶譜: 隨 α 變化的能譜, 紅色點是零能 Majorana 費 米 子 b = 0.5, L = 120, ? =0.2 , V = 1.5,δ = 0Fig.1.Hofstadter butterfly: the energy spectrum varying with α.The red dotted point denotes the Majorana Fermion.b =0.5,L=120,?=0.2,V=1.5 and δ =0.

在 α =0 時, 哈密頓量退化為標準的Kitaev模型[5], 系統在處經歷一個拓撲相變, 在區域處于由 Majorana 零模所標記的拓撲非平庸相.可以看出當 δ 取 π /2 奇數倍時, 系統將一直處于拓撲非平庸相, 并不依賴于V的取值.

我們知道, 非平庸的Majorana零模可以由Z2拓 撲 不 變 量 來 表 征[5,37].對 于 α =1/2 和 1 /3 的 情況, 可以通過計算 Z2拓撲不變量, 解析地得到系統的相變點.考慮具有周期性邊界的系統并對其進行傅里葉變換,其中,i=s+(l? 1)q,s=1,···,q表示一個超導元胞內的格點數, l =1,···,L/q 是第 l個超導元胞的位置, k 表示動量, 其取值范圍為 [ 0 ,2π/q].哈密頓量(1)進行傅里葉變換之后可以寫為

在動量空間下, 我們定義一組準粒子算符為[51]:它滿足反對易關系:以及可 以 看 出 只 有和滿足 Majorana費米子算符的定義, 即在新的算符基矢下, 可以把哈密頓量重新寫成如下形式:

對于 s =1,···,q 時,

對于 s =1,···,q? 1 時,

對于 s =q , 有

B(k)是 一 個2 q ×2q 的 矩 陣 , 并 且 只 有B (0) 和B(π/q)是反對稱矩陣.系統的 Z2拓撲不變量可以定義為[5,51]: M =sgn[Pf(B(0))]sgn[Pf(B(π/q))], 其中是反對稱矩陣A的Pfaffian, P代表矩陣A中2N個元素的置換, s gn(P) 表示置換的符號.M =1 對應拓撲平庸相, M =?1 對應拓撲非平庸相, 而拓撲相邊界可以由 M =0 來標記.當 α =1/2 時,

顯 然 , P f[B(0)]<0 , 系 統 的 拓 撲 相 邊 界 由得出, 即

圖2(a) 展示了 b =0.5 , α =1/2 , δ =0 時, 系統拓撲相圖.圖中的黑色實線對應方程(7)所示的解析結果, 紅色三角表示的是通過數值求解BdG方程(4)得到的相變點.可以看到數值結果與解析解得到的結果一致.在區域Ⅰ, 系統處于拓撲非平庸相,區域Ⅱ對應于系統處于拓撲平庸相.我們可以看到, 當 δ =0 時, 系統會經歷拓撲非平庸相到拓撲平庸相的轉變.由方程 (7) 可知, 當 δ 取值為 π /2 的奇數倍時, 任意小的 ? 將導致系統處于拓撲非平庸相, 而不依賴于周期調制的強度.圖3(a)—圖3(c)展示了 b =0.5 , α =1/2 , ? =0.2 , 不同 V 時, 能譜隨著相移 δ 變化的情況.在V比較小的時候, 如圖3(a)所示, V =0.2 , 在整個相移參數空間中,Majorana零模一直存在.隨著V的增大, 能隙逐漸減小, 當它超過某個臨界值時, 能隙將在某些 δ 的位置關閉, 隨后再次打開, 而此時零模消失[圖3(b),V=0.5], 對應于系統從拓撲非平庸相到拓撲平庸相的轉變.然而當 V 足夠大, 如圖3(c), V =3 , 除了在 δ = π/2 和 3 π/2 處 Majorana 零模存在外, 幾乎所有的 δ 區域都處于平庸相, 并且無論V值取多大, 這兩點的零模始終存在, 這與我們的解析結果相一致.

圖2 在 b =0.5 時, 參數 ??V 平面的拓撲相圖 (a) α=1/2,L=120; (b) α =1/3,L=120 ; (c) α =(?1)/2 ,L = 2584Fig.2.Topological phase diagram in ??V plane with b=0.√5.(a) α =1/2,L=120 ; (b) α =1/3,L=120 ; (c)α=(?1)/2, L = 2584.

特別是, 當 b =0 時, 相邊界可以寫為一個簡單的表達 式[37]: V3|cos3δ|=8t(t2+3?2).在cos3δ=0時, 系統始終處于拓撲非平庸相, 并且不依賴于V 的取值.圖2(b) 展示了 b =0.5 , α =1/3 和 δ=0時的拓撲相圖.黑色實線為解析結果, 而紅色三角為數值結果.由圖可知, δ =0 時, 在某一特定的 ?下, 隨著周期調制強度V增強, 系統將出現一個拓撲相變.圖3(d)—圖3(f)分別展示了 b =0.5 ,α=1/3, ? =0.2 , V =0.2 , 2 和 6 時, 能量以相移δ為函數變化的情況.在小V情況, 系統在不同的δ參數下, 始終出現 Majorana零模[圖3(d)], 而隨著V的增加, 拓撲非平庸的區域逐漸減小[圖3(e)],當調制強度足夠大時, 拓撲非平庸區域完全消失,此時系統中并不存在某個特殊的 δ 使得Majorana零模一直存在 [圖3(f)], 這與 b =0 的情況不符.我們可以看到, 圖3(f)中雖然某些 δ 下最低能量接近于零, 但它并不是Majorana零模, 其準粒子的最低能量不低于 0.07.由此可見, 對于 b0 , α 為有理數的情況, 在某個固定的超導配對強度 ? 和調制強度V時, 系統的拓撲相變強烈地依賴于相移 δ.然而在某些 α 值下, 并不存在與 b =0 情況類似的特殊 δ 值, 使得拓撲相變不依賴于調制強度V.

3.2 準周期調制的p波超導線

圖3 在開邊界條件下, 本征能量隨相移 δ 的變化.b =0.5 , ? =0.2 , L=2584Fig.3.Energy varying with phase shift δ with b =0.5 , ? =0.2 and L =2584 under open boundary condition.

為了得到圖2(c)中所示的相圖, 我們首先分別計算在開邊界和周期邊界條件下, 系統的準粒子最低激發能量, 如圖4(a)所示.以 ? =0.2 為例,圖4(a)展示了最低激發能量 E1隨準周期調制強度V的變化.圖中黑色實線表示周期性邊界的情況, 黑色方塊表示開邊界的情況.當 V <1.5 時, 開邊界條件下展示了零能, 而周期邊界條件下存在有限的能隙, 這表明在開邊界條件下系統中存在零模.在圖4(b)和圖4(c)中分別展示了在開邊界條件下 V =1 時, 最低激發態的空間分布 ?1和 ψ1,這里此時最低激發態 ?1和 ψ1分別位于邊界的左右兩端,?1和 ψ1的振幅不會重疊在一起, 而是分裂為兩個在空間上獨立的Majorana邊緣態, 此時系統屬于有 Majorana 零模的超導相.當 V ∈(1.5,2.5) 時, 開邊界條件和周期邊界條件下最低激發能量大于零,展示了相同的能隙, 并沒有展示邊緣態, 并且在開邊界條件下最低激發態 ?1和 ψ1的振幅會重疊在一起, 且分布在整個空間, 此時系統屬于超導相[如圖4(b), 圖4(c), V =2 ].當 V >2.5 時, 開邊界和周期邊界條件下, 能隙均消失, 其最低激發能量為零.以 V =3 為例, 其最低激發態 ?1和 ψ1局域在空間某一點上, 并不局域在邊界位置, 表明此區域的零能態不是 Majorana零模 [如圖4(b),圖4(c),V=3].從準粒子的最低激發能量及其本征態的空間分布可以看出, 對于 α 為無理數的情況, 系統存在三種不同的相.

圖4 (a)在開邊界和周期性邊界條件下最低激發態能量 E1 隨準周期調制強度V的變化及其空間分布 ?1 (b)和 ψ1 (c), α=(?1)/2, b =0.5 , ? =0.2 , L=2584Fig.4.(a) The lowest excitation energies, E 1 , varying with the quasi-periodic mod√ulation amplitude, V, under OBC and PBC, respectively.The spatial distribution of the lowest excited state ?1 (b), ψ1 (c).α =(?1)/2 , b =0.5 , ? =0.2 , L =2584.

為了進一步確定系統中三種不同相的拓撲特性, 我們用 Z2拓撲不變量來表征其拓撲性質.在非公度勢的情況下, 我們用散射矩陣 S 來計算 Z2拓撲不變量[52?54].散射矩陣 S 與在費米能級EF=0處的入射波和出射波的振幅有關,

這里, 2 × 2 的子塊 R ,R′和 T ,T′分別為在超導線兩端的反射和透射矩陣.Z2拓撲不變量定義為:M=sgn[Det(R)].只有當 M =?1 時, 在超導量子線兩端才會出現非平庸的Majorana費米子.散射矩陣可以通過轉移矩陣方法得到.基于哈密頓量(4), 零能的薛定諤方程給出:

這里 I 為 2 × 2 的單位陣.在這個基矢下, 透射和反射矩陣的關系為

拓撲不變量M就可以通過計算轉移矩陣W得到.如圖5(a) 所示, 我們計算了 b =0.5 , ? =0.2 時, 系統的拓撲不變量M隨著調制強度V變化的情況.從圖中可以看出, 當 V <1.5 時, M =?1 對應于由Majorana零模所標記的拓撲非平庸的超導相.而當 V >1.5 時, M =1 對應為拓撲平庸相.由此可以確定區域I為拓撲非平庸的超導相, 而在區域II和III中, 系統展現了拓撲平庸的特性.

區域II和III的最低激發態展現了不同的局域化特性, 通過計算逆參與率(inverse participation ratio, IPR)[57?61],區分系統最低激發態的局域和擴展性質.這里n是能級指標, un,j和 νn,j是 BdG方程 (4)的本征態,滿足歸一化條件,對于擴展態, IPR 的值以 1 /L 趨近零; 而對于局域態, 其IPR ∝ (1/L)0趨于一個有限值.圖5(b)和圖5(c)分 別 展 示 了 ? =0.2 , V =2 和 3 時 , 最 低 激 發 態IPR1隨著系統尺寸的標度行為.V =3 時, 最低激發態 I PR1不隨尺寸L的變化而變化, 在L趨近于無窮時, I PR1的值趨近于 0.45 , 表明此時其最低激發態為局域態.而對于 V =2 的情況, 最低激發態IPR1隨著 1 /L 趨近于 0 , 展現擴展的特性.由此可知, 區域II為拓撲平庸的超導相, 而區域III對應為拓撲平庸的局域相.

圖5 (a) Z2 拓撲不變量隨非公度勢強度的變化; (b) V =2 時 I PR1 的 標 √度 分 析 ; (c) V =3 時 I PR1 的 標 度 分 析b=0.5, α =(?1)/2 , ? =0.2 , L=2584Fig.5.(a) Z2 topological invariant varying with the strength of the potential V; (b) the scaling of I P√R1 V =2 ;(c) the scaling of I PR1 V =3.Here, α =(?1)/2 ,b=0.5, ? =0.2 , L =2584.

圖6 I PR 隨準周期調制強度 V 和本征能量 En 的變化 α =(?1)/2 , b =0.5,L=144,δ=0 (a) ? =0 ; (b) ? =0.01 ; (c)?=0.5; (d) ?=0.8Fig.6.I PR varying with the amplitude of quasi-periodic modulation V and energy En.α =(?1)/2 , b =0.5,L=144 , δ=0: (a) ? =0 ; (b) ? =0.01 ; (c) ? =0.5 ; (d) ? =0.8.

當 ? =0 時, 系 統中存 在 遷移率 邊[45], 其解析 表 達 式 為 Ec=(2t?V)/b.圖6(a)展 示 了b =0.5,L=144,δ=0 和 ?=0時不同能量 En的逆參與率隨著調制強度V變化的情況, 其中藍色實線表示遷移率邊的解析解.隨著p 波超導配對勢的引入, 即 ?0 , 系統中的遷移率邊將如何改變? 首先考慮 ? →0 的情況.以?=0.01為例[圖6(b)], 可以看到原來能譜中間區域展現局域態特性的能態隨著微小的超導配對項的引入開始變成擴展態, 而高能和低能部分并沒有發 生 顯 著 變 化.當 ? 為 有 限 大 時 , 如 圖6(c)?=0.5時, 可以看到高能部分的局域化特性并沒有發生顯著的變化, 中能部分局域化區域擴大, 而低能部分擴展區向局域化區域擴張.隨著 ? 值的進一步增加, 高能和中能部分的局域化區域進一步擴大, 而低能部分的局域化區不斷縮小[如圖6(d),?=0.8].由此可見, 由于超導配對項的引入, 遷移率邊將無法用一個解析的形式表示.

4 結 論

本文研究了一維調制的p波超導體的拓撲量子相變.在公度勢調制下, p波超導的拓撲性質強烈地依賴于 α 和 δ 的取值.當 b =0 時, 系統中存在特殊的相移 δ 使得Majorana零模的存在不依賴于公度勢調制強度V.通過計算發現當 b0 時, 在公度勢調制系統中, 存在特殊相移使得Majorana零模不受調制強度影響的結果并不是普適的.在非公度勢調制下, 計算了相移δ=0時系統的低能激發譜、 Z2拓撲不變量以及逆參與率 (IPR)等, 發現當 p波配對強度00.33 時, 隨著非公度勢強度V的增加, 系統經歷拓撲非平庸相到拓撲平庸局域相的轉變, 這與 b =0 的結果一致.